输运现象

如果系统中存在如温度、浓度、电势等强度量的不均匀性，那么将导致像能量、粒子数、电荷数等广延量的流动，这就是 输运现象。

假设在晶体中存在温度梯度 ∇T\nabla T、浓度梯度 ∇n\nabla n、电势梯度 ∇φ\nabla \varphi，则在输运过程中的热流通量 Ju\bm{J}_u、粒子流通量 Jn\bm{J}_n、电流通量 Je\bm{J}_e 与相应的梯度通过如下唯象关系相联系：

Ju=−K∇TJn=−D∇nJe=−σ∇φ=σE(1)\begin{aligned} & \bm{J}_u = -K\nabla T\\ & \bm{J}_n = -D\nabla n\\ & \bm{J}_e = -\sigma\nabla \varphi = \sigma \bm{E}\\ \end{aligned}\tag{1}

这就是所谓的热导、扩散和电导现象。其中 K,D,σK,D,\sigma 称为 热导系数、扩散系数，这些系数取决于晶体的内禀性质。输运理论的任务就是要从微观上揭示这些唯象系数与内禀性质的关系。

唯象方程 (1)(1) 的形式意味着输运过程是一个扩散过程。能量、粒子、电荷并不是简单的从样品一端直接到另一端，而是要经过频繁的碰撞。否则，输运性质不会依赖于温度、浓度、电势梯度而是仅仅依赖于样品两端的温度、浓度、电势差[1]^{[1]}（那么输运的系数就不是晶体的内禀性质）。本篇仅仅讨论电导问题。

平衡态分布函数

平衡态分布函数 为：

f0(E(k),T)=1e(E−EF)/kBT+1f_0(E(\bm{k}),T) = \frac{1}{e^{(E-E_F)/k_BT} + 1}

在 k\bm{k} 空间中，dkd\bm{k} 范围内的状态数为：

2V(2π)3dk,V=1\frac{2V}{(2\pi)^3}d\bm{k},\quad V=1

得到电流密度的表达式：

j=∫−2e(2π)3f0v(k)dk=−2e(2π)3∫v(k)f0(k,T)dk(2)\begin{aligned} \bm{j} &= \int \frac{-2e}{(2\pi)^3} f_0\bm{v}(\bm{k})d\bm{k}\\ &= -\frac{2e}{(2\pi)^3} \int \bm{v}(\bm{k}) f_0(\bm{k},T) d\bm{k}\\ \end{aligned}\tag{2}

由 E(−k)=E(k)E(-\bm{k}) = E(\bm{k}) 得到：

∇kE(−k)=−∇kE(k)⇒v(−k)=v(k)\nabla_{\bm{k}}E(-\bm{k}) = -\nabla_{\bm{k}} E(\bm{k})\Rightarrow \bm{v}(-\bm{k})=\bm{v}(\bm{k})

以及：

f0(−k,T)=f0(k,T)f_0(-\bm{k},T) = f_0(\bm{k},T)

于是得到：对于平衡态，电流为零。

j=0\bm{j} = 0

非平衡定态分布函数

在外场 E\bm{E} 的作用下，电子在 k\bm{k} 空间将以恒定的速度：

k˙=−eEℏ\dot{\bm{k}} = -\frac{e\bm{E}}{\hbar}

沿 −E-\bm{E} 方向漂移。此时，非平衡分布函数 f(k,T)f(\bm{k},T) 的对称性被破坏。此时在样品中的电流为：

Je=−2e(2π)3∫v(k)f(k)d3k≠0\bm{J}_e = -\frac{2e}{(2\pi)^3}\int\bm{v}(\bm{k})f(\bm{k})d^3\bm{k} \neq 0

这里出现一个问题：如果除了点阵周期势对电子的散射外，没有其他的碰撞机制，那么整个分布函数将会持续在 k\bm{k} 空间内漂移，导致 Bloch 振荡。严格的周期势的散射并非产生电阻的原因，电阻的来源是晶体中存在的非周期性因素，包括：

  • 晶格振动引起的声子对电子的无规则散射，它是温度的函数。
  • 晶体中的缺陷和杂质对电子的无规则散射。

那么在整个导电过程中，其实是以下两个机制相互作用的结果：

  • 漂移：电子在外场作用下被加速，使系统偏离平衡态：f0→ff_0\rightarrow f
  • 碰撞：电子受到无规则散射，失去定向移动，使系统趋于平衡：f→f0f \rightarrow f_0

漂移和碰撞的共同作用可以使体系处于一种定态。假定碰撞的 平均弛豫时间 为 τ\tau。那么分布函数大约偏离平衡态：

Δk=−eEℏτ\Delta k = -\frac{eE}{\hbar}\tau

玻尔兹曼方程

只要我们确定了非平衡态分布函数 f(k)f(\bm{k})，那么就可以计算得到电流密度。玻尔兹曼方程 就是考虑分布函数在漂移和碰撞作用下的变化规律建立的，它是处理一切问题的出发点。

我们此时讨论的是近平衡态的情况，此时我们有 局域平衡 的假设，这是处理非平衡态问题的基础。这是说：对于系统中每个宏观小、微观大的区域已经达到平衡状态，尽管整个系统处于非平衡态。设局域和整体的弛豫时间为 τ,T\tau,T，那么我们关系的时间尺度 Δt\Delta t 满足：

τ≪Δt≪T\tau \ll \Delta t \ll T

分布函数 f(k,r,t)f(\bm{k},\bm{r},t) 随时间的变化可以分为：

  • 系统位置空间的不均匀性和外场的作用引起分布函数的 漂移
  • 碰撞引起分布函数的变化

∂f∂t\frac{\partial f}{\partial t} 应当归因于这两种影响的叠加。

∂f∂t=(∂f∂t)drifting+(∂f∂t)collision(3)\frac{\partial f}{\partial t} = (\frac{\partial f}{\partial t})_{drifting} + (\frac{\partial f}{\partial t})_{collision}\tag{3}

漂移项

根据 Bloch 电子的动力学方程有：

vk=1ℏ∇kE(k)\bm{v}_{\bm{k}} = \frac{1}{\hbar}\nabla_{\bm{k}}E(\bm{k})

类比流体力学种的连续性方程，相空间流动的流可以写为：

(∂f∂t)drifting=−v⋅∇rf−k˙∇kf(4)\begin{aligned} (\frac{\partial f}{\partial t})_{drifting} &= -\bm{v}\cdot\nabla_{\bm{r}} f - \dot{\bm{k}}\nabla_{\bm{k}}f\\ \end{aligned}\tag{4}

碰撞项

碰撞对应于不可逆过程，它迫使系统趋于平衡分布。由于声子或杂质的散射，粒子可以在 k\bm{k} 态和 k′\bm{k}' 态之间跃迁。现在用 θ(k,k′)\theta(\bm{k},\bm{k}') 表示单位时间内粒子由 k→k′\bm{k}\rightarrow \bm{k}' 的几率，并假定在散射过程种 k,k′\bm{k},\bm{k}' 的自旋相同。

体元 dkd\bm{k} 内的粒子数目为：

2(2π)3f(k,r,t)dk\frac{2}{(2\pi)^3}f(\bm{k},\bm{r},t)d\bm{k}

在 δt\delta t 时间内从 k\bm{k} 态散射到所有自旋相同的 k′\bm{k}' 态的粒子数为：

2(2π)3f(k,r,t)dkθ(k,k′)1(2π)3(1−f(k′,r,t))dk′δt\frac{2}{(2\pi)^3}f(\bm{k},\bm{r},t)d\bm{k}\theta(\bm{k},\bm{k}')\frac{1}{(2\pi)^3}(1-f(\bm{k}',\bm{r},t))d\bm{k}' \delta t

其中 1(2π)3(1−f(k′,r,t))\frac{1}{(2\pi)^3}(1-f(\bm{k}',\bm{r},t)) 表示末态 k′\bm{k}' 未被占据的概率。分子为 11 是因为我们只考虑自旋与初态相同的末态。

对 k′\bm{k}' 积分，可以得到如下参量：

δt\delta t 时间内从 k\bm{k} 散射到所有自旋相同的 k′\bm{k}' 态的粒子数为：

{∫kf(k,r,t)[1−f(k′,r,t)]θ(k,k′)dk′(2π)3}2dk(2π)3δt\{\int_{\bm{k}} f(\bm{k},\bm{r},t) [1 - f(\bm{k}',\bm{r},t)]\theta(\bm{k},\bm{k}') \frac{d\bm{k}'}{(2\pi)^3}\} \frac{2d\bm{k}}{(2\pi)^3}\delta t

定义 碰增数 表示单位时间内从 k\bm{k} 散射到所有自旋相同的 k′\bm{k}' 态的概率：

a=∫kf(k,r,t)[1−f(k′,r,t)]θ(k,k′)dk′(2π)3(5)a = \int_{\bm{k}} f(\bm{k},\bm{r},t) [1 - f(\bm{k}',\bm{r},t)]\theta(\bm{k},\bm{k}') \frac{d\bm{k}'}{(2\pi)^3} \tag{5}

δt\delta t 时间内从所有自旋相同的 k′\bm{k}' 散射到 k\bm{k} 态的粒子数为：

{∫kf(k′,r,t)[1−f(k,r,t)]θ(k′,k)dk(2π)3}2dk′(2π)3δt\{\int_{\bm{k}} f(\bm{k}',\bm{r},t) [1 - f(\bm{k},\bm{r},t)]\theta(\bm{k}',\bm{k}) \frac{d\bm{k}}{(2\pi)^3}\} \frac{2d\bm{k}'}{(2\pi)^3}\delta t

定义 碰减数 表示单位时间内从所有自旋相同的 k′\bm{k}' 散射到 k\bm{k} 态的概率：

b=∫kf(k,r,t)[1−f(k′,r,t)]θ(k,k′)dk′(2π)3(6)b = \int_{\bm{k}} f(\bm{k},\bm{r},t) [1 - f(\bm{k}',\bm{r},t)]\theta(\bm{k},\bm{k}') \frac{d\bm{k}'}{(2\pi)^3} \tag{6}

那么两部分的差值会导致分布函数的变化。

(∂f∂t)collision=b−a(7)(\frac{\partial f}{\partial t})_{collision} = b-a \tag{7}

得到描写分布函数随时间变化的 玻尔兹曼方程：

∂f∂t=−v⋅∇rf−k˙∇kf+b−a\frac{\partial f}{\partial t} = -\bm{v}\cdot\nabla_{\bm{r}} f - \dot{\bm{k}}\nabla_{\bm{k}}f + b -a

对于定态问题，得到定态玻尔兹曼方程：

v⋅∇rf+k˙∇kf=b−a(8)\bm{v}\cdot\nabla_{\bm{r}} f + \dot{\bm{k}}\nabla_{\bm{k}}f = b-a \tag{8}

对于纯电导问题，不存在温度和化学势的不均匀性。上式左边第二项为零。考虑 Bloch 电子在电场中进行准经典运动的方程，得到：

dkdt=−eEℏ\frac{d\bm{k}}{dt} = -\frac{eE}{\hbar}

此时得到玻尔兹曼方程为：

−eEℏ∇kf(k)=b−a(9)-\frac{eE}{\hbar}\nabla_{\bm{k}} f(\bm{k}) = b-a \tag{9}

金属电性

金属的电导率

弛豫时间近似

考虑到玻尔兹曼方程是复杂的非线性积分微分方程，我们常常使用一项线性近似来代替碰撞项。我们引入一个唯象的 弛豫时间 τ(k)\tau(\bm{k})，将碰撞项写为

(∂f∂t)collision=b−a=−f−f0τ(k)(10)(\frac{\partial f}{\partial t})_{collision} = b-a = -\frac{f-f_0}{\tau(\bm{k})} \tag{10}

(b−a)(b-a) 表示碰撞引起的状态分布的变化率。这一项表示，系统偏离平衡态越多，回复速度越大。

考虑在外场作用下，系统偏离了平衡态。

f=f0+(Δf)0f = f_0 + (\Delta f)_0

t=0t=0 时刻，去掉外场，由于碰撞 f→f0f\rightarrow f_0：

∂f∂t=−f−f0τ\frac{\partial f}{\partial t} = - \frac{f-f_0}{\tau}

得到：

Δf=f−f0=Ae−t/τ\Delta f = f - f_0 = Ae^{-t/\tau}

t=0t=0 时，

(Δf)t=0=(Δf)0(\Delta f)_{t=0} = (\Delta f)_0

t=τt=\tau 时，得到：

Δf=Δf0e\Delta f = \frac{\Delta f_0}{e}

τ\tau 大致表征了恢复平衡过程所需时间的长短。对于纯净的铜晶体，室温下 τ≈10−13s\tau \approx 10^{-13}s，4K4K 低温时 τ≈10−9s\tau \approx 10^{-9}s。

电导率

在弛豫时间近似下，定态玻尔兹曼方程成为：

−eEℏ∇kf(k)=−f−f0τ(k)(11)-\frac{eE}{\hbar}\nabla_{\bm{k}} f(\bm{k}) = -\frac{f-f_0}{\tau(\bm{k})} \tag{11}

分布函数依赖于电场，在 ∣eE∣|e\bm{E}| 相对于 EFE_F 是小量的情况下，可以将其按 E\bm{E} 的幂级数展开：

f=f0+f1+f2+⋯f = f_0 + f_1 + f_2 + \cdots

代入方程 (11)(11)，得到：

−eℏE⋅∇kf0−eℏE⋅∇kf1+⋯=−f1τ−f2τ−⋯-\frac{e}{\hbar}\bm{E}\cdot\nabla_{\bm{k}}f_0 - \frac{e}{\hbar}\bm{E}\cdot\nabla_{\bm{k}}f_1 + \cdots = -\frac{f_1}{\tau}-\frac{f_2}{\tau}-\cdots

可以递推式的得到各级小量的表达式：

{f1τ=eℏE⋅∇kf0f2τ=eℏE⋅∇kf1⋯\left\{ \begin{aligned} &\frac{f_1}{\tau} = \frac{e}{\hbar}\bm{E}\cdot \nabla_{\bm{k}}f_0\\ &\frac{f_2}{\tau} = \frac{e}{\hbar}\bm{E}\cdot \nabla_{\bm{k}}f_1\\ &\cdots\\ \end{aligned} \right.

得到一阶近似项：

f1=eτℏE⋅∇kf0=eτE⋅v(k)(∂f0∂E)\begin{aligned} f_1 &=\frac{e\tau}{\hbar}\bm{E}\cdot \nabla_{\bm{k}} f_0\\ &= e\tau\bm{E}\cdot \bm{v}(\bm{k})(\frac{\partial f_0}{\partial E}) \end{aligned}

电流为：

J=−2e(2π)3∫v(k)f(k)d3k=−2e(2π)3(∫v(k)f0(k)d3k+∫v(k)f1(k)d3k)=−2e(2π)3∫v(k)f1(k)d3k=−2e(2π)3∫v(k)eτE⋅v(k)(∂f0∂E)d3k=2e2(2π)3∫τv[v⋅E](−∂f0∂E)dSℏ∣v(k)∣dE\begin{aligned} \bm{J} &= -\frac{2e}{(2\pi)^3} \int \bm{v}(\bm{k})f(\bm{k})d^3\bm{k}\\ &= -\frac{2e}{(2\pi)^3}(\int \bm{v}(\bm{k})f_0(\bm{k})d^3\bm{k}+\int \bm{v}(\bm{k})f_1(\bm{k})d^3\bm{k})\\ &= -\frac{2e}{(2\pi)^3}\int \bm{v}(\bm{k})f_1(\bm{k})d^3\bm{k}\\ &= -\frac{2e}{(2\pi)^3}\int \bm{v}(\bm{k})e\tau\bm{E}\cdot \bm{v}(\bm{k})(\frac{\partial f_0}{\partial E})d^3\bm{k}\\ & = \frac{2e^2}{(2\pi)^3} \int \tau \bm{v}[\bm{v}\cdot\bm{E}](-\frac{\partial f_0}{\partial E}) \frac{dS}{\hbar|\bm{v}(\bm{k})|}dE \end{aligned}

考虑到 −∂f0∂E=δ(E−EF)-\frac{\partial f_0}{\partial E} = \delta(E-E_F)，因此上述积分只需要在费米面上进行。只有在费米面附近的电子才参与输运。如此得到：

J=[2e2(2π)31ℏ∫τ(kF)v(k)v(k)∣v(k)∣dSF]⋅E\bm{J} = [\frac{2e^2}{(2\pi)^3}\frac{1}{\hbar}\int \tau(\bm{k}_F) \frac{\bm{v}(\bm{k})\bm{v}(\bm{k})}{|\bm{v}(\bm{k})|}dS_F]\cdot\bm{E}

得到电导率张量：

σαβ=2e2(2π)3∫τ(kF)vα(k)vβ(k)∣v(k)∣dSF(12)\sigma_{\alpha\beta} = \frac{2e^2}{(2\pi)^3} \int \tau(\bm{k}_F) \frac{v_{\alpha}(\bm{k})v_{\beta}(\bm{k})}{|\bm{v}(\bm{k})|}dS_F \tag{12}

举一个例子：对于各向同性的金属
设导带电子基本可以用单一有效质量来描述，带底为球形等能面。

E(k)=ℏ2k22m∗E(\bm{k}) = \frac{\hbar^2k^2}{2m^*}

得到

vα=1ℏ∂∂kαE(k)=ℏkαm∗v_{\alpha} = \frac{1}{\hbar}\frac{\partial}{\partial k_{\alpha}}E(\bm{k}) = \frac{\hbar k_{\alpha}}{m^*}

τ(k)=τ(k)\tau(\bm{k}) = \tau(k) 与方向无关。得到：

σαβ=2e2(2π)3∫τ(kF)vα(k)vβ(k)∣v(k)∣dSF\begin{aligned} \sigma_{\alpha\beta} &= \frac{2e^2}{(2\pi)^3} \int \tau(\bm{k}_F) \frac{v_{\alpha}(\bm{k})v_{\beta}(\bm{k})}{|\bm{v}(\bm{k})|}dS_F\\ \end{aligned}

此时：

σ0=13(σ11+σ22+σ33)=2e2(2π)313∫τ(kF)vFdSF=2e2(2π)313τ(kF)vF4πkF2=ne2τ(kF)m∗\begin{aligned} \sigma_{0} &= \frac{1}{3}(\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33})\\ &= \frac{2e^2}{(2\pi)^3} \frac{1}{3}\int \tau(k_F) v_F dS_F\\ &= \frac{2e^2}{(2\pi)^3} \frac{1}{3} \tau(k_F)v_F 4\pi k_F^2\\ &= \frac{ne^2\tau(k_F)}{m^*} \end{aligned}

各向同性散射和弛豫时间

弛豫时间是我们为了描述复杂的碰撞过程而引入的一个唯象物理量。现在我们将要说明：在各向同性弹性散射的情况下，我们可以得到弛豫时间 τ(k)\tau(\bm{k}) 与碰撞概率 θ(k,k′)\theta(\bm{k},\bm{k}') 的明确关系。

我们有如下假定：

  • 晶格各向同性
  • 弹性散射
  • 弱场近似

对应有：

E(k)=E(k)=ℏ2k22m∗E(\bm{k}) = E(k) = \frac{\hbar^2\bm{k}^2}{2m^*}

散射只发生在 E(k)=E(k′)⇒k=k′E(\bm{k}) = E(\bm{k}')\Rightarrow \bm{k} = \bm{k}' 处。

由于散射是各向同性的，那么散射概率 θ(k,k′)\theta(\bm{k},\bm{k}') 应当只与 k′,k\bm{k}',\bm{k} 的大小 k′,kk',k 以及之间的夹角 η\eta 有关。于是有：

θ(k′,k)=θ(k,k′)=θ(k,k′,η)δk,k′\theta(\bm{k}',\bm{k}) = \theta(\bm{k},\bm{k}') = \theta(k,k',\eta)\delta_{k,k'}

代入 (5),(6),(7)(5),(6),(7) 得到：

(∂f∂t)collision=b−a=1(2π)3∫θ(k,k′,η)(f(k′)−f(k))δk,k′d3k′\begin{aligned} (\frac{\partial f}{\partial t})_{collision} &= b - a\\ & = \frac{1}{(2\pi)^3} \int \theta(k,k',\eta)(f(\bm{k}')-f(\bm{k})) \delta_{k,k'} d^3k' \end{aligned}

在 弱场近似 下，有：

(∂f∂t)collision=1(2π)3∫θ(k,k′,η)(f1(k′)−f1(k))δk,k′d3k′(13)(\frac{\partial f}{\partial t})_{collision} = \frac{1}{(2\pi)^3} \int \theta(k,k',\eta)(f_1(\bm{k}')-f_1(\bm{k})) \delta_{k,k'} d^3k' \tag{13}

另外根据弛豫时间近似，在弱场下有：

(∂f∂t)collision=−f1(k)τ(k)(14)(\frac{\partial f}{\partial t})_{collision} = -\frac{f_1(\bm{k})}{\tau(\bm{k})} \tag{14}

根据 (13),(14)(13),(14) 可以得到：

1τ(k)=1(2π)3∫θ(k,k′,η)(1−f1(k′)f1(k))δk,k′d3k′=1(2π)3∫θ(k,k′,η)(1−k′⋅Ek⋅E)δk,k′d3k′=1(2π)3∫θ(k,k,η)(1−cos⁡η)2πk2sin⁡ηdη\begin{aligned} \frac{1}{\tau(\bm{k})} &= \frac{1}{(2\pi)^3} \int \theta(k,k',\eta)(1-\frac{f_1(\bm{k}')}{f_1(\bm{k})}) \delta_{k,k'} d^3k'\\ &= \frac{1}{(2\pi)^3} \int \theta(k,k',\eta)(1-\frac{\bm{k}'\cdot\bm{E}}{\bm{k}\cdot\bm{E}}) \delta_{k,k'} d^3k'\\ &= \frac{1}{(2\pi)^3} \int \theta(k,k,\eta)(1-\cos\eta)2\pi k^2 \sin \eta d\eta \\ \end{aligned}

该式子的物理意义：小角度散射对电阻的贡献小，大角度散射对电阻的贡献大。

电子-声子相互作用

实验测量得到：不同掺杂的金属 Cu\mathrm{Cu} 的电阻率随温度的关系。可以得到：不同掺杂给出一个与温度无关的剩余电阻，电阻率随温度变化在室温附近满足线性关系。利用电子-声子相互作用的机制，我们可以解释这一点。

随时间变化的微扰势

H^=−ℏ22m∇2+∑nV(r−Rn)\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + \sum_{n}V(\bm{r}-\bm{R}_n)

若第 nn 个离子产生位移 μn\bm{\mu}_n，假定势场本身的函数形式不变，只是随离子刚性移动 μn\bm{\mu}_n，如此有：

V(r−Rn)⟶V(r−(Rn+μn))V(\bm{r}-\bm{R}_n) \longrightarrow V(\bm{r}-(\bm{R}_n+\bm{\mu}_n))

δVn=V[r−(Rn+μn)]−V[r−Rn]≈−μn⋅∇V(r−Rn)\begin{aligned} \delta V_n &= V[\bm{r}-(\bm{R}_n+\bm{\mu}_n)] - V[\bm{r}-\bm{R}_n]\\ &\approx -\bm{\mu}_n\cdot\nabla V(\bm{r}-\bm{R}_n)\\ \end{aligned}

其中：

μn=Aeei(q⋅Rn−ωt)\bm{\mu}_n = A\bm{e} e^{i(\bm{q}\cdot\bm{R}_n-\omega t)}

写为实数形式：

μn=12Aeei(q⋅Rn−ωt)+12Aee−i(q⋅Rn−ωt)\bm{\mu}_n = \frac{1}{2}A\bm{e} e^{i(\bm{q}\cdot\bm{R}_n-\omega t)} + \frac{1}{2}A\bm{e} e^{-i(\bm{q}\cdot\bm{R}_n-\omega t)}

e\bm{e} 为偏振方向，有 e⊥q\bm{e}\perp \bm{q} 或 e//q\bm{e} // \bm{q}

对于简单晶格来说，只有声学波，考虑长波近似。
考虑一个格波 ω(q)\omega(\bm{q}) 引起的 H^\hat{H} 的变化。

有：

ΔH^≈∑n−μn⋅∇V(r−Rn)=−12Aei(q⋅Rn−ωt)e⋅∇V(r−Rn)−12Ae−i(q⋅Rn−ωt)e⋅∇V(r−Rn)\begin{aligned} \Delta \hat{H} &\approx \sum_{n} -\bm{\mu}_n\cdot\nabla V(\bm{r}-\bm{R}_n)\\ &= -\frac{1}{2}Ae^{i(\bm{q}\cdot\bm{R}_n-\omega t)} \bm{e}\cdot\nabla V(\bm{r}-\bm{R}_n) -\frac{1}{2}Ae^{-i(\bm{q}\cdot\bm{R}_n-\omega t)} \bm{e}\cdot\nabla V(\bm{r}-\bm{R}_n) \end{aligned}

散射概率

散射几率 θ(k,k′)\theta(\bm{k},\bm{k}') 可以写为：

θ(k,k′)=2π2ℏ{∣⟨k′∣−A2∑eiq⋅Rne⋅∇V(r−Rn)∣k⟩∣2δ(E(k′)−E(k)−ℏω)+⟨k′∣−A2∑e−iq⋅Rne⋅∇V(r−Rn)∣k⟩∣2δ(E(k′)−E(k)+ℏω)}\begin{aligned} \theta(\bm{k},\bm{k}') =& \frac{2\pi^2}{\hbar} \{ |\langle \bm{k}'|-\frac{A}{2}\sum e^{i\bm{q}\cdot\bm{R}_n}\bm{e}\cdot\nabla V(\bm{r}-\bm{R}_n)|\bm{k}\rangle|^2 \delta(E(\bm{k}')-E(\bm{k})-\hbar\omega)\\ &+ \langle \bm{k}'|-\frac{A}{2}\sum e^{-i\bm{q}\cdot\bm{R}_n}\bm{e}\cdot\nabla V(\bm{r}-\bm{R}_n)|\bm{k}\rangle|^2 \delta(E(\bm{k}')-E(\bm{k})+\hbar\omega) \} \end{aligned}

  • 能量守恒
    可以得到散射过程是 能量守恒 的：
    吸收声子：E(k′)=E(k)+ℏωE(\bm{k}') = E(\bm{k}) + \hbar\omega
    发射声子：E(k′)=E(k)−ℏωE(\bm{k}') = E(\bm{k}) - \hbar\omega
    散射主要发生在费米面上，我们可以用

E(k)∼EF=5eVE(\bm{k}) \sim E_F = 5\mathrm{eV}

做一些估计，得到 kBΘD/EF=10−3k_B\Theta_D/E_F = 10^{-3}
忽略 ℏω\hbar\omega 后，可以把散射当作完全弹性。

  • 准动量守恒：

通过计算跃迁矩阵元，可以得到散射过程的准动量守恒，此处不展开说明。

吸收声子：k′=k+q+Kh\bm{k}' = \bm{k} + \bm{q} + \bm{K}_h
发射声子：k′=k−q+Kh\bm{k}' = \bm{k} - \bm{q} + \bm{K}_h

N 过程与 U 过程

NN 过程：Kh=0\bm{K}_h = 0

此时，散射的准动量守恒为：

k′=k±q\bm{k}' = \bm{k} \pm \bm{q}

于是：最大散射角度可以由最大声子波矢（德拜波矢）给出

UU 过程 折叠过程：Kh≠0\bm{K}_h \neq 0

电阻率随温度的关系

对于各向同性、近似弹性散射的 NN 过程来说，我们可以得到：

1τ(k)=3(2π)3π2NMcˉ2kF2(dEdk)kF−1kBTℏ∫∣e⋅Ikk′∣kF′−kF∣∣2(1−cos⁡η)sin⁡ηdη∝T\frac{1}{\tau(\bm{k})} = \frac{3}{(2\pi)^3} \frac{\pi^2}{NM\bar{c}^2} k_F^2 (\frac{dE}{dk})^{-1}_{k_F} \frac{k_BT}{\hbar} \int|\bm{e}\cdot \frac{I_{kk'}}{|\bm{k}_F'-\bm{k}_F|}|^2(1-\cos\eta)\sin\eta d\eta \propto T

此处不展开说明。

参考资料

  1. 胡安 固体物理学
  2. 封面图 由Rafaelgarcia - Electrona in crystallo fluentia.png. Uploader believes this faithful SVG reproduction constitutes a mere mechanical conversion between formats and as such cannot be considered a derivative work. Uploader accordingly believes uploader has no share in the copyright of this file.，CC BY-SA 3.0，https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=11926841