原子核物理笔记（一）：原子核基本性质

前言：本组笔记为博主大三下学期原子核物理的课程笔记，上课采用的教材为卢希庭教授的《原子核物理》。原子核物理是研究原子核成分和相互作用的物理学领域。从1907年卢瑟福发现原子核开始，原子核物理已经发展百余年。本篇笔记将介绍原子核的基本性质。

原子核的电荷、质量、半径

原子核用以下符号表示

$\mathrm{^A_ZX_N}$

$A$ 质量数
$Z$ 原子序数
$X$ 元素符号
$N$ 中子数目

有关某种核素的相关物理性质，可以在 http://nucleardata.nuclear.lu.se/toi/ 中查询。

核电荷

莫塞莱（Moseley）方法 可以较为精确的测量原子核电荷。Moseley 发现元素所放出的特征 $\mathrm{X}$ 射线频率 $\nu$ 与原子序数 $Z$ 之间下列关系：

$\sqrt{\nu} = AZ-B$

其中对于一定范围内的元素， $A,B$ 不随 $Z$ 变化。通过测定 $\nu$ ，可以得到 $Z$ 。

核质量

核质量不便直接测量，通常都是通过测定原子质量（或者离子）来推得核质量。

核的质量单位采用 原子质量单位 $\mathrm{u}$ 。 $1 \mathrm{u}$ 定义为 $\mathrm{^{12}C}$ 原子质量的 $\frac{1}{12}$ 。与 $\mathrm{kg}$ 的换算关系为：

$1 \mathrm{u} = 1.6605387\times 10^{-27} \mathrm{kg}$

利用质谱仪可以测量原子质量

基本原理：首先让原子电离，然后在电场中加速获得动能。
接着在磁场中偏转。由偏转的曲率半径可以得到离子的质量。

核半径

实验表明，原子核接近球形。原子核半径无法直接测量（ $10^{-12}\sim10^{-13}\mathrm{cm}$ ），实验中通过原子核与其他粒子的相互作用来定义原子核半径。通常有两种定义方式：

核力作用半径
电荷分布半径

通常实验表明，核半径与质量数有如下关系：

$R\approx r_0A^{\frac{1}{3}}$

对于核力作用半径， $r_0=1.4\sim1.5\mathrm{fm}$ ；对于电荷分布半径， $r_0\approx 1.1\mathrm{fm}$

原子核的自旋

原子核的角动量，通常称为核的自旋。原子核由中子与质子组成，中子与质子都有 $\frac{1}{2}$ 的自旋，且这些核子在核内部存在相对运动，具有相应的轨道角动量。

原子核自旋角动量为：

$P_I = \sqrt{I(I+1)}\hbar，P_{Iz} = m_I\hbar$

$I$ 为核自旋量子数， $m_I$ 为磁量子数（类比任何角动量）。

核自旋可以通过测量 原子光谱 的 超精细结构 得到。

电子自旋与轨道角动量耦合产生精细结构；核自旋与电子轨道角动量发生耦合，产生超精细结构

考虑耦合的总角动量为：

$P_{F} = P_{I} + P_{j}$

$F$ 的可能取值个数决定了对应能级的超精细结构劈裂数目。具体来说：

$j\geqslant I$ ， $F$ 有 $2I+1$ 种取值。
此时可以根据能级劈裂数得到核自旋。
$I\geqslant j$ ， $F$ 有 $2j+1$ 种取值。
此时可以通过能级间距法测定。

能级间距法

由量子力学可得角动量耦合的能量为：

$\begin{aligned} E &= A\bm{P}_I\cdot\bm{P}_j \\ &= \frac{1}{2}A[ F(F+1)-I(I+1)-j(j+1) ]\hbar^2 \\ \end{aligned}$

设 $F = I+j,I+j-1,\cdots$ 时的能量为 $E_1,E_2,\cdots$ ，由此得到两个相邻能级的间距为：

$\begin{aligned} &\Delta E_1 = E_1 - E_2 = A\hbar^2(I+j)\\ &\Delta E_2 = E_2 - E_3 = A\hbar^2(I+j-1)\\ &\Delta E_3 = E_3 - E_4 = A\hbar^2(I+j-2)\\ & \cdots \\ \end{aligned}$

由此可以得到能级间距的比值为：

$\Delta E_1:\Delta E_2:\Delta E_3:\cdots = I+j:I+j-1:I+j-2:\cdots$

由此只要测得能级间距比值，再代入 $j$ ，就可求得核自旋。这种方法只有在能级分裂数大于2时才可以使用。

也可以通过测量超精细结构谱线的相对强度来测量 $I$ 。

设 $R_1,R_2$ 为谱线 $F_1 = I+j,F_2 = I+j$ 的相对强度，有关系：

$\frac{R_1}{R_2}=\frac{2F_1+1}{2F_2+1}=\frac{2(I+j)+1}{2(I+j)-1}$

此外，还有 分子光谱 的方法可以测量核自旋。

核自旋有以下实验规律：

$A$ 为奇数的原子核具有半整数自旋
$A$ 为偶数的原子核具有整数自旋，其中 $Z,N$ 均为偶数的核自旋为0。

原子核的磁矩

原子核的磁矩与核自旋相关，有：

$\bm{\mu}_I = g_I(\frac{e}{2m_p})\bm{P}_l$

取 $\mu_N = \frac{e}{2m_p} = 5.0508\times 10^{-27}A\cdot m^2$ 为 核磁子。

大约为玻尔磁子 $\mu_B$ 的 $\frac{1}{1836}$ ，因此超精细结构谱线的间距比精细结构谱线的间距小的多。

利用 核磁共振法 可以测量核磁矩。

假设核自旋已知，那么测量核磁矩等效于测量 $g_I$ 。将被测样品放在均匀磁场 $B\approx 1T$ 中，原子核获得的能量为：

$E = -g_l\mu_N m_I B$

$m_I$ 有 $2I+1$ 个不同取值。两相邻能级间可以进行跃迁，有：

$\Delta E = g_l\mu_N B$

若在垂直于 $B$ 的方向加上一高频弱场，则当

$h\nu =g_l\mu_N B$

时，样品的原子核会强烈吸收磁场能量（共振）。通过测量磁场强度，共振频率，可以计算 $g_I$ 。