原子核物理笔记（六）：β 衰变

$\beta$ 衰变 是指原子核自发地放出 $\beta$ 粒子或俘获一个电子而发生的转变。 $\beta$ 粒子是电子与正电子的总称。 $\beta$ 衰变共有三类：

$\beta^{-}$ 衰变：放出电子

$\beta^{+}$ 衰变：放出正电子

轨道电子俘获：俘获轨道电子。按照俘获电子的类型分为 $K$ 俘获、 $L$ 俘获等，一般来说 $K$ 俘获的概率最大。

$\beta$ 衰变的半衰期分布在 $10^{-2}s$ 至 $10^{18}a$ 的范围内，发射出粒子的能量最大为几个 $\mathrm{MeV}$ 。在全部周期表的范围内都存在 $\beta$ 放射性核素。

β 能谱的特点

实验发现， $\beta$ 衰变放出的 $\beta$ 射线，其强度随能量的变化为连续分布。通常用来测量 $\beta$ 能谱的实验装置是 $\beta$ 磁谱仪。在处理 $\beta$ 粒子的有关问题时，必须要考虑相对论效应。

考虑 $\beta$ 粒子在磁场中的行为：

$\left\{ \begin{aligned} &E^2 = c^2p^2 + m_e^2c^4\\ &p = eB\rho \\ \end{aligned} \right.\tag{1}$

在磁谱仪中， $B$ 是设置好的，需要测量 $\rho$ 。我们得到 $\beta$ 粒子的动能为：

$T = [c^2e^2(B\rho)^2 + m_e^2c^4] - m_ec^2\tag{2}$

实验测得 $\beta$ 衰变能谱的一般规律为：

$\beta$ 粒子的能量是连续分布的
有一确定的最大能量 $E_{m}$
在某一能量处，强度最大

$\beta$ 谱中的最大能量正好等于衰变能， $\beta$ 谱中的其他能量都低于衰变能。这产生了一个问题： $\beta$ 衰变中能量守恒如何满足？对于那些 $\beta$ 谱中那些小于衰变能的值，少的那部分能量到哪里去了呢？

为了解释 $\beta$ 衰变中的能量守恒问题，人们提出过一些假说：

在 $\beta$ 衰变中，母核通过 $\beta$ 衰变跃迁到不同的能级上，然后通过放出 $\gamma$ 光子回到基态。
这不能解释 $\beta$ 谱的能级为何是连续的。

在 $\beta$ 衰变中，放出的电子将部分能量传给了轨道电子。
这个观点被实验否认了。使用一个量热器测量封闭空间的 $\beta$ 衰变的能量变化，若上述观点成立，那么测量得到的能量变化应当等于衰变能，然而实际测量结果为 $\beta$ 谱的平均值。

以上假说被否定似乎告诉我们在 $\beta$ 衰变中能量不守恒，然而事实上所有挑战能量守恒的尝试都以失败告终。那么根据假说2的实验结果，应当是部分能量逃逸到了量热器之外。Pauli 在 1930 年到 1933 年提出了中微子假说，认为在 $\beta$ 衰变的过程中，同时产生了中微子与电子，考虑到 $\beta$ 衰变的产物有三个，即使衰变能量是量子化的，但 $\beta$ 能谱可以是连续的，并且中微子与物质的相互作用是很弱的，这也解释了量热器中对 $\beta$ 衰变能量的测量结果。

下面进行具体介绍中微子。

中微子

中微子质量几乎为零，不带电，使用符号 $\nu$ 表示。那么 $\beta^{-}$ 衰变可以表示为：

$\mathrm{X}\rightarrow\mathrm{Y} + e + \nu$

考虑母核动量 $p_X\approx 0$ 的情况，在 $\beta$ 衰变中，动量守恒与能量守恒可以写为：

$\left\{ \begin{aligned} & 0 = \bm{p}_Y + \bm{p}_e + \bm{p}_\nu\\ & E_d = E_Y + E_e + E_{\nu}\\ \end{aligned}\tag{3} \right.$

现在在一些极端情况下进行讨论。

$\beta$ 粒子和反冲核的动量大小相等方向相反，即 $\bm{p}_B = -\bm{p}_Y$
此时有：

$\bm{p}_\nu = 0$

对应中微子能量为零，衰变能可写为：

$\begin{aligned} E_d &= E_{\beta} + E_Y + E_{\nu}\\ &= E_{\beta} + E_{Y}\\ \end{aligned}\tag{4}$

另一方面，有：

$\begin{aligned} E_Y &= \frac{p_Y^2}{2m_Y}\\ & = \frac{p_{\beta}^2}{2m_Y}\\ &= \frac{(E_{\beta}+2m_ec^2)E_{\beta}}{2m_Yc^2}\\ \end{aligned}\tag{5}$

对应的衰变能为：

$\begin{aligned} E_d &= (1 + \frac{E_{\beta}+2m_ec^2}{2m_Yc^2})E_{\beta}\\ &=(1 + \frac{E_{\beta}}{2m_Rc^2}+\frac{m_e}{m_R})E_{\beta}\\ &\approx E_{\beta}\\ \end{aligned}\tag{6}$

此时 $\beta$ 粒子动能大约等于衰变能。

中微子和反冲核的动量大小相等方向相反，即 $\bm{p}_{\nu}=-\bm{p}_Y$ ，此时 $\bm{p}_{\beta} = 0$ ，有：

$E_{\beta} = 0$

因此一般情况下 $\beta$ 粒子能量是介于上述两种情况之间的。

中微子的性质

根据实验和理论考虑，可以得出中微子的一些基本性质。

静止质量 $m_\nu$
实验测得中微子静止能量的上限为 $15\mathrm{eV}$ 。在 $\beta$ 衰变中，静止质量可以看作零，因此，速度接近光速。
电荷 $q_{\nu}= 0$
自旋 $I_v = \frac{1}{2}$ ，遵从费米统计
磁矩 $\mu$
实验中没有测得中微子的磁矩，其上限不超过 $10^{-6}\mu_N$
螺旋性 $\mathscr{H}=\pm 1$
螺旋性定义为：

$\mathscr{H} = \frac{\bm{p}\cdot\bm{\sigma}}{|\bm{p}||\bm{\sigma}|}$

实验发现有两种中微子：
$\mathscr{H}=+1$ 对应反中微子（右旋粒子） $\bar{\nu}$
$\mathscr{H}=-1$ 对应中微子（左旋粒子） $\nu$
在 $\beta^{-}$ 衰变的过程中产生 $\bar{\nu}$ ，在 $\beta^{+}$ 衰变以及轨道电子俘获中放出 $\nu$ 。

β 衰变的类型及其衰变能

三种 $\beta$ 衰变可表示为如下：

$\beta^{-}$ 衰变：

$\mathrm{^A_ZX} \rightarrow \mathrm{^A_{Z+1}Y} + e^{-} +\bar{\nu}\tag{7}$

$\beta^{+}$ 衰变：

$\mathrm{^A_ZX} \rightarrow \mathrm{^A_{Z-1}Y} + e^{+} +\nu\tag{8}$

轨道电子俘获：

$\mathrm{^A_ZX} + e^{-} \rightarrow \mathrm{^A_{Z-1}Y} +\nu\tag{9}$

首先我们对衰变能进行套路：

$\beta^{-}$ 衰变：

$\begin{aligned} E_d &= [m_X(Z,A)-m_Y(Z+1,A)-m_e]c^2\\ & = [M_X(Z,A)-M_Y(Z+1,A)]c^2 \end{aligned}\tag{10}$

忽略了 $X,Y$ 的电子结合能的差异。
如此，只有 $M_X>M_Y$ 时，才能发生 $\beta^{-}$ 衰变。

$\beta^{-}$ 衰变：

$\begin{aligned} E_d &= [m_X(Z,A)-m_Y(Z-1,A)-m_e]c^2\\ & = [M_X(Z,A)-M_Y(Z+1,A)-2m_e]c^2 \end{aligned}\tag{11}$

如此，只有 $M_X-M_Y>2m_e$ 时，才能发生 $\beta^{+}$ 衰变。

轨道电子俘获 $\varepsilon$ ：

$\begin{aligned} E_d &= [m_X(Z,A) + m_e-m_Y(Z-1,A)]c^2 - W_i\\ & = [M_X(Z,A)-M_Y(Z+1,A)]c^2-W_i\\ \end{aligned}\tag{12}$

上式中 $W_i$ 为电子再子核原子中的结合能， $i$ 代表 $\mathrm{K,L,M}$ 等电子壳层，只有 $M_X-M_Y>W_i/c^2$ 时，才能发生轨道电子俘获。

由于 $K$ 层电子最靠近原子核，因而 $K$ 俘获的概率最大。但是当 $W_K/c^2 > M_X - M_Y > W_L/c^2$ 时，此时 $K$ 俘获不可能发生，对应的 $L$ 俘获的概率成为最大，例如 $\mathrm{^{202}Pb}$ 和 $\mathrm{^{205}Pb}$ 。

再发生轨道电子俘获之后，原子的内层电子会缺少一个（例如 $K$ 俘获会导致 $K$ 层的电子数少一个），此时子核原子处于不稳定的激发态，于是邻近的 $L$ 层电子会跃迁到 $K$ 层以填补空位，同时放出 特征 $X$ 射线，其能量为：

$h\nu = W_K - W_L\tag{13}$

$K$ 俘获的另一种伴随粒子是 俄歇电子，当 $L$ 层电子跃迁到 $K$ 层时，可以把能量传递给另一个 $L$ 层电子，使其克服结合能发射出去，其动能为：

$E_k = W_K- 2W_L\tag{14}$

双 $\beta$ 衰变
双 $\beta$ 衰变有以下几种类型：

$\begin{aligned} &\mathrm{^A_ZX} \overset{2\beta^{-}}{\longrightarrow} \mathrm{^A_{Z+2}Y}\\ &\mathrm{^A_ZX} \overset{2\beta^{+}}{\longrightarrow} \mathrm{^A_{Z-2}Y}\\ &\mathrm{^A_ZX} \overset{2\beta^{+}\varepsilon}{\longrightarrow} \mathrm{^A_{Z-2}Y}\\ &\mathrm{^A_ZX} \overset{2\varepsilon}{\longrightarrow} \mathrm{^A_{Z-2}Y}\\ \end{aligned}\tag{15}$

双 $\beta$ 衰变实际发生的概率很小。

β 衰变基本理论

β 衰变费米理论

在中微子假说提出不久，费米基于中微子假说和实验事实建立了 $\beta$ 衰变理论，成功解释了实验上所观察到的 $\beta$ 谱的形状、半衰期和能量的关系。后来的理论与费米理论的基本思想是一样的。

费米认为， $\beta$ 衰变的本质在于原子核中中子和质子的互相转变，在跃迁过程中放出电子和中微子。 $\beta$ 粒子与中微子是跃迁的产物，事先并不存在于核内。类比原子发光，费米提出 $\beta$ 衰变是中微子场与原子核相互作用的结果，这是一种弱相互作用。

严格的对 $\beta$ 衰变概率的推导需要量子场论，这里仅仅作一个示意性的推导。根据量子力学微扰论，单位时间内发射动量在 $p$ 到 $p+dp$ 间的 $\beta$ 粒子的概率为：

$I(p)dp = \frac{2\pi}{\hbar}|\int\psi_f^*H\psi_id\tau|^2 \frac{dn}{dE}\tag{16}$

其中 $\psi_i$ 为母核的波函数 $u_i$ 。 $\psi_f$ 为终态波函数，存在三个粒子：子核， $\beta$ 粒子，中微子，设其波函数分别为 $u_f,\phi_\beta,\phi_\nu$ 。它们之间的相互作用很弱，那么有：

$\psi_f = u_f\phi_\beta\phi_\nu$

$\frac{dn}{dE}$ 为态密度， $H$ 为 $\beta$ 相互作用的哈密顿量。

在费米理论中，简单假定 $H$ 为一个常量 $g$ ，我们称为 弱相互作用常量。于是 $(16)$ 式可写为：

$I(p)dp = \frac{2\pi g^2}{\hbar}|\int u_f^* \phi_\beta^* \phi_{\nu}^* u_i d\tau|^2 \frac{dn}{dE}\tag{17}$

我们假定末态粒子间的相互作用很弱，可以近似的把 $\beta$ 粒子和中微子看作自由粒子，并且以平面波来描写它们：

$\begin{aligned} \phi_{\beta}^* = V^{-1/2}\exp(-i\bm{k}_{\beta}\cdot\bm{r})\\ \phi_{\nu}^* = V^{-1/2}\exp(-i\bm{k}_{\nu}\cdot\bm{r})\\ \end{aligned}\tag{18}$

采用箱归一化，其中 $V$ 为归一化体积。

将 $(18)$ 代入 $(17)$ 得到：

$I(p)dp = \frac{2\pi g^2}{\hbar V^2}|M_{if}|^2 \frac{dn}{dE}\tag{19}$

其中 $M_{if} = \int u_f^* u^i\exp(-i(\bm{k}_{\beta} + \bm{k}_{\nu})) d\tau$ 为跃迁矩阵元。

按照量子统计理论， $\beta$ 粒子和中微子的态密度为：

$\begin{aligned} dn_{\beta} &= \frac{4\pi p^2dp}{(2\pi \hbar)^3} V\\ dn_\nu &= \frac{4\pi p_{\nu}^2dp_{\nu}}{(2\pi \hbar)^3} V\\ \end{aligned}$

那么最终的态密度为：

$\begin{aligned} \frac{dn}{dE} &= \frac{dn_{\beta}dn_{\nu}}{dE}\\ & = \frac{p^2p_{\nu}^2dpdp_{\nu}}{4\pi^4\hbar^6dE} V^2\tag{20} \end{aligned}$

忽略子核的动能，那么中微子和 $\beta$ 粒子的能量之和应当等于 $\beta$ 粒子的最大能量 $E_m$ （等于衰变能）。对于某一确定的 $\beta$ 衰变来说， $E_m$ 为常量。那么有：

$dE_{\nu} = -dE$

考虑到中微子的静质量 $m_{\nu} \approx 0$ ，那么有：

$dE_{\nu} = cp_{\nu},\quad p_{\nu} = (E_m - E)/c^2$

代入 $(20)$ ，得到：

$\frac{dn}{dE} = \frac{p^2(E_m-E)^2dp}{4\pi^4\hbar^6c^3}V^2 \tag{21}$

最终得到 $\beta$ 衰变的概率公式：

$I(p)dp = \frac{g^2|M_{if}|^2}{2\pi^3\hbar^7c^3}(E_m-E)^2p^2dp \tag{22}$

考虑 $(22)$ 式，跃迁矩阵元 $|M_{if}|$ 一般随 $\beta$ 粒子的变化不剧烈。实际上， $\beta$ 粒子的动量分布实际上取决于统计因子 $(E-E_m)^2p^2$ ，这表现为 $I(p)$ 在两端按抛物线形状趋于零，在中间有一极大值。

上述理论，我们忽略了原子核的库伦场对发射 $\beta$ 粒子的影响。这种影响对于高原子序数的核发射低能 $\beta$ 粒子时特别显著。因此，在考虑库伦场的影响之后，我们对式 $(22)$ 乘以一个改正因子 $F(Z,E)$ ，通常称它为 费米函数，或叫 库仑改正因子。在非相对论近似中，我们考虑用一个简单函数进行代替：

$F(Z,E) = \frac{x}{1-e^{-x}}\quad x = \pm \frac{2\pi Zc}{137\nu}$

$x$ 对 $\beta^{-}$ 衰变取正号， $\beta^{+}$ 衰变取负号。考虑库仑改正因子后， $\beta$ 粒子动量分布的最后表达式为：

$I(p)dp = \frac{g^2|M_{if}|^2}{2\pi^3\hbar^7c^3}F(Z,E)(E_m-E)^2p^2dp \tag{23}$

跃迁分类和选择定则

根据跃迁矩阵元的大小，我们将 $\beta$ 衰变分为：

容许跃迁

跃迁矩阵元较大，与轻子的能量、动量无关，仅与原子核的前后状态有关。主要发射 $s$ 波轻子。
禁戒跃迁

跃迁矩阵元很小。又分为一级禁戒跃迁（发射 $p$ 波轻子），二级禁戒跃迁（发射 $d$ 波轻子）等等。

容许定则遵从以下选择定则：

$\left\{ \begin{aligned} & \Delta I = 0,\pm 1\\ & \Delta \pi = 1\\ \end{aligned} \right.$

其中 $\Delta I,\Delta \pi$ 分别代表前后原子核的自旋变化（母核自旋与子核自旋之差）与宇称变化（母核宇称与子核宇称之积）。

$n$ 级跃迁的选择定则为：

$\left\{ \begin{aligned} & \Delta I = \pm(n),\pm (n+1)\\ & \Delta \pi = (-1)^n\\ \end{aligned} \right.$

衰变常量和比较半衰期

萨金特定律

$\begin{aligned} \lambda &= \frac{\ln 2}{T_{1/2}}\\ & = \int_{0}^{p_m}I(p)dp\\ & \approx \frac{m_e^5c^4g^2|M_{if}|^2}{2\pi^3\hbar^7} f(Z,E_m)\tag{24} \end{aligned}$

其中：

$f(Z,E_m) = \int_{0}^{p_m} F(Z,E)(\frac{E_m-E}{m_ec^2})(\frac{p}{m_ec})^2\frac{dp}{m_ec}\tag{25}$

当 $E_m\gg m_ec^2$ 时， $F(Z,E) \approx 1$ 。此时根据 $(24),(25)$ 得到：

$\lambda \propto E_m^5$

根据 $(24)$ 式，可得：

$fT_{1/2} \approx \frac{2\pi^3\hbar^7\ln 2}{m_e^5 c^4 g^2 |M_{if}|^2} \tag{26}$

$fT_{1/2}$ 可以用来比较跃迁的级次，称为 比较半衰期。对于同一级次的跃迁，比较半衰期的数量级大致相同。

跃迁级次	$\log fT_{1/2}$
超容许跃迁	$2.9\sim 3.7$
容许跃迁	$4.4\sim 6.0$
一级禁戒（非唯一型）	$6\sim 9$
一级禁戒（唯一型）	$8\sim 10$
二级禁戒	$10\sim 13$
三级禁戒	$15\sim 18$

对于容许跃迁来说， $(26)$ 式成为：

$fT_{1/2} \approx \frac{2\pi^3\hbar^7\ln 2}{m_e^5 c^4 g^2 |M|^2} \tag{27}$

$M$ 为原子核矩阵元。它决定于母核与子核的波函数，母核与子核的波函数很像，两者几乎重叠，则 $|M|^2 \approx 1$ 。需要考虑因不同同位旋态的结合给出附加因子时， $|M|^2$ 就接近另一个整数，例如 $0^+\longrightarrow 0^+$ 跃迁，有 $|M^2|\approx 2$ 。

轨道电子俘获

对于轨道电子俘获来说，原子核只要吸收一个电子，放出一个中微子，此时中微子的能量不是连续的。单位时间内的跃迁概率就等于电子俘获的衰变概率。于是衰变常量可表示为：

$\lambda = \frac{2\pi}{\hbar}|\int \psi_f^* \hat{H} \psi_i d\tau|^2 \frac{dn}{dE_{\nu}} \tag{28}$

其中， $\hat{H}$ 是相互作用算符。

初态波函数 $\psi_i^* $ 可表示为母核波函数与电子波函数的乘积。
终态波函数 $\psi_f^* $ 可表示为子核波函数与中微子波函数的乘积。

其中可以近似认为子核波函数与母核波函数近似相等；中微子波函数可以看作平面波；电子波函数为束缚态波函数，对于 K 俘获而言，其就是 K 层电子的波函数：

$\psi_K = \frac{1}{\pi^{1/2}} (\frac{Zm_ee^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar^2})^{3/2}\exp(-\frac{Zm_ee^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}r) \tag{29}$

态密度为：

$\frac{dn}{dE_\nu} = \frac{4\pi p_\nu^2 dp_{\nu}}{(2\pi\hbar)^3dE_\nu} V \tag{30}$

对于中微子有 $E_{\nu} = cp_{\nu}$ ，最后得到：

$\begin{aligned} \lambda_k &= \frac{2m_e^5c^4g^2}{\pi^2\hbar^7}(\frac{Ze^2}{\hbar c})^3 |M|^2W^2_{\nu} \\ & = \frac{m_e^5c^4g^2|M|^2}{2\pi^3 \hbar^7} f_K(Z,W_\nu) \end{aligned}\tag{31}$