量子场论笔记（十九）：LSZ 约化公式与光学定理

LSZ 约化公式

上一篇中，我们讨论了对两点关联函数的傅里叶变换。我们将其看作 $p^2$ 的函数，其在单粒子态处有一极点：

$\int d^4x e^{ip\cdot x} \langle \Omega|T\phi(x)\phi(0)|\Omega\rangle \underset{p^2\rightarrow m^2}{\sim} \frac{iZ}{p^2-m^2+i\epsilon}\tag{1}$

这一篇中，我们想要推广这个结果到高阶关联函数，并给出关联函数与散射矩阵的一般关系。相关理论由 Lehmann, Symanzik 与 Zimmermann 首先得到，被称为 LSZ 约化公式 LSZ reduction formula。为了简单起见，我们下面以标量场为例进行说明。

例如我们想要计算 $2\rightarrow n$ 的散射过程。那么关联函数将具有 $n+2$ 个场量。为此，我们需要考虑如下 $n+2$ 点关联函数的傅里叶变换：

$\int d^4x e^{ip\cdot x} \langle \Omega|T\phi(x)\phi(z_1)\phi(z_2)\cdots|\Omega\rangle\tag{2}$

现在可以将式 $(2)$ 看作 $p$ 的解析函数，我们现在关心其以 $p^0$ 为变量的极点。为此，我们将对 $x^0$ 的积分区域分为如下三个部分：

1. $x^0<T_{-}$

2. $T_{-}<x^0<T_{+}$

3. $x^0>T_{+}$

其中 $T_{-} < min\{z_1^{0},z_2^{0}\cdots\}$，$T_{+} > max\{z_1^{0},z_2^{0}\cdots\}$。对于有界区域 $2$，$p^0$ 仅出现在指数 $\exp(ip^0x^0)$ 中，因此该区域的贡献将是解析的。可能的极点仅可能出现在区域 $1,3$ 中。例如考虑区域 $3$，此时 $x^0$ 大于所有的 $z_i^0$。因此作时序积后，$\phi(x)$ 总出现在第一个，我们可以把 $\phi(x)$ 同剩下的场量分开，并在它们之间插入一个恒等算子：

$\bm{1} = \sum_{\lambda} \int \frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bm{q}}(\lambda)}|\lambda_{\bm{q}}\rangle\langle\lambda_{\bm{q}}|$

这一段的关联函数可以写为：

$\begin{aligned} &\int_{T_{+}}^{\infty}dx^0 \int d^3x e^{ip^0x^0}e^{-i\bm{p}\cdot\bm{x}}\sum_{\lambda} \int \frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bm{q}}(\lambda)}\langle\Omega|\phi(x)|\lambda_{\bm{q}}\rangle\langle\lambda_{\bm{q}}|T\{\phi(z_1)\phi(z_2)\cdots\}|\Omega\rangle\\ =& \sum_{\lambda}\int_{T_{+}}^{\infty}dx^0 \int \frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bm{q}}(\lambda)}e^{ip^0x^0}e^{-iq^0x^0}e^{-\epsilon x^0} \langle \Omega|\phi(0)|\lambda_0\rangle(2\pi)^3\delta^{(3)}(\bm{p}-\bm{q})\langle\lambda_{\bm{q}}|T\{\phi(z_1)\phi(z_2)\cdots\}|\Omega\rangle\\ =& \sum_{\lambda} \frac{1}{2E_{\bm{p}}(\lambda)}\frac{ie^{i(p^0-E_{\bm{p}}+i\epsilon)T_+}}{p^0-E_{\bm{p}}(\lambda)+i\epsilon}\langle\Omega|\phi(0)|\lambda_0\rangle\langle\lambda_{\bm{q}}|T\{\phi(z_1)\phi(z_2)\cdots\}|\Omega\rangle\\ \end{aligned}$

在极点 $p^0 = \sqrt{|\bm{p}|^2+m^2}$ 附近，有：

$\int d^4x e^{ip\cdot x} \langle \Omega|T\phi(x)\phi(z_1)\phi(z_2)\cdots|\Omega\rangle \underset{p^0\rightarrow + E_{\bm{p}}}{\sim} \frac{i}{p^2-m^2+i\epsilon}\sqrt{Z}\langle\bm{p}|T\{\phi(z_1)\cdots\}|\Omega\rangle\tag{3}$

同理，在区域 $1$，有：

$\int d^4x e^{ip\cdot x} \langle \Omega|T\phi(x)\phi(z_1)\phi(z_2)\cdots|\Omega\rangle \underset{p^0\rightarrow - E_{\bm{p}}}{\sim} \langle\Omega|T\{\phi(z_1)\cdots\}|-\bm{p}\rangle\sqrt{Z}\frac{i}{p^2-m^2+i\epsilon}\tag{4}$

为了得到有关剩余的场量坐标 $z_1,z_2,\cdots$ 的信息，我们需要将傅里叶变换做一些修改，我们将傅里叶变换的平面波换成一个波包，其中 $\varphi(\bm{k})$ 的中心为 $\bm{k} = \bm{p}$：

$\int d^4x e^{ip^0x^0}e^{-i\bm{p}\cdot\bm{x}}\rightarrow \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \int d^4x e^{ip^0x^0}e^{-i\bm{k}\cdot\bm{x}}\varphi(\bm{k})\tag{5}$

当 $\varphi(\bm{k})$ 退化为 $\delta$ 函数时，就回到了傅里叶变换的情形。如此 $(3)$ 式成为：

$\begin{aligned} &\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \int d^4x e^{ip^0x^0}e^{-i\bm{k}\cdot\bm{x}}\varphi(\bm{k}) \langle \Omega|T\phi(x)\phi(z_1)\phi(z_2)\cdots|\Omega\rangle\\ =& \sum_{\lambda}\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \varphi(\bm{k}) \frac{1}{2E_{\bm{k}}(\lambda)} \frac{i}{ p^0 - E_{\bm{k}}(\lambda)+ i\epsilon}\langle \Omega|\phi(0)|\lambda_0\rangle\langle \lambda_{\bm{k}}|T\{\phi(z_1)\cdots\}|\Omega\rangle \\ \underset{p^0\rightarrow + E_{\bm{p}}}{\sim} & \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \varphi(\bm{k})\frac{i}{\tilde{p}^2-m^2+i\epsilon}\sqrt{Z}\langle\bm{k}|T\{\phi(z_1)\cdots\}|\Omega\rangle\\ \end{aligned}$

其中 $\tilde{p} = (p_0,\bm{k})$，此时单粒子态对应的极点成为一个 branch cut。若对 $(n+2)$ 阶关联函数的每一个坐标进行如此变换，即：

$(\prod_i\int\frac{d^3k_i}{(2\pi)^3}\int d^4x_i e^{i \tilde{p}_i\cdot x_i}\varphi_i(\bm{k}_i))\langle\Omega|T\{\phi(x_1)\phi(x_2)\cdots\}|\Omega\rangle \tag{6}$

我们在 $x = 0$ 时，选取这些波包相互重叠。而对于 $x_i^0 < T_{-}$ 或 $x_i^0 > T_{+}$ 时，这些波包又相互分离。如此，我们可以进行与两点关联函数类似的分析。对于 $x_i^0$ 的积分来说，我们分为如下积分区域：

1. $x_i^0<T_{-}$

2. $T_{-}<x_i^0<T_{+}$

3. $x_i^0>T_{+}$

对于区域 $2$ 中的积分，当然得到一个关于 $p_i^0$ 解析的函数。因此我们只需要考虑区域 $1,3$。对于单个的 $x_i^0$ 来说，它既可能是位于区域 $1$ 或是区域 $3$ 的。不妨考虑下面这样的情形：仅有 $x_1$ 与 $x_2$ 是位于区域 $3$ 的，剩下的所有坐标都位于区域 $1$。那么我们就可以将时序积写为：

$T\{\phi(x_1)\phi(x_2)\phi(x_3)\cdots\} = T\{\phi(x_1)\phi(x_2)\}T\{\phi(x_3)\cdots\}$

设两粒子本征态为 $\lambda_{\bm{K}}$，考虑其完备性关系：

$(\bm{1})_{two\ particles} = \sum_{\lambda} \int \frac{d^3K}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bm{K}}}|\lambda_{\bm{K}}\rangle\langle\lambda_{\bm{K}}|$

对该 $(n+2)$ 点关联函数的 $x_1,x_2$ 进行变换，并插入恒等算子得到：

$\begin{aligned} \sum_{\lambda} \int \frac{d^3K}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bm{K}}} (&\prod_{i=1,2}\int\frac{d^3k_i}{(2\pi)^3}\int d^4x_i e^{i \tilde{p}_i\cdot x_i}\varphi_i(\bm{k}_i))\\ &\times \langle\Omega|T\{\phi(x_1)\phi(x_2)\}|\lambda_{\bm{K}}\rangle\langle\lambda_{\bm{K}}|T\{\phi(x_3)\cdots\}|\Omega\rangle\\ \end{aligned}\tag{7}$

若 $\lambda_{\bm{K}}$ 含有的两个粒子是相互分离，彼此独立的两个态。那么我们可以把 $\lambda_{\bm{K}}$ 写为两个单粒子态的直积态的形式：

$|\lambda_{\bm{K}}\rangle = |\lambda_{\bm{q}_1}\rangle|\lambda_{\bm{q}_2}\rangle$

并且可以将时序符号去掉（无因果性）。

如此，我们可以将 $(7)$ 式改写为：

$\begin{aligned} &\sum_{\lambda_1,\lambda_2} \int \frac{d^3q_1}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bm{q_1}}}\int \frac{d^3q_2}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bm{q_2}}} (\prod_{i=1,2}\int\frac{d^3k_i}{(2\pi)^3}\int d^4x_i e^{i \tilde{p}_i\cdot x_i}\varphi_i(\bm{k}_i))\\ &\times \langle\Omega|\phi(x_1)|\lambda_{\bm{q_1}}\rangle\langle\Omega|\phi(x_1)|\lambda_{\bm{q_2}}\rangle\langle\lambda_{\bm{q}_1}\lambda_{\bm{q}_2}|T\{\phi(x_3)\cdots\}|\Omega\rangle\\ \underset{\bm{k}_i^0\rightarrow E_{\bm{k}_i}}{\sim}& (\prod_{i=1,2} \int \frac{d^3k_i}{(2\pi)^3}\varphi_i(\bm{k}_i)\frac{i}{\tilde{p}_i^2-m^2+i\epsilon}\cdot \sqrt{Z})\langle \bm{k}_1\bm{k}_2|T\{\phi(x_3)\cdots\}|\Omega\rangle\\ \end{aligned}\tag{8}$

现在令 $\varphi(\bm{k}_i)$ 趋近于 $\delta$ 函数，那么上式子最后写为：

$(\prod_{i=1,2} \frac{i}{p_i^2-m^2+i\epsilon}\cdot \sqrt{Z})\langle \bm{p}_1\bm{p}_2|T\{\phi(x_3)\cdots\}|\Omega\rangle$

对于处于区域 $1$ 中的坐标 $x_3,\cdots$，我们也应用相同的分析，最终得到如下结果：

$(\prod_{i=1,2} \frac{i}{p_i^2-m^2+i\epsilon}\cdot \sqrt{Z})(\prod_{i=3,\cdots} \frac{i}{p_i^2-m^2+i\epsilon}\cdot \sqrt{Z})_{out}\langle \bm{p}_1\bm{p}_2|-\bm{p}_3\cdots\rangle_{in}$

最后一项不是别的，正是散射矩阵！我们将这个结果一般化：

$\begin{aligned} &\prod_{1}^{n}\int d^4x_i e^{ip_i\cdot x_i} \prod_{1}^{m}\int d^4y_i e^{-ik_i\cdot y_i}\langle\Omega|T\{\phi(x_1)\cdots \phi(x_n)\phi(y_1)\cdots \phi(y_m)\}|\Omega\rangle\\ \underset{\bm{p}_i^0\rightarrow E_{\bm{p}_i},\bm{k}_i^0\rightarrow E_{\bm{k}_i}}{\sim}& (\prod_{i=1}^{n} \frac{\sqrt{Z} i}{p_i^2-m^2+i\epsilon})(\prod_{j=1}^{m} \frac{\sqrt{Z} i}{k_j^2-m^2+i\epsilon})\langle \bm{p}_1\cdots \bm{p}_n|S|\bm{k}_1\cdots\bm{k}_m\rangle \tag{9} \end{aligned}$

这就是 LSZ 约化公式。它给出了一种计算散射矩阵的方法：对关联函数做合适的傅里叶变换，并找到在对应的多粒子态 mass shell 附近的系数。

下面结合费曼图对式 $(9)$ 进行一些说明。在上一篇介绍电子自能图的时候，我们用 $-iM^2(p^2)$ 表示一个单粒子不可约图的贡献：

那么考虑如下图的值：

计算结果为：

$\frac{i}{p^2 - m_0^2 - M^2(p^2)} \underset{p^0\rightarrow E_{\bm{p}}}{\sim} \frac{iZ}{p^2-m^2}$

对于一个四点关联函数来说，其对应的费曼图为：

其将包含如下的结构：

$\frac{iZ}{p_1^2-m^2}\frac{iZ}{p_2^2-m^2}\frac{iZ}{k_1^2-m^2}\frac{iZ}{k_2^2-m^2}$

与 LSZ 理论相比较，得到：

$\langle \bm{p}_1\bm{p}_2|S|\bm{k}_1\bm{k}_2\rangle = (\sqrt{Z})^{4}i\mathcal{M}_{amputated}$

其中 $i\mathcal{M}_{amputated}$ 为以下费曼图的值：

光学定理

在 量子场论笔记（九）：散射矩阵 中利用散射矩阵的幺正性，我们给出了光学定理。这里再用费曼图的语言进行简单说明。

利用散射矩阵的幺正性 $S^\dagger S =1$ 得到：

$\begin{aligned} S &= 1+iT\\ -i(T-T^\dagger) &= T^\dagger T\\ \end{aligned}$

左右两边分别用出射态、入射态作用，最后结果为：

$-i[\mathcal{M}(a\rightarrow b) - \mathcal{M}^*(b\rightarrow a)] = \sum_f \int d\Pi_f \mathcal{M}^*(b\rightarrow f)\mathcal{M}(a\rightarrow f)\tag{10}$

用费曼图表示为：

对于费曼图对散射矩阵的贡献，其大部分情况下都是实的。除非当其中某些粒子在壳时，分母中引入的 $i\epsilon$ 才会使费曼图的贡献产生虚部。现在，我们用 $\mathcal{M}$ 表示费曼图的值，$s = E_{cm}^2$，将 $\mathcal{M}$ 看作一个关于 $s$ 的解析函数。令 $s_0$ 为产生最轻的多粒子态的阈值，那么对于 $s < s_0,s\in\mathbb{R}$，$\mathcal{M}(s)$ 为实数，而费曼规则限制了 $\mathcal{M}$ 的形式，那么有：

$\mathcal{M}(s) = [\mathcal{M}(s^*)]^*\tag{11}$

两边均为 $s$ 的解析函数，我们因此可以把这个关系解析延拓到整个复平面上。特别地，考虑在实轴附近，有：

$\begin{aligned} &\mathrm{Re}\mathcal{M}(s+i\epsilon) = \mathrm{Re}\mathcal{M}(s-i\epsilon)\\ &\mathrm{Re}\mathcal{M}(s+i\epsilon) = - \mathrm{Im}\mathcal{M}(s-i\epsilon)\\ \end{aligned}\tag{12}$

因此在 $s\geqslant s_0$ 时，实轴处存在 branch cut，不连续值为：

$\begin{aligned} \mathrm{Disc}\mathcal{M}(s) &= \mathcal{M}(s+i\epsilon) - \mathcal{M}(s-i\epsilon)\\ &= 2i\mathrm{Im}\mathcal{M}(s+i\epsilon)\\ \end{aligned}\tag{13}$

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下面以 $\phi^4$ 理论为例，对 $\mathcal{M}$ 的 branch cut 进行说明。

费曼图

考虑一个在 s-channel 上具有一个圈的费曼图。

通过 wick rotation，该费曼图的值写为：

$\begin{aligned} i\delta \mathcal{M} = \frac{\lambda^2}{2}\int \frac{d^4q}{(2\pi)^4} \frac{1}{(k/2-q)^2 - m^2 + i\epsilon}\frac{1}{(k/2+q)^2 - m^2 + i\epsilon}\tag{14} \end{aligned}$

不妨在质心系中考虑问题，此时取 $k = (k^0,\bm{0})$，上式将存在四个极点：

$\begin{aligned} q^0 = \frac{1}{2}k^0 \pm (E_{\bm{q}} -i\epsilon)\\ q^0 = -\frac{1}{2}k^0 \pm (E_{\bm{q}} -i\epsilon)\\ \end{aligned}$

我们选取积分围线向下闭合。如此以下有两个极点被包括：

$q^0 = \pm\frac{1}{2}k^0 + E_{\bm{q}} -i\epsilon$

其中，只有极点 $q^0 = -\frac{1}{2}k^0 + E_{\bm{q}} -i\epsilon$ 是在 mass shell 附近的，将对该费曼图的不连通性有贡献。由留数定理得到：

$\begin{aligned} i\delta \mathcal{M} &= -2\pi i\frac{\lambda^2}{2}\int \frac{d^3q}{(2\pi)^4}\frac{1}{2E_{\bm{q}}}\frac{1}{(k^0-E_{\bm{q}})^2 - E_{\bm{q}}^2}\\ &= -2\pi i\frac{\lambda^2}{2}\int \frac{d^3q}{(2\pi)^4}\frac{1}{2E_{\bm{q}}}\frac{1}{(k^0-E_{\bm{q}})^2 - E_{\bm{q}}^2}\\ &= -2\pi i\frac{\lambda^2}{2}\frac{4\pi}{(2\pi)^4}\int_{m}^{\infty} dE_{\bm{q}}E_{\bm{q}}|\bm{q}| \frac{1}{2E_{\bm{q}}}\frac{1}{k^0(k^0-2E_{\bm{q}})}\\ \end{aligned}\tag{15}$

应用留数定理的过程等价于作如下替代：

$\frac{1}{(k/2+q)^2-m^2+i\epsilon} \rightarrow -2\pi i\delta((k/2+q)^2-m^2)$

最后一行表达式中出现了有关 $E_{\bm{q}}$ 的极点 $E_{\bm{q}} = k_0/2$。
考虑到能量 $E_{\bm{q}}$ 总不小于 $m$。因此当 $k_0 < 2m$ 时，对 $E_{\bm{q}}$ 的积分将不经过 $\frac{k^0}{2}$，对应的结果是解析的。而对于 $k^0 > 2m$，令极点位于实轴上方或是下方将给出不同的结果，因此出现 branch cut。

应用以下公式：

$\frac{1}{k^0 - 2E_{\bm{q}} \pm i\epsilon} = P\frac{1}{k^0 - 2E_{\bm{q}}} \mp i\pi \delta(k^0-2E_{\bm{q}})$

其中不连续的部分来自于 $\delta$ 函数，对 $\delta M$ 不连续性的计算等价于做如下替换：

$\frac{1}{(k/2-q)^2-m^2+i\epsilon} \rightarrow -2\pi i\delta((k/2-q)^2-m^2)$

再次回到 $(15)$ 式，我们将其重写为：

$i\delta \mathcal{M} = \frac{\lambda^2}{2}\int \frac{d^4p_1}{(2\pi)^4}\int \frac{d^4p_2}{(2\pi)^4} \frac{1}{p_1^2 - m^2 + i\epsilon}\frac{1}{p_2^2 - m^2 + i\epsilon}\delta^{(4)}(p_1+p_2-k)$

为了计算 $\delta \mathcal{M}$ 的不连续性，我们只需要做以下替换：

$\frac{1}{p_i^2-m^2+i\epsilon} \rightarrow -2\pi i\delta(p_i^2-m^2)\tag{16}$

得到：

$i\delta \mathcal{M} = -\frac{\lambda^2}{2}\int \frac{d^3p_1}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_1} \int \frac{d^3p_2}{(2\pi)^3} \frac{1}{2E_2}\delta^{(4)}(p_1+p_2-k)$

其中，$\lambda^2$ 正好是领头阶散射振幅的模方：

$|\mathcal{M}(k)|^2 = \lambda^2$

因此有：

$\mathrm{Disc}\mathcal{M}(k) = \frac{i}{2}\int \frac{d^3p_1}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_1} \int \frac{d^3p_2}{(2\pi)^3} \frac{1}{2E_2} |\mathcal{M}(k)|^2 \delta^{(4)}(p_1+p_2-k)$

到此在 $\phi^4$ 理论中，我们验证公式 $(10)$。我们发现：如果两个传播子同时在壳，那么会出现 branch cut，导致跃迁矩阵元的不连续性出现。

Cutkosky 证明了如下计算不连续性的普遍方法：

1. 将费曼图进行所有可能的分割，使得被分割的传播子能够同时在壳。
2. 对于每一个被分割的传播子，做替代 $1/(p_i^2-m^2+i\epsilon) \rightarrow -2\pi i\delta(p_i^2-m^2)$
3. 将所有可能的分割方式的贡献求和。

以 Bhabha 散射为例，根据光学定理有：

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下面我们应用光学定理处理关于一个标量粒子的两点关联函数：

其值为：

$\frac{i}{p^2-m_0^2-M^2(p^2)}$

利用 LSZ 约化公式，有：

$\mathcal{M}(p\rightarrow p) = -ZM^2(p^2)\tag{17}$

对于这个标量粒子是稳定的情况（不发生衰变），那么将没有可能的末态对 $(10)$ 式的右边有贡献，如此得到 $M^2(p^2)$ 是实数。决定这个粒子质量的方程：

$m^2 - m_0^2 -M^2(m^2) = 0 \tag{18}$

将具有一个实值极点 $m$。

对于这个标量粒子不稳定的情况（粒子可以发生衰变，生成多个更轻的粒子），$M^2(p^2)$ 将具有虚部。我们将 $(18)$ 式修改为：

$m^2 - m_0^2 - \mathrm{Re} M^2(m^2) = 0 \tag{19}$

如此，我们可以得到：

$\frac{iZ}{p^2-m^2 - iZ\mathrm{Im}M^2(p^2)} \tag{20}$

在极点附近，散射截面将具有形式：

$\sigma\propto |\frac{1}{s-m^2-iZ\mathrm{Im}M^2(p^2)}|$

根据 Breit-Wigner 公式，在共振态附近的散射截面为：

$\sigma \propto |\frac{1}{p^2-m^2+im\Gamma}|^2$

那么可以得到衰变速率的表达式：

$\Gamma = -\frac{Z}{m}\mathrm{Im}M^2(m^2) \tag{21}$

这个表达式根据 $(10)$ 式就能够转换为我们熟悉的表达式：

$\Gamma = \frac{1}{2m}\sum_f\int d\Pi_f |\mathcal{M}(p\rightarrow f)|^2 \tag{22}$