原子核物理笔记（七）：γ 衰变

$\alpha$ 衰变和 $\beta$ 衰变所形成的子核往往处于激发态。核反应所形成的原子核，情况也是如此。激发态总是不稳定的，它要直接退激或者次级退激到基态。原子核通过发射 $\gamma$ 光子（或称 $\gamma$ 辐射）从激发态跃迁到较低能态的过程，称为 $\gamma$ 跃迁，或称为 $\gamma$ 衰变。

Fig： $\gamma$ 辐射 $^{[2]}$

γ 辐射

经典电磁辐射

我们先介绍经典的理论：带电体系作周期性运动时会产生电磁辐射。

电偶极振荡产生的辐射称为电偶极辐射， $p = p_0\sin\omega t$ 。可以得到偶极振子的平均辐射功率为：

$\bar{W} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\omega^4}{3c^3} p_0^2 \tag{1}$

由 电多极子 产生的辐射称为 电多极辐射。另外，还有 磁偶极辐射 与 磁多极辐射。多极辐射具有能量和角动量，它们是频率 $\omega$ 的函数。振动频率 $\omega$ 、辐射能量、角动量也可以取任意值。

下面直接给出结果，具体过程可以参看电动力学。

对于电多极辐射有：

$\begin{aligned} W_{E}(LM) &= \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{8\pi (L+1)c}{L[(2L+1)!!]^2} (\frac{\omega}{c})^{2L+2} |Q_{LM}|^2\\ Q_{LM} &=\int r^{L}Y^*_{LM}(\theta,\phi) \rho d\tau \end{aligned}\tag{2}$

对于磁多极辐射有：

$\begin{aligned} W_{M}(LM) &= \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{8\pi (L+1)c}{L[(2L+1)!!]^2} (\frac{\omega}{c})^{2L+2} |M_{LM}|^2\\ M_{LM} &=-\frac{1}{(L+1)c}\int r^{L}Y^*_{LM}(\theta,\phi) \nabla\cdot(\bm{r}\times\bm{j}) d\tau \end{aligned}\tag{3}$

原子核的 $\gamma$ 辐射
原子核 $\gamma$ 跃迁时所产生的多级辐射不能使用经典力学来处理。原子核的能量、角动量都是量子化的，另外原子核具有确定的宇称。这将决定原子核的 $\gamma$ 辐射的特点：

对于特定能级间的跃迁， $\gamma$ 光子的能量是确定的：

$E_{\gamma} = E_i - E_f \tag{4}$

跃迁前后角动量守恒， $\gamma$ 光子具有确定的角动量。
考虑到光子是纵向极化的，在 $\gamma$ 跃迁中被光子带走的角动量不可能为零，至少是 $1$ 。设原子核跃迁前的角动量为 $I_i$ ，跃迁后的角动量为 $I_f$ ， $\gamma$ 光子的角动量为 $L$ ，则有：

$L = I_i - I_f \tag{5}$

$0\rightarrow 0$ 跃迁不可能通过发射光子实现，但存在其他的 $\gamma$ 衰变的方式：比如内转换。

根据 $\gamma$ 光子带走的角动量的不同，可以将 $\gamma$ 辐射分为不同的级次：

级次	$\gamma$ 辐射
$L = 1$	偶极辐射
$L = 2$	四极辐射
$L = 3$	八极辐射
$L$	$2^L$ 极辐射

跃迁前后宇称守恒。
$\gamma$ 跃迁是一种电磁相互作用，在电磁相互作用中宇称是守恒的。设原子核在跃迁前的宇称为 $\pi_i$ ，跃迁后的宇称为 $\pi_f$ ， $\gamma$ 辐射的宇称为 $\pi_{\gamma}$ ，则宇称守恒给出下列表达式：

$\pi_i = \pi_f \pi_{\gamma} \tag{6}$

根据 $\gamma$ 辐射宇称的不同，我们一般将 $\gamma$ 辐射分为两类：

电多极辐射： $\pi_{\gamma} = (-1)^{L}$
磁多极辐射： $\pi_{\gamma} = (-1)^{L+1}$

通常电 $2^L$ 极辐射用符号 $EL$ 表示，磁 $2^L$ 极辐射用符号 $ML$ 表示。电多极辐射的实质主要是由原子核内电荷密度变化引起的；磁多极辐射由电流密度和内在磁矩的变化引起。

γ 辐射基本原理

γ 跃迁概率

同 $\alpha,\beta$ 衰变一样， $\gamma$ 衰变遵从指数衰变律：

$N = N_0 e^{-\lambda t} \tag{7}$

实验测量得到 $\gamma$ 衰变的半衰期一般比较短，大多在 $10^{-4}\sim 10^{-16} s$ 。

对于跃迁概率公式，在这里不做过多推导，我们简单的从经典理论出发，过渡到量子的情形。根据 $(2),(3)$ ，有：

$\begin{aligned} & \lambda_E(LM) = \frac{W_E(LM)}{\hbar\omega} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{8\pi (L+1)c}{L[(2L+1)!!]^2} \frac{k^{2L+1}}{\hbar} |Q_{LM}|^2\\ & \lambda_M(LM) = \frac{W_M(LM)}{\hbar\omega} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{8\pi (L+1)c}{L[(2L+1)!!]^2} \frac{k^{2L+1}}{\hbar} |M_{LM}|^2\\ \end{aligned}\tag{8}$

使用核态的波函数表示原子核的电荷与电流分布：

$\begin{aligned} & Q_{LM} = e\sum_{k=1}^{Z}r^L_kY_{LM}^* (\theta_k,\phi_k)\psi_f^* \psi_i d\tau\\ & M_{LM} = -\frac{1}{L+1} \frac{e\hbar}{2m_pc}\sum_{k=1}^{Z}r^L_kY_{LM}^* (\theta_k,\phi_k) \nabla\cdot(\psi_f^* \hat{L}_k \psi_i) d\tau\\ \end{aligned} \tag{9}$

上式中 $\psi_i$ 与 $\psi_f$ 分别为原子核的始态与终态波函数， $Z$ 是核的电荷数， $m_p$ 为质子质量。

在实际测量的过程中，我们关心的是跃迁概率 $\lambda(LM)$ 对角动量的方向求平均。

准确来说，是对原子核始态的角动量方向求平均，对终态以及光子的角动量方向求和。

最后可以得到电 $2^L$ 极辐射的跃迁概率 $\lambda_E(L)$ 和磁 $2^L$ 极辐射的跃迁概率如下：

$\begin{aligned} \lambda_E(L) &= \sum_{M_f = -I_f}^{I_f}\sum_{M_f = - L}^{L}\sum_{M_f = - I_i}^{I_i} \frac{1}{2I_i + 1}\lambda_E(LM) \\ &= \frac{8\pi(L+1)}{L[(2L+1)!!]^2} \frac{k^{2L+1}}{\hbar} \sum_{M_fMM_i}\frac{1}{2I_i+1}|Q_{LM}|^2\\ & = \frac{8\pi(L+1)}{L[(2L+1)!!]^2} \frac{k^{2L+1}}{\hbar}B(EL)\tag{10} \end{aligned}$

其中：

$B(EL) = \sum_{M_fMM_i}\frac{1}{2I_i+1}|Q_{LM}|^2\tag{11}$

$\begin{aligned} \lambda_E(L) = \frac{8\pi(L+1)}{L[(2L+1)!!]^2} \frac{k^{2L+1}}{\hbar}B(ML)\tag{12} \end{aligned}$

其中：

$B(ML) = \sum_{M_fMM_i}\frac{1}{2I_i+1}|M_{LM}|^2 \tag{13}$

其中 $B(EL)$ 与 $B(ML)$ 分别称为 $EL$ 跃迁与 $ML$ 跃迁的约化概率。其与跃迁的能量无关，仅仅和原子核的结构相联系，对核结构作一定的假设之后，理论上可以把它计算出来。在核结构的壳模型中， $\gamma$ 跃迁一般只是少数几个核子的跃迁，其中最简单的是单质子模型，即 $\gamma$ 跃迁是由原子核中的一个质子的状态改变所决定的。

$\begin{aligned} \lambda_E(L) &= \frac{2(L+1)}{L[(2L+1)!!]^2} (\frac{3}{L+3})^2 \frac{e^2}{\hbar c} (kR)^{2L}\omega\\ & = \frac{4.4 (L+1)}{L[(2L+1)!!]^2} (\frac{3}{L+3})^2 (\frac{E_\gamma}{197})^{2L+1} (1.4\times A^{1/3})^{2L}\times 10^{21}\\ \lambda_M(L) &= \frac{2(L+1)}{L[(2L+1)!!]^2} (\frac{3}{L+3})^2 (\frac{\hbar}{m_pcR})^2 \frac{e^2}{\hbar c} (kR)^{2L}\omega\\ & = \frac{1.9 (L+1)}{L[(2L+1)!!]^2} (\frac{3}{L+3})^2 (\frac{E_\gamma}{197})^{2L+1} (1.4\times A^{1/3})^{2L-2}\times 10^{21}\\ \end{aligned}\tag{14}$

上式中 $R$ 为核半径， $A$ 为质量数， $\gamma$ 跃迁的能量 $E_{\gamma}$ 以 $\mathrm{MeV}$ 为单位，所得的 $\lambda_{E}(L),\lambda_{M}(L)$ 的单位为 $s^{-1}$ 。

根据 $(14)$ 可以比较以下跃迁概率的数量级。现在考虑一个较重的原子核， $R\approx 10^{-12} \mathrm{cm}$ ，若光子能量为 $1\mathrm{MeV}$ ，可得：

$\begin{aligned} &\frac{\lambda_E(L+1)}{\lambda_E(L)} \approx (kR)^2 \approx 2.5 \times 10^{-3}\\ &\frac{\lambda_M(L+1)}{\lambda_M(L)} \approx (kR)^2 \approx 2.5 \times 10^{-3}\\ \end{aligned}\tag{15}$

可得，跃迁概率随着级次的增加迅速减小，每增加一个级次，跃迁概率小三个数量级。

比较相同级次的磁辐射与电辐射，可得：

$\frac{\lambda_M(L)}{\lambda_E(L)} = 10(\frac{\hbar}{m_pcR})^2 \approx 4\times 10^{-3}\tag{16}$

即相同级次的磁辐射概率比电辐射小两到三个数量级。

综合来说，磁偶极辐射与电四极辐射可能同时发生，磁四极辐射与电八极辐射可能同时发生，依次类推。这说明大致有：

$\lambda_M(L)\approx \lambda_E(L+1) \tag{17}$

选择定则

根据跃迁前后角动量与宇称的变化，结合对不同 $\gamma$ 跃迁概率数量级的讨论。得到如下 选择定则，讨论特定角动量、宇称变化可能产生的 $\gamma$ 跃迁。列在下表中：

$\Delta I$	$\Delta \pi$	$\gamma$ 跃迁
$0$ 或 $1$	$+1$	$M1(E2)$
$0$ 或 $1$	$-1$	$E1$
$2$	$+1$	$E2$
$2$	$-1$	$M2(E3)$
$3$	$+1$	$M3(E4)$
$3$	$-1$	$E3$
$4$	$+1$	$E4$
$4$	$-1$	$M4(E5)$
$5$	$+1$	$M5(E6)$
$5$	$-1$	$E5$

括号表示对应级次的跃迁可能同时出现。

内转换

原子核从激发态到较低的能态或者基态的跃迁，除了发生光子之外，还可以通过发射电子来实现。这种电子一般来自于原子的电子壳层，原子核在跃迁时将激发能直接交给原子的壳层电子而发射出来，这种现象称为 内转换。内转换过程中放出来的电子称为 内转换电子。

不能将内转换过程认为是内光电效应（原子核先放出光子，然后光子将能量交给电子），这是因为：

内转换过程的概率要大于内光电效应的概率。

内转换过程存在 $0\rightarrow 0$ 跃迁。

内转换电子是在早期研究 $\beta$ 能谱发现的，有些放射源除了 $\beta$ 连续谱外还存在一些线状谱。

$$\mathrm{^{203}Hg}$ 的 $\beta$ 谱$

Fig： $\mathrm{^{203}Hg}$ 的 $\beta$ 谱 $^{[3]}$

内转换电子的能量 $E_{e}$ 应当为：

$E_e = E_{\gamma} - W \tag{18}$

其中 $W$ 为相应壳层电子的结合能。

内转换过程中由于原子的内壳层缺少了电子出现空位，外层电子跃迁到内层，往往会发出特征 $X$ 射线或俄歇电子。

原子核从激发态到基态的转变既可以通过发射光子，也可以通过发射内转换电子。总的跃迁概率应当是两种跃迁概率之和：

$\lambda = \lambda_\gamma + \lambda_e \tag{19}$

定义衰变常量的如下比值为 内转换系数：

$\alpha \equiv \frac{\lambda_e}{\lambda_{\gamma}} = \frac{N_e}{N_{\gamma}}\tag{20}$

可以继续定义各壳层内转换系数：

$\alpha_K \equiv \frac{N_K}{N_{\gamma}},\quad \alpha_L \equiv \frac{N_L}{N_{\gamma}},\quad \alpha_M \equiv \frac{N_M}{N_{\gamma}}$

有以下关系：

$\alpha = \alpha_K + \alpha_L + \alpha_M + \cdots \tag{21}$

当 $W_K\ll E_k \ll m_e c^2$ 时，理论上可得 $El$ 和 $ML$ 跃迁的 $K$ 层内转换系数分别为：

$\begin{aligned} & \alpha_{K}(EL) \approx Z^3 (\frac{1}{137})^4 \frac{L}{L+1}(\frac{2m_ec^2}{E_\gamma})^{L + \frac{5}{2}}\\ & \alpha_{K}(ML) \approx Z^3 (\frac{1}{137})^4 (\frac{2m_ec^2}{E_\gamma})^{L + \frac{3}{2}}\\ \end{aligned}\tag{22}$

可以发现，若重核跃迁前后能级的角动量之差很大，而能量之差很小时，内转化系数很大，以至于很难观察到 $\gamma$ 辐射。此时可以通过测量 $\gamma$ 辐射的分支比来与理论作比较。

同核异能态

核同质异能素（亦称同核异构体）指的是由于某个原子的原子核内核子（质子或中子）处于激发态，而产生原子核的亚稳态，这种状态下原子核内的核子会占用能量更高的核子轨道。由于这些在激发态的核子的半衰期比常见的激发态的核子的半衰期要长（通常达到 $100\sim 1000$ 倍的时间），因此被称作处于“亚稳态”（Metastability），并在原子的质量数后附上 “ $m$ ” 作为标记，如 $\mathrm{_{27}^{58m}Co}$ 。在有多个亚稳态时，使用 $m_1,m_2,m_3$ 等，按照激发能量从低到高进行标记 $^{[4]}$ 。

实验发现，同核异能态与基态之间的角动量之差一般较大，能量之差一般较小。同核异能跃迁的内转化系数一般是比较大的。

级联 γ 幅射的角关联

原子核从激发态跃迁到基态，有时要连续地通过几次 $\gamma$ 跃迁，这时放出的辐射为级联 $\gamma$ 辐射。接连放出的两个 $\gamma$ 光子，若其概率和两个光子的夹角有关，这种现象称为 级联 $\gamma$ 辐射的方向角关联，或称为 $\gamma-\gamma$ 角关联。

级联辐射会有角关联的本质在于极化原子核发射粒子的概率会出现一定的角分布。放射性原子核发射粒子的概率一般和原子核自旋方向与发射粒子方向之间的夹角有关。

对于一般放射源，原子核的自旋方向总是杂乱的，没有一定的取向。结果是各个原子核辐射的角分布会相互混淆。为了观察原子核辐射的角分布，原子核的自旋需要有一定的取向。通常有两种方法：

将原子核按一定的自旋方向排列好，将原子核极化（很复杂）
观察原子核快速放出的两个光子之间的关联。

按照角关联理论，级联跃迁的角关联函数的一般形式为：

$W(\theta) = 1 + A_2P_2(\cos\theta) + A_4P_4(\cos\theta) + \cdots + A_{2n}P_{2n}(\cos\theta) \tag{23}$

其中系数 $A_{2n}$ 为 $I_a,I_b,I_c,L_1,L_2$ 的函数。为了计算方便，可以写为两部分：

$A_{2n} = F_{2n}(L_1I_aI_b)F_{2n}(L_2I_cI_d) \tag{24}$

$A_{2n}$ 的数值可以通过查表得到。

通过实验测量的角关联函数与理论角关联函数作比较，就能定出级联跃迁的性质。

在知道理论角关联函数的各系数值后，可以计算角关联函数的 各向异性度 $A$ ，其定义为：

$A = \frac{W(180\degree)-W(90\degree)}{W(90\degree)} \tag{25}$

穆斯堡尔效应

虽然之前我们一直认为：各种原子核状态的能量具有完全确定的值，但是这只是一种近似。根据不确定性原理：具有一定寿命的原子核的能量是不完全确定的，或者说具有一定的 能级宽度。能级宽度 $\Gamma$ 与平均寿命 $\tau$ 具有以下关系：

$\Gamma \tau \approx \hbar \tag{26}$

由于激发能级存在一定宽度，所以 $\gamma$ 跃迁时放出的 $\gamma$ 射线存在一定的展宽。这种展宽称为 $\gamma$ 谱线的 自然宽度。

$1\mathrm{MeV}$ 寿命为 $10^{-13}s$ 的激发态跃迁到稳定核的基态时放出的 $\gamma$ 射线的自然宽度为 $6.58\times 10^{-3}\mathrm{eV}$ ，直接观测 $\gamma$ 射线自然宽度需要 $\gamma$ 谱仪拥有极高的分辨率，这点是很难做到的。

我们常用间接方法—— $\gamma$ 射线的共振吸收 来测量能级宽度。

当入射 $\gamma$ 射线的能量等于原子核激发能级的能量时，就会发生 $\gamma$ 射线的共振吸收。

为了观察到共振吸收，需要尽可能地降低原子核的反冲能。1958 年穆斯保尔发现，可以将原子放入固体晶格中去减少原子核的反冲能。根据理论计算，无反冲的发射 $\gamma$ 光子的分数为：

$f = \exp\{-\frac{3}{2}\frac{E_0^2}{2mc^2k_B\theta}[1+\frac{2}{3}(\frac{\pi T}{\theta})^2 ]\} \tag{27}$

其中 $k_B$ 为玻尔兹曼常量， $T$ 是晶体的温度， $\theta$ 是晶体的德拜温度，上式只在低温下（ $T\ll \theta$ ）时适用。为了得到足够大的无反冲发射分数，必须选择德拜温度较大的晶体，同时跃迁能量不是很大，一般小于 $100\mathrm{eV}$ 。另外，选用较重的原子核，降低温度也有利于效应的观察。