原子核物理笔记（五）：α 衰变

$\alpha$ 衰变 是原子核自发放射出 $\alpha$ 粒子发生转变的过程。是三种天然放射性之一。 $\alpha$ 衰变具有以下特征：

$\alpha$ 粒子能量一般为几个 $\mathrm{MeV}$
半衰期从 $10^{-7}s$ 到 $10^{15}a$
只有 $A>140$ 的原子核存在自发 $\alpha$ 衰变。

Fig： $\alpha$ 衰变

$\alpha$ 衰变可表示为：

$\mathrm{^A_ZX} \rightarrow \mathrm{^{A-4}_{Z-2}Y} + \mathrm{^4_2He}$

即母核 $X$ 发生 $\alpha$ 衰变产生 $\alpha$ 粒子与子核 $Y$ 。

α 衰变的能量

α 粒子能量的测量

1930 年以前，人们认为从同一种原子核中发射出来的 $\alpha$ 粒子的能量是一样的，没有发现“精细结构”。这是当时的实验手段受到限制（直接测量 $\alpha$ 粒子在空气中的射程）。随着技术的发展，有很多高精度的测量方式被发展出来。下面对 磁谱仪 的原理作简单介绍。

磁谱仪是利用磁场来测定带电粒子能量的装置。下图是一种半圆谱仪的工作原理图。

Fig：半圆谱仪的工作原理图

放射源 $S$ ，感光胶片 $R$ 和限束光栏 $A$ 都放在一个扁平的真空盒里。从放射源发出的带电粒子束被限束光栏限制在 $2\varphi$ 的角度内。在垂直于真空盒的方向上加一磁场，使得带电粒子发生偏转。相同能量的 $\alpha$ 粒子应当打在感光片同一位置上。有：

$\frac{mv^2}{\rho} = qvB\Rightarrow p =mv = qB\rho \tag{1}$

考虑到源对狭缝的张角 $2\varphi$ 不可能无限小，这导致谱线存在一定宽度。有：

$\Delta x = \rho\varphi^2 \tag{2}$

这决定了半圆谱仪的分辨本领。

对于寿命很长的辐射体，利用磁谱仪来进行研究是很困难的，因为磁谱仪对于源的利用率很低。此时，我们一般采用半导体探测器或气体探测器。

α 能谱的精细结构

在用磁谱仪对 $\alpha$ 放射源的测量结果表明， $\alpha$ 粒子的能量并不单一，而是有几种不同的能量数值。在 $\alpha$ 谱的精细结构中，一般只有一种能量的 $\alpha$ 粒子强度较强。其他 $\alpha$ 粒子的强度较弱，其中能量较低、射程较短的为 短射程 $\alpha$ 粒子；其中能量较高、射程较长的为 长射程 $\alpha$ 粒子（少数核素存在）。

Fig：α 能谱的精细结构 $^{[2]}$

短射程 $\alpha$ 粒子与长射程 $\alpha$ 粒子的产生与原子核不同的能级结构有关。

短射程 $\alpha$ 粒子
原子核 $\mathrm{^A_ZX}$ 放出 $\alpha$ 粒子衰变为原子核 $\mathrm{^{A-4}_{Z-2}Y}$ 时，衰变到 $\mathrm{Y}$ 的激发态。
长射程 $\alpha$ 粒子
处于激发态的母核 $\mathrm{^A_ZX}$ 放出 $\alpha$ 粒子衰变为原子核 $\mathrm{^{A-4}_{Z-2}Y}$ 时，衰变到 $\mathrm{Y}$ 的基态。这种情况下，母核往往是衰变的产物。且激发态即可以通过 $\alpha$ 衰变，也可以通过 $\gamma$ 衰变回到基态，这取决于两种过程的分支比。一般来说，发生 $\gamma$ 衰变的概率大的多，只有少部分核素发生 $\alpha$ 衰变的几率才相对较大（尽管绝对数值也很小）。在天然放射性核素中只有 $\mathrm{^{212}_{84}Po}$ 和 $\mathrm{^{214}_{84}Po}$ 有长射程 $\alpha$ 粒子。

α 衰变能

$\alpha$ 衰变能 是指 $\alpha$ 衰变时放出的能量。该能量为 $\alpha$ 粒子的动能与子核粒子动能的总和。

$\alpha$ 衰变表示为：

$\mathrm{^A_ZX} \rightarrow \mathrm{^{A-4}_{Z-2}Y} + \mathrm{^4_2He}$

衰变能为：

$E_d = (m_X-m_Y - m_{\alpha})c^2 = E_k + E_R \tag{3}$

$E_k,E_R$ 分别为 $\alpha$ 粒子与子核的动能。假设衰变前母核是静止的，根据动量守恒得到：

$m_Yv_Y + m_{\alpha}v_{\alpha} = 0 \tag{4}$

由此得到 $\alpha$ 粒子动能与衰变能的关系：

$E_{k} = \frac{A-4}{A} E_d;\quad E_{R} = \frac{4}{A} E_d \tag{5}$

自发发生 $\alpha$ 衰变的核素的质量数通常在 $200$ 以上，那么对应的 $\alpha$ 粒子动能约占衰变能的 $98\%$ 。反冲能约为 $2\%$ 。

α 衰变的实验规律

衰变能随原子序数和质量数的关系

实验表明，并不是所有的原子核都能够发生 $\alpha$ 衰变。确切来说，只有 $A>140$ 的核素才能发生 $\alpha$ 衰变。现在来讨论这个问题。

对于 $\alpha$ 衰变：

$\mathrm{^A_ZX} \rightarrow \mathrm{^{A-4}_{Z-2}Y} + \mathrm{^4_2He}$

考虑上述衰变过程中每个粒子的质量亏损：

$\left\{ \begin{aligned} & \Delta m_X = Zm_p + (A-Z)m_n - m_X\\ & \Delta m_Y = (Z-2)m_p + (A-Z-2)m_n - m_Y\\ & \Delta m_\alpha = 2m_p + 2m_n - m_\alpha\\ \end{aligned} \tag{6} \right.$

于是衰变能可以写作：

$\begin{aligned} E_d &= (\Delta m_Y + \Delta m_\alpha - \Delta m_X)c^2\\ &=B_Y + B_{\alpha} -B_X\\ \end{aligned}\tag{7}$

若假设 $B$ 随 $Z,A$ 的变化时平滑的，那么我们将衰变能近似表示为：

$E_d \approx \frac{\partial B}{\partial Z}\Delta Z + \frac{\partial B}{\partial A}\Delta A + B_\alpha \tag{8}$

结合结合能的半经验公式：

$B = a_vA - a_sA^{2/3} -a_a \frac{(\frac{A}{2}-Z)^2}{A} - a_c\frac{Z^2}{A^{1/3}} + B_p$

其中对能的部分在子核与母核间的变化很小。

可以近似得到：

$\begin{aligned} E_d = & B_\alpha - 4a_v + \frac{8a_s}{3}\frac{1}{A^{1/3}} -a_a(1-\frac{2Z}{A})^2\\ & + 4a_c\frac{Z}{A^{1/3}} (1-\frac{Z}{3A})\tag{9} \end{aligned}$

带入各个参量的数值得到衰变能随质量数的变化关系，如下图。其中虚线为我们数值计算的结果，实线为测量值。

Fig：衰变能随质量数的变化 $^{[1]}$

我们发现，利用原子核液滴模型得到的结合能半经验公式，我们能预测在 $A>150$ 时， $\alpha$ 衰变能大于零。这与实验结果基本一致。但是虚线不能反映变化的起伏现象。这一点需要使用核结构的壳模型。

衰变能随同位素的变化

实验发现，同一元素的各种同位素的 $\alpha$ 衰变能可以近似连成一条直线。如下图所示：

Fig：衰变能随同位素的变化

利用 $(9)$ 可得：

$\frac{\partial E_d}{\partial A} = - \frac{16.29}{A^{4/3}} - 371.20 \frac{Z}{A^2}(1-\frac{2Z}{A})-0.952\frac{Z}{A^{4/3}}(1-\frac{4Z}{3A})$

不难得到，上述式子中每项都是负的，由此对应的斜率是负的。衰变能随着质量数增加而减小。实验发现，在一定的范围内（ $A=209\sim 213$ ）的范围内，对于 $\mathrm{Bi},\mathrm{Po},\mathrm{At},\mathrm{Rn}$ 等同位素的规律与预言的相反，这说明了液滴模型的局限性。

衰变能和衰变常量的关系

1911年，盖格（Geiger）和努塔尔（Nuttall）总结得到了如下经验定律（盖格-努塔尔定律）：

$\lambda = aR^{57.5} \tag{10}$

其中：

$\lambda$ 为 衰变常量
$R$ 为 $\alpha$ 粒子在空气中的射程
$a$ 对于同一个天然放射系是常量。

其中射程与能量有如下经验关系：

$R \propto E^{3/2} \tag{11}$

于是 $(10)$ 可改写为：

$\lambda = a' E^{86.25} \tag{12}$

需要指出，由于实验水平的受限，盖格-努塔尔定律具有很大的近似性。但是其可以反映衰变常量 $\lambda$ 随着衰变能 $E_d$ 剧烈改变的趋势。

$\alpha$ 放射核	$E_d/\mathrm{MeV}$	$T_{1/2}$
$\mathrm{^{238}U}$	$4.27$	$4.468\times 10^9 a$
$\mathrm{^{210}Po}$	$5.40$	$1.384\times 10^2 d$
$\mathrm{^{212}Po}$	$8.95$	$3.0\times 10^{-7} s$

α 衰变的基本理论

现在考虑 $\alpha$ 粒子是如何从原子核中发射出来的。

假设原子核内存在高速运动的 $\alpha$ 粒子。核内的 $\alpha$ 粒子与其他核子之间主要存在两种相互作用力：核力与库仑力。核力是短程力，在原子核内， $\alpha$ 粒子的运动是渐近自由的。在原子核外，核力几乎为零，此时考虑库仑力。 $\alpha$ 粒子相对于子核的势能可以写为：

$V(r) = \left\{ \begin{aligned} &-V_0\quad &r<R\\ & \frac{2(Z-2)e^2}{4\pi \varepsilon_0 r}\quad &r>R\\ \end{aligned} \right.\tag{13}$

Fig： $\alpha$ 衰变的势能曲线

$R$ 为原子核边界。我们近似取：

$R = (A_1^{1/3}+A_2^{1/3})r_0 \tag{14}$

其中 $r_0\approx 1.45\mathrm{fm}$ 。

我们以上采用的势能忽略在 $R$ 处变化的细节，但对讨论的问题影响不大。

$\alpha$ 粒子的能量一般在 $4\sim 9\mathrm{MeV}$ ，但是得到的库伦势垒却比 $\alpha$ 衰变能高得多（例如计算得到 $\mathrm{^{212}_{84}Po}$ ）的 $\alpha$ 的库伦势垒能量为 $22\mathrm{MeV}$ 。经典理论不能理解 $\alpha$ 粒子为何能跨过如此高的势垒到原子核以外。这反映了经典力学的局限性。

在量子力学中，微观粒子是有一定的概率穿过势垒的，这就是 隧穿效应。

由 $\mathrm{WKB}$ 近似可以得到粒子穿过势垒的概率：

$\begin{aligned} P &= e^{-G}\\ & = \exp\{-\frac{2}{\hbar}\int_{R_1}^{R_2}[2\mu(\frac{Z_1Z_2e^2}{4\pi\varepsilon_0r} - E_d)]^{1/2} dr\}\\ \end{aligned}\tag{15}$

式中 $\mu$ 为折合质量， $E_d$ 可用 $R_c$ 表示：

$E_d = \frac{Z_1Z_2e^2}{4\pi\varepsilon_0R_c}\tag{16}$

代入 $(15)$ ，得到：

$\begin{aligned} G &= \frac{2\sqrt{2\mu E_d}}{\hbar}\int_{R}^{R_c}(\frac{R_c}{r}-1)^{1/2}dr \\ &= \frac{2R_c\sqrt{2\mu E_d}}{\hbar}[x(R)-\frac{1}{2}\sin 2x(R)]\\ \end{aligned}\tag{17}$

其中 $x$ 为以下函数

$x(r) = \arccos(\frac{r}{R_c})^{1/2}$

不妨考虑

$\begin{aligned} \psi(\frac{R}{R_c}) &= x(R)-\frac{1}{2}\sin 2x(R)\\ &=\arccos(\frac{R}{R_c})^{1/2}-(\frac{R}{R_c}-\frac{R^2}{R_c^2})^{1/2}\\ \end{aligned}\tag{18}$

通常来说： $R/R_c$ 小于 $\frac{1}{3}$ ，因此考虑取 $(18)$ 式的一阶近似：

$\psi(\frac{R}{R_c}) \approx \frac{\pi}{2} - 2(\frac{R}{R_c})^{1/2} \tag{19}$

因此 $(17)$ 式成为：

$\begin{aligned} G &= \frac{2R_c\sqrt{2\mu E_d}}{\hbar}[\frac{\pi}{2}-2(\frac{R}{R_c})^{1/2} ]\\ &=\frac{\sqrt{2\mu}(Z-2)e^2}{2\varepsilon_0\hbar\sqrt{E_d}} - \frac{4e[\mu(Z-2)R]^{1/2}}{\sqrt{\pi\varepsilon_0}\hbar}\\ \end{aligned}\tag{20}$

于是 $\alpha$ 粒子穿透势垒的概率为：

$P = \exp\{-\frac{\sqrt{2\mu}(Z-2)e^2}{2\varepsilon_0\hbar\sqrt{E_d}} + \frac{4e[\mu(Z-2)R]^{1/2}}{\sqrt{\pi\varepsilon_0}\hbar}\}\tag{21}$

$\lambda$ 是单位时间内发生 $\alpha$ 衰变的概率，它应该等于 $\alpha$ 粒子在单位时间内碰撞势垒的次数 $n$ 与穿透概率 $P$ 的乘积。我们简单地考虑 $\alpha$ 在半径为 $R'$ 的母核内以 $v$ 的速度运动，那么有：

$n = \frac{v}{2R'} \tag{22}$

对应的，可以将衰变常量写为：

$\begin{aligned} \lambda &= nP\\ &= \frac{v}{2R'}\exp\{-\frac{\sqrt{2\mu}(Z-2)e^2}{2\varepsilon_0\hbar\sqrt{E_d}} + \frac{4e[\mu(Z-2)R]^{1/2}}{\sqrt{\pi\varepsilon_0}\hbar}\}\\ \end{aligned}\tag{23}$