量子场论笔记（九）：散射矩阵

在之前我们讨论过单粒子态，现在我们考虑多个粒子间存在相互作用的情况。例如在粒子对撞实验中：在粒子对撞前与粒子对撞后，粒子彼此相隔足够远，相互作用很微弱，我们可以将这些粒子看作一系列单粒子态；在粒子碰撞的过程中，相互作用很强。在这样的对撞实验中：唯一可观测的物理量是 散射截面，用来表示特定散射过程的可能性。现在，我们先从理论上介绍有关 散射矩阵 的概念，再来看如何用其计算散射截面。

散射矩阵

入射态与出射态

在粒子散射中有三个过程：

• 初态粒子入射 $t\rightarrow -\infty$
• 粒子发生相互作用
• 末态粒子出射 $t\rightarrow +\infty$

不妨来看，这三个过程存在很大不同：初态可以表示为一系列单粒子态的直积，每个单粒子态可以用 $(p_i,\sigma_i,n_i)$ 来表示，其中 $p_i$ 为四动量，$\sigma_i$ 为自旋，$n_i$ 为粒子种类，我们将组成初态的所有粒子的集合记为 $\alpha$；末态也是这样一些单粒子态的直积，但具体的单粒子态会有差别、也可能含有不同的粒子，我们用 $\beta$ 表示末态粒子的集合。我们称这样的初态与末态记为：

$\Psi_{\alpha}^{+},\Psi_{\beta}^{-}$

其中上角标 $\pm$ 表示：$t\rightarrow \pm\infty$。我们称 $\Psi^{+}_{\alpha}$ 为 入射态 in-state，$\Psi^{-}_{\beta}$ 为 出射态 out-state。

另一方面：从海森堡绘景中看，态矢并不随时间演化。入射态和出射态只是同一个态 $\Psi$ 在不同时间下的观察。现在再转换到薛定谔绘景中，设 $t=0$ 时系统的态为 $\Psi$，系统的哈密顿量为：

$H = H_0 + V$

其中 $H_0$ 为自由情形的哈密顿量，$V$ 表示相互作用。那么有：

$\begin{aligned} \Psi_{\alpha}^{+} = \lim_{\tau\rightarrow-\infty}\exp(-iH\tau)\Psi\\ \Psi_{\beta}^{-} = \lim_{\tau\rightarrow+\infty}\exp(-iH\tau)\Psi\\ \end{aligned}\tag{1}$

观察 $(1)$ 中两式的从右边到左边，这提示我们可以将 $\alpha$ 与 $\beta$ 统一记为 $\alpha$，而用时间来区分入射态与出射态，即：

$\Psi^{\pm}_{\alpha}$

最基本的，我们考虑 $\Psi_{\alpha}^{\pm}$ 为 $H$ 的本征态，有：

$H\Psi^{\pm}_{\alpha} = E_{\alpha}\Psi^{\pm}_{\alpha}\tag{2}$

若仅考虑 $H_0$，那么其能量本征态为平面波：

$H_0\Phi_{\alpha} = E_{\alpha}\Phi_{\alpha} \tag{3}$

满足如下正交归一关系：

$\langle \Phi_\alpha | \Phi_{\alpha'}\rangle = \delta(\alpha-\alpha')$

注意：我们在不引起歧义时直接将态矢 $|\Phi\rangle$ 记为 $\Phi$，只在必要的时候使用 Dirac 符号。
这里 $\delta(\alpha-\alpha')$ 的含义为：

$\delta(\alpha-\alpha') \equiv \prod\delta_{nn'}\prod\delta_{\sigma\sigma'}\prod \delta^{(3)}(\bm{p}-\bm{p}')$

$\Psi^{\pm}_{\alpha}$ 与 $\Phi_{\alpha}$ 的能量本征值相同是很好理解的，因为在 $t\rightarrow \mp\infty$ 时，粒子彼此相隔足够远，相互作用 $V \rightarrow 0$。

我们现在来思考一个问题：真实的入射态/出射态会是能量的本征态吗？答案是否定的！这点从不确定性关系：$\Delta E\Delta t \geqslant \hbar/2$ 出发很好理解。若入射态/出射态为能量本征态，那么 $\Delta t \rightarrow \infty$，这个结果说明能量本征态必然在时间上是非定域的，即我们完全不能确定在何时发生相互作用。而我们期望的物理图象是：入射态为一些粒子，在某一时刻发生相互作用后，又作为一些粒子出射出去。那么，我们必须考虑 真实的入射态/出射态为能量本征态叠加所形成的波包。即：

$\int d\alpha g(\alpha)\Psi_{\alpha}^{\pm} \tag{4}$

这里 $\int d\alpha \cdots$ 的含义为：

$\int d\alpha \cdots \equiv \sum_{n\cdots,\sigma\cdots} \int d^3p\cdots$

但是，我们仍然将 $\Psi_{\alpha}^{\pm}$ 定义为 $H$ 的本征态，称为 入射态 in-state\出射态 out-state，但要理解 $\Psi_{\alpha}^{\pm}$ 只有出现在 $(4)$ 式中才有物理意义。

时间演化算子作用其上成为：

$\exp(-iH\tau)\int d\alpha g(\alpha)\Psi_{\alpha}^{\pm} = \int d\alpha e^{-iE_{\alpha}\tau}g(\alpha)\Psi_{\alpha}^{\pm}\tag{5}$

在 $\tau\rightarrow\mp\infty$ 时，有 $\Psi_{\alpha}^{\pm}\rightarrow \Phi_{\alpha}$。所以 $(5)$ 式成为：

$\int d\alpha e^{-iE_{\alpha}\tau}g(\alpha)\Psi_{\alpha}^{\pm} \rightarrow \int d\alpha e^{-iE_{\alpha}\tau}g(\alpha)\Phi_{\alpha} \tag{6}$

将 $(6)$ 式可以重写为：

$\exp(-iH\tau)\int d\alpha g(\alpha)\Psi_{\alpha}^{\pm} \rightarrow \exp(-iH_0\tau)\int d\alpha g(\alpha)\Phi_{\alpha}\tag{7}$

从 $(7)$ 中我们得到：

$\begin{aligned} \Psi_{\alpha}^{\pm} &= \lim_{\tau \rightarrow \mp \infty} \exp(iH\tau)\exp(-iH_0\tau) \Phi_{\alpha}\\ &\equiv \lim_{\tau \rightarrow \mp \infty} \Omega(\tau)\Phi_{\alpha}\\ &= \Omega(\mp\infty)\Phi_{\alpha}\\ \end{aligned}\tag{8}$

其中：

$\Omega(\tau) \equiv \exp(+iH\tau)\exp(-iH_0\tau)\tag{9}$

也应当记住，$(8)$ 式只有在波包中才有意义。
根据 $(7)$ 式，入射态、出射态的正交归一性容易得到：

$\begin{aligned} &\int d\alpha d\beta \exp(-i(E_{\alpha}-E_{\beta})\tau)g(\alpha)g^*(\beta)\langle\Psi_{\beta}^{\pm}|\Psi_{\alpha}^{\pm}\rangle\\ \rightarrow & \int d\alpha d\beta \exp(-i(E_{\alpha}-E_{\beta})\tau)g(\alpha)g^*(\beta)\langle\Phi_{\beta}|\Phi_{\alpha}\rangle\\ \end{aligned}$

由 $g(\alpha)$ 的任意性，得到：

$\langle\Psi_{\beta}^{\pm}|\Psi_{\alpha}^{\pm}\rangle = \langle\Phi_{\beta}|\Phi_{\alpha}\rangle = \delta(\beta-\alpha)\tag{10}$

以上我们的讨论都基于：在 $\tau \rightarrow \mp\infty$ 时，$\Psi^{\pm}_{\alpha} \rightarrow \Phi_{\alpha}$。我们现在来看在一般情况下，$\Psi^{\pm}_{\alpha}$ 与 $\Psi _{\alpha}$ 的关系。我们当然要利用能量本征方程 $(2)(3)$：

$\left\{ \begin{aligned} &H\Psi^{\pm}_{\alpha} = E_{\alpha}\Psi^{\pm}_{\alpha}\\ &H_0\Phi_{\alpha} = E_{\alpha}\Phi_{\alpha}\\ \end{aligned} \right.\Rightarrow\left\{ \begin{aligned} &(E_{\alpha}-H_0)\Psi^{\pm}_{\alpha} = V\Psi^{\pm}_{\alpha}\\ &(E_{\alpha}-H_0)\Phi_{\alpha}= 0\\ \end{aligned} \right.$

这提示我们可以写出如下形式解：

$\Psi_{\alpha}^{\pm} = \Phi_{\alpha} + \frac{V\Psi_{\alpha}^{\pm}}{E_{\alpha}-H_0\pm i\epsilon}\tag{11}$

这里，我们为了时在 $V\rightarrow 0$ 时，$E_{\alpha}-H_0$ 的倒数有意义，我们为其添加了一微小虚部 $i\epsilon$。$(11)$ 式可重写为：

$\begin{aligned} \Psi_{\alpha}^{\pm} &= \Phi_{\alpha} + \frac{V\Psi_{\alpha}^{\pm}}{E_{\alpha}-H_0\pm i\epsilon}\\ &=\Phi_{\alpha} + \int d\beta \frac{|\Phi_{\beta}\rangle\langle \Phi_{\beta}|V|\Psi_{\alpha}^{\pm}\rangle}{E_{\alpha}-H_0\pm i\epsilon}\\ &= \Phi_{\alpha} + \int d\beta \frac{T_{\beta\alpha}^{\pm}\Phi_{\beta}}{E_{\alpha}-E_{\beta}\pm i\epsilon}\\ \end{aligned}\tag{12}$

其中：

$T_{\beta\alpha}^{\pm} = \langle \Phi_{\beta}|V|\Psi_{\alpha}^{\pm}\rangle \tag{13}$

方程 $(12)$ 被称为 Lippmann-Schwinger 方程。

现在我们来说明添加了一微小虚部后的表达式 $(11)$ 将满足 $(6)$ 式。考虑以下波包：

$\begin{aligned} &\Psi_g^{\pm}(t) \equiv \int d\alpha e^{-iE_{\alpha}t}g(\alpha)\Psi_{\alpha}^{\pm}\\ &\Phi_g(t) \equiv \int d\alpha e^{-iE_{\alpha}t}g(\alpha)\Phi_{\alpha}\\ \end{aligned}$

我们想要证明：

$\lim_{t\rightarrow \mp\infty}(\Phi_g(t) - \Psi_{g}^{\pm}(t))= 0 \tag{14}$

利用 $(12)$，得到；

$\begin{aligned} \Psi_g^{\pm}(t) &= \Phi_{g}(t) + \int d\alpha \int d\beta \frac{e^{-iE_{\alpha}t}g(\alpha)T_{\beta\alpha}^{\pm}\Phi_{\beta}}{E_{\alpha}-E_{\beta}\pm i\epsilon}\\ &= \Phi_{g}(t) + \int d\beta \Phi_{\beta}\int d\alpha \frac{e^{-iE_{\alpha}t}g(\alpha)T_{\beta\alpha}^{\pm}}{E_{\alpha}-E_{\beta}\pm i\epsilon}\\ &= \Phi_{g}(t) + \int d\beta \Phi_{\beta} \mathscr{J}_{\beta}^{\pm} \end{aligned}$

其中：

$\mathscr{J}_{\beta}^{\pm} \equiv \int d\alpha \frac{e^{-iE_{\alpha}t}g(\alpha)T_{\beta\alpha}^{\pm}}{E_{\alpha}-E_{\beta}\pm i\epsilon}$

当 $t\rightarrow -\infty$ 时：考虑 $\mathscr{J}_{\beta}^+$，其极点为 $E_{\beta} - i\epsilon$，而指数因子提示我们选取积分围线上闭合，自然有 $\mathscr{J}_{\beta}^+ = 0$。同理对于 $t\rightarrow +\infty$ 时有 $\mathscr{J}_{\beta}^- = 0$。于是 $(14)$ 式的成立是显然的。

散射矩阵

我们现在对于入射态与出射态各自选取一套基 $\Psi^+_{\alpha},\Psi^-_{\beta}$。我们将 散射矩阵 S-matrix 定义为：

$S_{\beta\alpha} = \langle \Psi_{\beta}^{-} |\Psi_{\alpha}^{+}\rangle \tag{15}$

在这里，大家对概念可能会有混淆，不妨我们再来回顾几个问题：

1. 入射态与出射态的正交关系如何理解？
   注意：在 $(10)$ 式中，我们只给出了入射态和入射态，出射态与出射态之间的正交关系，而没有提及入射态和出射态的正交关系这一说法，所以 $(15)$ 式是非平凡的。
2. 我们之前提到入射态和出射态可以通过时间演化联系起来，因此我们用统一的指标 $\alpha$ 来表示，那么这里又选取了 $\alpha,\beta$ 两套指标来表示入射态与出射态是为什么呢？
   在之前，我们使用同一指标 $\alpha$ 来表示，是为了强调 $\Psi_{\alpha}^{\pm}$ 其实是一个态矢在不同时间的观察，但是并非说在任意时刻，$\Psi_{\alpha}$ 都足够简单，例如我们选取 $\Psi_{\alpha}^{+}$ 为一些简单的单粒子态，而 $\Psi_{\alpha}^{-}$ 则是需要计算得到的。我们在 $(15)$ 式中所做的是：选取 $\Psi_{\alpha}^{-}$ 与 $\Psi_{\beta}^{+}$ 都为已经选取好的简单的基底。

在无相互作用时，散射矩阵成为：

$S_{\beta\alpha} = \langle \Psi_{\beta}^{-} |\Psi_{\alpha}^{+}\rangle = \langle \Phi_{\beta}|\Phi_{\alpha}\rangle = \delta(\beta-\alpha)\tag{16}$

另外，散射矩阵是幺正的：

$\begin{aligned} \int d\beta S_{\beta\gamma}^{*}S_{\beta\alpha} &= \int d\beta \langle \Psi_{\beta}^{-} |\Psi_{\gamma}^{+}\rangle^*\langle \Psi_{\beta}^{-} |\Psi_{\alpha}^{+}\rangle\\ &= \int d\beta \langle \Psi_{\gamma}^{+} |\Psi_{\beta}^{-}\rangle\langle \Psi_{\beta}^{-} |\Psi_{\alpha}^{+}\rangle\\ &= \langle \Psi_{\gamma}^{+}|\Psi_{\alpha}^{+}\rangle = \delta(\gamma-\alpha)\\ \end{aligned}\tag{17}$

即 $S^\dagger S = 1$。
由 $(8)$ 式得到：

$\begin{aligned} S_{\beta\alpha} &= \langle \Psi_{\beta}^{-} |\Psi_{\alpha}^{+}\rangle\\ &= \langle \Phi_{\beta}| \Omega(+\infty)^\dagger \Omega(-\infty)|\Phi_{\alpha}\rangle\\ &\equiv \langle \Phi_{\beta}| S|\Phi_{\alpha}\rangle\\ \end{aligned}$

有：

$S = \Omega(+\infty)^\dagger \Omega(-\infty) \equiv U(+\infty,-\infty)\tag{18}$

其中：

$\begin{aligned} U(\tau,\tau_0) &\equiv \Omega(\tau)^\dagger\Omega(\tau_0)\\ &= \exp(iH_0\tau)\exp(-iH(\tau-\tau_0))\exp(-iH_0\tau_0)\end{aligned}\tag{19}$

我们现在来推导有关散射矩阵的表达式。对于入射态 $\Psi^{+}$，考虑：

$\mathscr{J}_{\beta}^{+} \equiv \int d\alpha \frac{e^{-iE_{\alpha}t}g(\alpha)T_{\beta\alpha}^{+}}{E_{\alpha}-E_{\beta}+ i\epsilon}$

不过现在考虑 $t\rightarrow +\infty$。我们将选取积分围线向下闭合。此时：积分围先包含极点 $E_{\beta} - i\epsilon$。在 $\epsilon\rightarrow 0^+$ 的极限下，利用留数定理可得：

$\mathscr{J}_{\beta}^{+} \rightarrow -2\pi i e^{-iE_{\beta}t} \int d\alpha \delta(E_{\alpha}-E_{\beta}) g(\alpha) T_{\beta\alpha}^+$

因此：

$\Psi_g^{+}(t) \rightarrow \int d\beta e^{-iE_{\beta}t} \Phi_{\beta}[g(\beta) -2\pi i\int d\alpha \delta(E_{\alpha}-E_{\beta}) g(\alpha) T_{\beta\alpha}^+ ]\tag{20}$

另外：

$\begin{aligned} \Psi_g^{+}(t) &= \int d\alpha e^{-iE_{\alpha}t}g(\alpha)\Psi_{\alpha}^{+}\\ &= \int d\alpha e^{-iE_{\alpha}t}g(\alpha)(\int d\beta|\Psi_{\beta}^{-}\rangle\langle\Psi_{\beta}^{-}|) |\Psi_{\alpha}^{+}\rangle\\ &= \int d\alpha e^{-iE_{\alpha}t}g(\alpha)\int d\beta\langle\Psi_{\beta}^{-}|\Psi_{\alpha}^{+}\rangle \Psi_{\beta}^{-}\\ &= \int d\alpha e^{-iE_{\alpha}t}g(\alpha)\int d\beta\Psi_{\beta}^{-}S_{\beta\alpha}\\ \end{aligned}$

考虑到散射过程中能量守恒，这体现为散射矩阵应当含有因子 $\delta(E_{\alpha}-E_{\beta})$。因此 $\Psi_g^{+}(t)$ 又可以写为；

$\Psi_g^{+}(t) = \int d\beta \Psi_{\beta}^{-} e^{-iE_{\beta}t}\int d\alpha g(\alpha)S_{\beta\alpha} \tag{21}$

比较 $(20)(21)$ 式，得到：

$\int d\alpha g(\alpha) S_{\beta\alpha} = g(\beta) -2\pi i\int d\alpha \delta(E_{\alpha}-E_{\beta}) g(\alpha) T_{\beta\alpha}^+$

即：

$S_{\beta\alpha} = \delta(\beta-\alpha) -2\pi i\delta(E_{\alpha}-E_{\beta})T_{\beta\alpha}^+ \tag{22}$

其中 $T_{\beta\alpha}^+ = \langle \Phi_{\beta}|V|\Psi_{\alpha}^{+}\rangle$，若近似认为 $\Psi_{\alpha}^{+} \simeq \Phi_{\alpha}$，即忽略入射态与自由粒子态的差别。那么得到：

$S_{\beta\alpha} \simeq \delta(\beta-\alpha) -2\pi i\delta(E_{\alpha}-E_{\beta})\langle \Phi_{\beta}|V|\Phi_{\alpha}\rangle \tag{23}$

更一般的，在散射过程中四动量将守恒，因此散射矩阵将写为以下一般的形式：

$\begin{aligned} S_{\beta\alpha} - \delta(\beta-\alpha) = -2\pi iM_{\beta\alpha}\delta^{(4)}(p_{\beta}-p_{\alpha}) \end{aligned}$

其中 $M_{\beta\alpha}$ 可能会含有更多的 $\delta$ 函数，我们将在以后讨论这件事。

散射矩阵的物理意义

当我们要讨论发生散射的概率时，我们需要计算 $|S_{\beta\alpha}|^2$，其中包含 $[\delta^{(4)}(p_\beta-p_{\alpha})]^2$ 项，如何理解这件事呢？

我们首先考虑：所有的物理粒子被限制在一个有限的宏观区域 $V$ 中，例如我们考虑一个边长为 $L$ 的 箱子 box。那么：在此空间中，粒子的动量只能取离散值：

$\bm{p} = \frac{2\pi}{L}(n_1,n_2,n_3),\quad n_i\in \mathbb{Z} \tag{24}$

那么在散射矩阵中出现的保证动量守恒的 $\delta$ 函数：

$\delta^{(3)}(\bm{p}'-\bm{p}) = \frac{1}{(2\pi)^3} \int d^3x e^{i(\bm{p}'-\bm{p})\cdot\bm{x}}$

将其中对空间的积分限制在体积 $V$ 内，成为：

$\begin{aligned} \delta^{(3)}_{V}(\bm{p}'-\bm{p}) &\equiv \frac{1}{(2\pi)^3} \int_V d^3x e^{i(\bm{p}'-\bm{p})\cdot\bm{x}}\\ &= \frac{V}{(2\pi)^3} \delta_{\bm{p}',\bm{p}} \end{aligned}\tag{25}$

对于 $\Psi_{\alpha}$ 来说，设 $\alpha$ 中包含 $N_{\alpha}$ 个粒子。相应的正交归一条件成为：

$\begin{aligned} \langle \Psi_{\alpha}|\Psi_{\alpha'}\rangle &= \delta(\alpha-\alpha')\\ &= [\frac{V}{(2\pi)^3}]^{N_{\alpha}}\delta_{\alpha,\alpha'} \end{aligned}\tag{26}$

我们将箱中的态矢重新定义为：

$\Psi_{\alpha}^{Box} = [\frac{(2\pi)^3}{V}]^{\frac{N_{\alpha}}{2}} \Psi_{\alpha}\tag{27}$

那么 $(26)$ 成为：

$\langle \Psi^{Box}_{\alpha}|\Psi^{Box}_{\alpha'}\rangle = \delta_{\alpha,\alpha'} \tag{28}$

散射矩阵也可以写为：

$\begin{aligned} S_{\beta\alpha} &= \langle \Psi^{-}_{\beta}|\Psi_{\alpha}^{+}\rangle\\ &= [\frac{V}{(2\pi)^3}]^{\frac{N_{\alpha}+N_{\beta}}{2}} \langle \Psi^{-,Box}_{\beta}|\Psi_{\alpha}^{+,Box}\rangle\\ &= [\frac{V}{(2\pi)^3}]^{\frac{N_{\alpha}+N_{\beta}}{2}} S_{\beta\alpha}^{Box}\\ \end{aligned}\tag{29}$

散射矩阵还出现了保证能量守恒的 $\delta$ 函数：

$\delta(E_{\alpha}-E_{\beta}) = \frac{1}{2\pi}\int \exp(i(E_{\alpha}-E_{\beta})t)dt$

我们要将时间限制在一定区间内，这件事情的意义是明显的：因为散射过程可能在任何时间发生，脱离时间谈散射的概率是没有意义的。现在，将时间限制在区间 $[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$ 内，我们现在将用以下函数替代 $\delta(E_{\alpha}-E_{\beta})$：

$\begin{aligned} \delta_T(E_{\alpha}-E_{\beta}) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\exp(i(E_{\alpha}-E_{\beta})t)dt \end{aligned}\tag{30}$

那么现在一个限制在体积 $V$ 内，在时间 $T$ 中的，由给定的态 $\alpha$，经过相互作用，跃迁到特定的 $\beta$ 态上的概率为：

$\begin{aligned} P(\alpha\rightarrow\beta) &= |S_{\beta\alpha}^{Box}|^2\\ &= [\frac{(2\pi)^3}{V}]^{N_{\alpha}+N_{\beta}} |S_{\beta\alpha}|^2\\ \end{aligned}\tag{31}$

对于粒子种类的相同的一系列 $\beta$ 来说，我们要对其所有可能的动量、自旋作相应的积分、求和才能得到总的跃迁概率。先考虑对动量的积分。对于单粒子来说：一个在动量空间 $d^3p$ 中的粒子所可能具有的状态数为 $\frac{Vd^3p}{(2\pi)^3}$。现在将 $d\beta$ 记为所有粒子动量空间 $d^3p$ 的乘积。那么在 $d\beta$ 内包含的状态数为：

$d\mathscr{N}_{\beta} = [\frac{V}{(2\pi)^3}]^{N_{\beta}}d\beta \tag{32}$

得到末态在 $d\beta$ 内的跃迁概率为：

$\begin{aligned} dP(\alpha\rightarrow\beta) &= P(\alpha\rightarrow\beta)d\mathscr{N}_{\beta}\\ & = [\frac{(2\pi)^3}{V}]^{N_{\alpha}} |S_{\beta\alpha}|^2 d\beta\\ \end{aligned}\tag{33}$

考虑到：

$\begin{aligned} S_{\beta\alpha} &= \delta(\beta-\alpha) - 2\pi i \delta^{(4)}(p_{\beta}-p_{\alpha})M_{\beta\alpha}\\ |S_{\beta\alpha}|^2 &= |\delta(\beta-\alpha)|^2 + |2\pi i \delta^{(4)}(p_{\beta}-p_{\alpha})M_{\beta\alpha}|^2 \end{aligned}$

我们通常比较关心因为相互作用导致的第二项。在 $\beta\neq\alpha$ 时，我们直接将散射矩阵写为：

$S_{\beta\alpha} = - 2\pi i \delta^{(4)}(p_{\beta}-p_{\alpha})M_{\beta\alpha}$

在有限体积与有限时间中，得到：

$S_{\beta\alpha} \equiv - 2\pi i\delta_T(E_{\beta}-E_{\alpha}) \delta^{(3)}_V(\bm{p}_{\beta}-\bm{p}_{\alpha})M_{\beta\alpha} \tag{34}$

此时，$|S_{\beta\alpha}|^2$ 的含义是清楚的，因为 $\delta_T(0)$ 与 $\delta^{(3)}_V(0)$ 的值是有良好定义的。将 $(34)$ 代入 $(33)$ 得到：

$\begin{aligned} dP(\alpha\rightarrow\beta) &= [\frac{(2\pi)^3}{V}]^{N_{\alpha}} |S_{\beta\alpha}|^2 d\beta\\ &= [\frac{(2\pi)^3}{V}]^{N_{\alpha}} (2\pi)^2 [\delta_T(E_{\beta}-E_{\alpha}) \delta^{(3)}_V(\bm{p}_{\beta}-\bm{p}_{\alpha})]^2 |M_{\beta\alpha}|^2 d\beta\\ &=[\frac{(2\pi)^3}{V}]^{N_{\alpha}-1}\frac{T}{2\pi} (2\pi)^2 \delta_T(E_{\beta}-E_{\alpha}) \delta^{(3)}_V(\bm{p}_{\beta}-\bm{p}_{\alpha}) |M_{\beta\alpha}|^2 d\beta\\ \end{aligned}$

当 $T,V\rightarrow\infty$ 时，$\delta_T(E_{\beta}-E_{\alpha}) \delta^{(3)}_ V (\bm{p} _ {\beta}-\bm{p} _ {\alpha}) \rightarrow \delta^{(4)}(p_ {\beta}-p_{\alpha})$。现在考虑 跃迁速率 transition rate：

$\begin{aligned} d\Gamma(\alpha\rightarrow \beta) &= \frac{dP(\alpha\rightarrow\beta)}{T}\\ &= (2\pi)^{3N_{\alpha}-2} V^{1-N_{\alpha}} |M_{\beta\alpha}|^2 \delta^{(4)}(p_{\beta}-p_{\alpha})d\beta\\ \end{aligned}\tag{35}$

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在往下讨论前，将有关散射矩阵、跃迁概率、跃迁速率的理论用洛伦兹不变的因子写出是很有意义的。

首先应当清楚：如下正交归一关系并不是洛伦兹不变的。

$\langle \Psi_{\alpha}|\Psi_{\alpha'}\rangle = \delta(\alpha-\alpha')$

其原因为：其中包含的 $\delta^{(3)}(\bm{p}-\bm{p}')$ 并不是洛伦兹不变的。在有关 Klein-Gordon 场单粒子态的讨论中我们也讨论过类似的问题。因此我们建议采用如下的正交归一关系：

$\langle \Psi'_{\alpha}|\Psi'_{\alpha'}\rangle = \prod_{\alpha}E \delta(\alpha-\alpha')$

容易得到其是洛伦兹不变的。对应的态势定义为：

$\Psi'_{\alpha} \equiv \prod_{\alpha}E^{\frac{1}{2}} \Psi_{\alpha} \tag{36}$

我们可以将散射矩阵写为：

$\begin{aligned} S_{\beta\alpha} &= \langle \Psi_{\beta}^{-}|\Psi_{\alpha}^{+}\rangle\\ &= (\prod_{\alpha}E^{\frac{1}{2}}\prod_{\beta}E^{\frac{1}{2}})^{-1} \langle \Psi_{\beta}^{'-}|\Psi_{\alpha}^{'+}\rangle\\ &\overset{\alpha\neq\beta}{=} (\prod_{\alpha}E^{\frac{1}{2}}\prod_{\beta}E^{\frac{1}{2}})^{-1} (-2\pi i \delta^{(4)}(p_{\beta}-p_{\alpha}) M'_{\beta\alpha}) \\ \end{aligned}\tag{37}$

其中：

$M'_{\beta\alpha} \equiv \prod_{\alpha}E^{\frac{1}{2}}\prod_{\beta}E^{\frac{1}{2}} M_{\beta\alpha}$

为洛伦兹不变的跃迁矩阵元。

现在对所有可能的自旋求和，将 $(35)$ 式写为：

$\begin{aligned} \sum_{spins}d\Gamma(\alpha\rightarrow\beta) &= (2\pi)^{3N_{\alpha}-2} V^{1-N_{\alpha}}\sum_{spins} |M_{\beta\alpha}|^2 \delta^{(4)}(p_{\beta}-p_{\alpha})d\beta\\ &= (2\pi)^{3N_{\alpha}-2} V^{1-N_{\alpha}} (\prod_{\alpha}E)^{-1} \sum_{spins} |M_{\beta\alpha}'|^2 \delta^{(4)}(p_{\beta}-p_{\alpha})\frac{\delta \beta}{\prod_{\beta}E}\\ &= (2\pi)^{3N_{\alpha}-2} V^{1-N_{\alpha}} R_{\beta\alpha} (\prod_{\alpha}E)^{-1}\delta^{(4)}(p_{\beta}-p_{\alpha}) \frac{\delta \beta}{\prod_{\beta}E}\\ \end{aligned}\tag{38}$

其中：

$R_{\beta\alpha} \equiv \sum_{spins} |M_{\beta\alpha}'|^2 = \sum_{spins} |M_{\beta\alpha}|^2 \prod_{\beta}E\prod_{\alpha}E\tag{39}$

不难看出，除了 $\prod_{\alpha}E$ 之外，其他所有的因子都是洛伦兹不变的。

衰变速率与散射截面

现在我们针对一些特殊情况进行讨论。

当 $N_{\alpha} = 1$ 时：该反应为一个粒子到所有可能的末态的 衰变。

根据 $(38)$ 式得到 衰变速率 为：

$\sum_{spins}d\Gamma(\alpha\rightarrow\beta) = 2\pi R_{\beta\alpha}E_{\alpha}^{-1}\delta^{(4)}(p_{\beta}-p_{\alpha})\frac{\delta \beta}{\prod_{\beta}E}\tag{40}$

当 $N_{\alpha} = 2$ 时：该反应为两个粒子间的散射。得到散射的跃迁速率为：

$\sum_{spins}d\Gamma(\alpha\rightarrow\beta) = \frac{(2\pi)^4}{V} R_{\beta\alpha}(E_{1}E_{2})^{-1}\delta^{(4)}(p_{\beta}-p_{\alpha})\frac{\delta \beta}{\prod_{\beta}E}\tag{41}$

我们得到所选取的空间体积越大，发生散射的跃迁速率越低。这点是显然的，因为体积的增加使得两个粒子更难发生相互作用。因此，我们希望得到一个与所选取体积无关的物理量。一个合理的情形为：考虑一个速度为 $u_{\alpha}$ 的粒子 $1$ 与静止、均匀分布在体积为 $V$ 内的粒子 $2$ 发生反应。粒子 $2$ 的密度为 $\frac{1}{V}$。那么以 $1$ 粒子为参考系，反应速率就正比于粒子 $2$ 的通量 $\Phi_{\alpha} = u_{\alpha}/V$。一般来说，$u_{\alpha}$ 就是这两个粒子的相对速度。现在我们考虑单位通量下的衰变速率：

$\begin{aligned} \sum_{spins}d\sigma(\alpha\rightarrow\beta) &= \sum_{spins}d\Gamma(\alpha\rightarrow\beta)/\Phi_{\alpha}\\ &= (2\pi)^4 u_{\alpha}^{-1} R_{\beta\alpha}(E_{1}E_{2})^{-1}\delta^{(4)}(p_{\beta}-p_{\alpha})\frac{\delta \beta}{\prod_{\beta}E}\\ \end{aligned} \tag{42}$

这就是 微分散射截面 differential cross-section，对末态求积分后得到 总散射截面。$(42)$ 式是洛伦兹不变的，假设粒子 $1,2$ 速度共线，相对速度可以表示为：

$\begin{aligned} u_{\alpha} &= |\bm{v}_1-\bm{v}_2|\\ &=|\frac{\bm{p}_1}{E_1}-\frac{\bm{p}_2}{E_2}|\\ &=\sqrt{(\frac{\bm{p}_1}{E_1}-\frac{\bm{p}_2}{E_2})^2}\\ &=\sqrt{\frac{E_1^2-m_1^2}{E_1^2} + \frac{E_2^2-m_2^2}{E_2^2} + \frac{2(p_1\cdot p_2 - E_1E_2)}{E_1E_2}}\\ &= \frac{\sqrt{-m_1^2E_2^2-m_2^2E_1^2 + 2p_1\cdot p_2 E_1E_2 }}{E_1E_2}\\ &= \frac{\sqrt{m_1^2m_2^2 + E_1^2E_2^2-m_1^2E_2^2-m_2^2E_1^2 + 2p_1\cdot p_2 E_1E_2 -m_1^2m_2^2 - E_1^2E_2^2}}{E_1E_2}\\ &= \frac{\sqrt{\bm{p}_1^2\bm{p}_2^2 - 2\bm{p}_1\cdot \bm{p}_2 E_1E_2 + E_1^2E_2^2 -m_1^2m_2^2 }}{E_1E_2}\\ &= \frac{\sqrt{(\bm{p}_1\cdot\bm{p}_2)^2 - 2\bm{p}_1\cdot \bm{p}_2 E_1E_2 + E_1^2E_2^2 -m_1^2m_2^2 }}{E_1E_2}\\ &= \frac{\sqrt{(E_1E_2-\bm{p}_1\cdot\bm{p}_2)^2 -m_1^2m_2^2 }}{E_1E_2}\\ &= \frac{\sqrt{(p_1\cdot p_2)^2-m_1^2m_2^2}}{E_1E_2}\\ \end{aligned}$

于是，我们采用下式为相对速度的定义式：

$u_{\alpha} = \frac{\sqrt{(p_1\cdot p_2)^2-m_1^2m_2^2}}{E_1E_2} \tag{43}$

因此容易看出微分散射截面为洛伦兹不变量。

现在考虑末态粒子数为 $2$ 的情况。由于散射截面为洛伦兹不变量，我们通常选取在 质心系 中进行计算。那么 $(41)$ 式中出现的以下因子成为：

$\delta^4(p_{\alpha}-p_{\beta})d\beta = \delta^3(\bm{p}'_1 + \bm{p}'_2)\delta(E_1'+E_2'-E)d^3p'_1d^3p'_2$

对 $d^3p'_1$ 积分，考虑到第一个 $\delta$ 函数，得到：

$\begin{aligned} \delta^4(p_{\alpha}-p_{\beta})d\beta &\rightarrow \delta(E_1'+E_2'-E)d^3p_2'\\ &= \delta(\sqrt{|\bm{p}_1'|^2 + m_1'^2} + \sqrt{|\bm{p}_2'|^2 + m_2'^2} - E) |\bm{p}_2'|^2d|\bm{p}_2'|d\Omega\\ &= \delta(\sqrt{|\bm{p}_1'|^2 + m_1'^2} + \sqrt{|\bm{p}_1'|^2 + m_2'^2} - E) |\bm{p}_1'|^2d|\bm{p}_1'|d\Omega\\ \end{aligned}$

设 $k' = |\bm{p}_1'|$ 满足 $E_1'+E_2'-E=0$，得到：

\begin{aligned} &k' = \frac{\sqrt{(E^2-m_1'^2-m_2'^2)^2 - 4m_1'^2m_2'^2}}{2E}\\ &E_1' = \sqrt{k'^2 + m_1'^2} = \frac{E^2-m_2'^2 + m_1'^2}{2E}\\ &E_2' = \sqrt{k'^2 + m_2'^2} = \frac{E^2-m_1'^2 + m_2'^2}{2E}\\\ \end{aligned}

因此：

$\begin{aligned} &\frac{d}{d|\bm{p}_1'|}(\sqrt{|\bm{p}_1'|^2 + m_1'^2} + \sqrt{|\bm{p}_1'|^2 + m_2'^2} - E)_{|\bm{p}'_1| = k'}\\ =& \frac{k'}{E_1'} + \frac{k'}{E_2'} = \frac{k'E}{E_1'E_2'} \end{aligned}$

根据 $\delta$ 函数的性质，得到：

$\begin{aligned} \delta^4(p_{\alpha}-p_{\beta})d\beta &\rightarrow \frac{E_1'E_2'}{k'E} \delta(|\bm{p}_1'|-k') |\bm{p}_1'|^2d|\bm{p}_1'|d\Omega\\ &= \frac{E_1'E_2'k'}{E}d\Omega\\ \end{aligned}$

当初态粒子数为 $1$ 时，那么衰变率为：

$\frac{d\Gamma(\alpha\rightarrow\beta)}{d\Omega} = \frac{2\pi k'E_1'E_2'}{E}|M_{\beta\alpha}|^2 \tag{44}$

当初态粒子数为 $2$ 时，得到微分散射截面：

$\begin{aligned} \frac{d\sigma(\alpha\rightarrow\beta)}{d\Omega} = \frac{(2\pi)^4k'E_1'E_2'}{Eu_{\alpha}}|M_{\beta\alpha}|^2 = \frac{(2\pi)^4k'E_1'E_2'E_1E_2}{E^2k}|M_{\beta\alpha}|^2 \end{aligned} \tag{45}$

光学定理

之前我们得到散射矩阵的表达式为：

$S_{\beta\alpha} = \delta(\beta-\alpha) - 2\pi i \delta^{(4)}(p_{\beta}-p_{\alpha})M_{\beta\alpha}$

利用散射矩阵的幺正性 $S^\dagger S = 1$ 得到：

$\begin{aligned} \delta(\gamma-\alpha) &= \int d\beta S_{\beta\gamma}^* S_{\beta\alpha}\\ &= \delta(\gamma-\alpha) - 2\pi i \delta^{(4)}(p_{\gamma}-p_{\alpha})M_{\gamma\alpha} + 2\pi i \delta^{(4)}(p_{\gamma}-p_{\alpha})M^*_{\alpha\gamma}\\ &\quad +4\pi^2 \int d\beta \delta^{(4)}(p_{\beta}-p_{\gamma})\delta^{(4)}(p_{\beta}-p_{\alpha})M^*_{\beta\gamma}M_{\beta\alpha}\\ \end{aligned}$

得到：

$0 =- i M_{\gamma\alpha} + iM^*_{\alpha\gamma} + 2\pi \int d\beta \delta^{(4)}(p_{\beta}-p_{\gamma})M^*_{\beta\gamma}M_{\beta\alpha}$

当 $\alpha =\gamma$ 时，得到：

$\mathrm{Im} M_{\alpha\alpha} = -\pi \int d\beta \delta^{(4)}(p_{\beta}-p_{\alpha})|M_{\beta\alpha}|^2 \tag{46}$

对于初态 $\alpha$，所有可能的反应速率总和为：

$\begin{aligned} \Gamma_{\alpha} &\equiv \int d\Gamma(\alpha-\beta)\\ &= \int d\beta \frac{d\Gamma(\alpha-\beta)}{d\beta}\\ &= (2\pi)^{3N_{\alpha}-2} V^{1-N_{\alpha}} \int d\beta |M_{\beta\alpha}|^2 \delta^{(4)}(p_{\beta}-p_{\alpha})\\ &= -\frac{1}{\pi} (2\pi)^{3N_{\alpha}-2} V^{1-N_{\alpha}} \mathrm{Im} M_{\alpha\alpha} \tag{47} \end{aligned}$

这称为 光学定理 optical theorem。特别地，当 $\alpha$ 为两粒子态时，得到：

$\begin{aligned} \mathrm{Im} M_{\alpha\alpha} &= -\frac{V \Gamma_{\alpha}}{16\pi^3}\\ &= -\frac{u_{\alpha}\sigma_{\alpha}}{16\pi^3}\\ \end{aligned} \tag{48}$