原子核物理笔记（四）：核力

核子是短程的相互作用力。通常，我们假定两个核子之间的作用跟近旁的其他核子无关，但是这种两体相互作用的假设在原子核内并不准确。从核内核子间的介子场论，可以预期核子间可能存在着和两体作用不同的三体、四体作用。然而，核子间还是以两体作用为主的，用两体作用也能够解释很多事情，因此我们只讨论两体相互作用。

对于核力的研究主要有两种途径：

• 用唯象方法，对氘核和核子-核子散射实验进行分析，了解核力可能的性质。
• 用量子场论的方法从根本上解释核力，例如介子场理论。其效果与唯象场基本符合。

核子间的耦合是很强的，因此从量子色动力学出发，定量描述核力是很困难的。我们这里这介绍一些很唯象的、经验性的理论。

核力的唯象模型

氘核

氘核是一个中子一个质子组成的，只有一个束缚态，即基态。考虑氘核中两个核子之间的相互作用，核子之间只有核力作用。

考虑一个中子一个质子的两体问题，我们可以将整体运动与相对运动分开，其中相对运动是我们所关心的。核子-核子相互作用势能可以写作 $V =V(\bm{r},\bm{p},\bm{\sigma}_1,\bm{\sigma}_2)$。我们考虑其中最简单的情形：

$V(r)= \left\{ \begin{aligned} &- V_ 0 & r< r _N \\ & 0 &r > r_N \\ \end{aligned} \right.$

使用直角势阱来帮助我们了解核力的基本性质。

写出薛定谔方程：

$[-\frac{\hbar^2}{2\mu }\nabla^2 + V(r)]\psi(\bm{r}) = E\psi(\bm{r})$

其中 $\mu$ 为两体运动的约化质量：

$\mu = \frac{m_nm_p}{m_n+m_p} \approx \frac{1}{2}m_p$

对于中心势场可以分离变量：

$\psi(\bm{r}) = \frac{u(r)}{r}Y_{lm}(\theta,\varphi)$

其中径向波函数 $u(r)$ 满足：

$[-\frac{\hbar^2}{2\mu}\frac{d}{dr^2} + \frac{l(l+1)\hbar^2}{2\mu r^2} + V(r) ] u(r) = Eu(r)$

基态对应 $l=0$：

$[-\frac{\hbar^2}{2\mu}\frac{d}{dr^2} + V(r) ] u(r) = Eu(r)$

解得：

$u = \left\{ \begin{aligned} &A_1\sin kr \quad & r < r_N\\ &A_2 \exp(-\gamma(r-r_N)) & r>r_N\\ \end{aligned} \right.$

其中：

$k = \sqrt{\frac{2\mu(V_0-B)}{\hbar}},\quad \gamma = \frac{2\mu B}{\hbar}$

由波函数的连续性条件（在 $r=r_N$ 处波函数连续，一阶导数连续）可得：

$\ctg [\frac{2\mu(V_0-B)r_N^2}{\hbar^2}]^{\frac{1}{2}} = -[\frac{B}{V_0-B}]^{\frac{1}{2}}$

实验测量得到氘核束缚态结合能为 $B = 2.22\mathrm{MeV}$，估算 $r_N=2.0\mathrm{fm}$。现在我们需要对上述方程进行数值求解，不妨令 $\gamma = \sqrt{\frac{V_0-B}{B}}$，该数随着势阱深度的增加而变大，由此上述方程成为：

$f(\gamma) = \gamma \ctg(a\gamma) + 1 =0$

其中：

$a = \sqrt{\frac{2\mu Br_N^2}{\hbar^2}}\approx 0.463$

由于氘核只有一个束缚态，可得 $\gamma \approx 3.930$：

$V_0 \approx 36.6 \mathrm{MeV}$

可以进一步计算 $V_0$ 对 $r_N$ 的依赖关系。

### import 
import numpy as np
import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import fsolve
### const
e = 1.60217663410e-19
MeV = e*1e6
rn = np.arange(1.5,3.0,0.05)
B = 2.225*MeV
mu = 1.6726219e-27/2
hbar = 6.62607004e-34/(2*np.pi)
a = np.sqrt(2*mu*B)*rn/hbar
V = []
### solve
for ai in a:
    func = lambda t : t/np.tan(ai*t*1e-15)+1
    result = fsolve(func,4, xtol=1.49012e-08)
    gamma = result
    V0 = B*(gamma**2 +1)/MeV
    V.append(V0[0])

### plot
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(rn, V)
ax.set(xlabel=r'$r_N/fm$', ylabel=r'$V_0/\mathrm{MeV}$',title=r"$V_0-r_N$")
ax.grid()
plt.show()

得到结果如下：

我们发现，势阱深度将随着势阱变宽而逐渐减小。

利用连续性条件与归一化条件，就可以得到 $A_1,A_2$ 的值。我们可以得到核子间距离在力程之内的概率只有三分之一，在力程之外的概率有三分之一。氘核是核子结合的很松的体系。

现在对氘核的角动量做一些说明。氘核的总角动量有自旋角动量与轨道角动量两部分构成：

$\bm{J}=\bm{L}+\bm{S}$

轨道角动量反应了核子之间的相对运动的轨道角动量。对于 $l=0$ 的基态，自旋构成三重态，记为 $\mathrm{^3S_1}$。（上标表示自旋多重度，下标表示总角动量，字母 $S$ 表示轨道角动量为 $0$（类似原子光谱，$l=1$ 用 $P$ 表示，$l=2$ 用 $D$ 表示））。

实验测量得到氘核的总角动量为 $J = 1$。由此可能的态为：$\mathrm{^3S_1}, \mathrm{^1P_1},\mathrm{^3P_1},\mathrm{^3D_1}$。通过磁矩的测量和电四极矩的测量，可以得到氘核是 $\mathrm{^3S_1}(96\%),\mathrm{^3D_1}(4\%)$ 的混合态。氘核的轨道角动量不守恒、波函数也不是球对称的，这说明核子之间一定有非中心力的贡献。

非中心力

非中心势的形式首先在 介子场论 中得到。介子场论首先由汤川秀树，他认为核子-核子间的相互作用是由于交换介子引起的，这里不过多介绍了，如果有机会，学习到以后的 QCD 后会介绍。我们现在对非中心势的形式不加证明的给出一些结果。

我们使用 $\bm{\sigma}_1,\bm{\sigma}_2,\bm{r}$ “拼凑” 出下列表达式：

$S_{12} = 3\frac{(\bm{\sigma}_1\cdot\bm{r})(\bm{\sigma}_2\cdot\bm{r})}{r^2} - \bm{\sigma}_1\cdot\bm{\sigma}_2$

用 $S = \frac{1}{2}(\bm{\sigma}_1+\bm{\sigma}_2)$ 可将上式重写为：

$S_{12} = \frac{6(\bm{S}\cdot\bm{r})^2}{r^2}-2S^2$

非中心力通常是张量力（如果核力与动量无关，非中心力只有张量力），此时势函数可以写做以下形式：

$V_{T} = V_{T}(r)S_{12}$

我们发现：自旋单态无非中心力，三重态存在非中心力。

核子-核子散射

通过核子-核子散射实验可以探究核力的性质。对于低能核子散射，可以只考虑 $S$ 波，散射呈现出各向同性，此时散射截面只与散射长度和有效力程有关。对于高能核子-核子散射，需要考虑更为复杂的效应。如 $\mathrm{n}$-$\mathrm{p}$ 散射中出现交换力、自旋-轨道耦合力。在 $\mathrm{p}$-$\mathrm{p}$ 散射中核力势体现出排斥芯。

从核子-核子散射实验中，可以获得核力主要性质为：

• 核力为短程力，有效力程小于 $3\mathrm{fm}$。
• 核力与自旋有关，并且具有相当的交换力成分。
• 核力具有排斥芯，两核子的距离小于 $0.4\mathrm{fm}$ 时需要很强的排斥势。
• 核力近似与电荷无关。

参考资料

1. 卢希庭 原子核物理
2. 封面图 By Hydrogen-2.png: Joanjocderivative work: McSush (talk) - Hydrogen-2.png, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=8504303