量子场论笔记（二十四）：路径积分表述与对称性

路径积分表述与对称性

在前面几篇中，我们使用了路径积分表述对标量场、矢量场、旋量场进行了量子化。这种方法完全基于哈密顿量的结构。那么如果系统的拉氏量具有某种对称性，相应的路径积分表述中也能够保持这种对称性。在经典力学中，可以使用最小作用量原理推导出了系统的运动方程——欧拉-拉格朗日方程，利用 Noether 定理将守恒量与对称性联系起来。现在，我们想使用路径积分表述去探索量子场论中的运动方程、守恒律。

运动方程

不妨考虑一个自由标量场：

$\mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial_{\mu}\phi)^2 - \frac{1}{2}m^2\phi^2$

考虑如下的三点关联函数：

$\langle \Omega| T\phi(x_1)\phi(x_2)\phi(x_3)|\Omega\rangle = Z^{-1}\int \mathcal{D}\phi e^{i\int d^4x \mathcal{L}[\phi]}\phi(x_1)\phi(x_2)\phi(x_3)$

在理论力学中，我们使用了最小作用量原理推导出了运动方程：拉格朗日方程。现在我们也认为真实运动所对应的作用量取极值来推导运动方程。即考虑如下无穷小变换：

$\phi(x) \rightarrow \phi'(x) = \phi(x) + \epsilon(x)$

这个 shift 不改变积分测度：

$\mathcal{D}\phi' = \mathcal{D}\phi$

得到：对于真实运动将有下式成立

$\begin{aligned} &\int \mathcal{D}\phi e^{i\int d^4x \mathcal{L}[\phi]}\phi(x_1)\phi(x_2)\phi(x_3)\\ =& \int \mathcal{D}\phi e^{i\int d^4x \mathcal{L}[\phi']}\phi'(x_1)\phi'(x_2)\phi'(x_3)\\ =&\int \mathcal{D}\phi e^{i\int d^4x \mathcal{L}[\phi]}\{\phi(x_1)\phi(x_2)\phi(x_3) + (i\int d^4x \epsilon(x)(-\partial^2-m^2)\phi(x)\phi(x_1)\phi(x_2)\phi(x_3))\\ &\quad + \epsilon(x_1)\phi(x_2)\phi(x_3) + \phi(x_1)\epsilon(x_2)\phi(x_3) + \phi(x_1)\phi(x_2)\epsilon(x_3)\} \end{aligned}$

其中 $\epsilon(x_2)$ 可以写为：

$\epsilon(x_2) = \int d^4x \epsilon(x)\delta(x-x_1)$

那么就可以将上式子的后四项写成同样的形式。可以得到：

$\begin{aligned} 0 &= \int \mathcal{D}\phi e^{i\int d^4x \mathcal{L}}[(\partial^2+m^2)\phi(x)\phi(x_1)\phi(x_2)\phi(x_3)\\ &\quad + i\delta(x-x_1)\phi(x_2)\phi(x_3) + i\phi(x_1)\delta(x-x_2)\phi(x_3) + i\phi(x_1)\phi(x_2)\delta(x-x_3)] \end{aligned}$

若我们仅考虑只有 $\phi(x_1)$ 的情形，类比上式，一点关联函数 $\langle \Omega|\phi(x_1)|\Omega\rangle$ 将满足如下方程：

$0 = \int \mathcal{D}\phi e^{i\int d^4x \mathcal{L}}[(\partial^2+m^2)\phi(x)\phi(x_1) + i\delta(x-x_1)]$

即有：

$(\partial^2 + m^2)\langle \Omega|T\phi(x)\phi(x_1)|\Omega\rangle = -i\delta(x-x_1)$

这就是一点关联函数将满足的运动方程。我们注意到：其中式子左边带有 Klein-Gordon 算子 $\partial^2+m^2$ ，右边出现了 $\delta$ 函数。这说明费曼传播子： $\Omega|T\phi(x)\phi(x_1)|\Omega\rangle$ 是 Klein-Gordon 算子的格林函数。

对于一般的 $n$ 点关联函数，实际上有：

$(\partial^2 + m^2)\langle \Omega|T\phi(x)\phi(x_1)\cdots \phi(x_n)|\Omega\rangle = \sum_{i=1}^n\langle\Omega|T\phi(x_1)\cdots(-i\delta(x-x_i))\cdots \phi(x_n)|\Omega\rangle$

上述结论是容易进行推广的：

$\begin{aligned} 0 &= \int \mathcal{D}\varphi e^{i\int d^4x\mathcal{L}}\{(i \int d^4x \epsilon(x)\frac{\delta}{\delta \varphi(x)}\int d^4x'\mathcal{L}) \cdot \varphi(x_1)\cdots \varphi(x_n)\\ &\quad + \sum_{i=1}^{n} \varphi(x_1)\cdots \delta(x - x_i)\cdots \varphi(x_n)\} \end{aligned}\tag{1}$

考虑到：

$\frac{\delta}{\delta \varphi(x)}\int d^4x'\mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi} - \partial_{\mu}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\mu}\varphi)}$

这正是 $\varphi$ 需要满足的拉格朗日方程。 $(1)$ 可以写为：

$\langle (\frac{\delta}{\delta \varphi(x)}\int d^4x'\mathcal{L}) \varphi(x_1) \cdots \varphi(x_n)\rangle = \sum_{i=1}^n \langle \varphi(x_1)\cdots (i\delta(x - x_i))\cdots \varphi(x_n)\rangle$

其中 $\langle \cdots \rangle$ 表示关联函数，其中的场量作时序积。上述方程称为 Schwinger-Dyson 方程，是经典场论中场的运动方程在量子场论中的类比。

我们如果用 $F[\varphi]$ 表示一个有关场量 $\varphi$ 的泛函。那么 Schwinger-Dyson 方程 方程可以写为：

$\langle \frac{\delta F[\varphi]}{\delta \varphi}\rangle = -i\langle F[\varphi]\frac{\delta S[\varphi]}{\delta\varphi}\rangle\tag{2}$

守恒量与对称性

在经典力学中，Noether 定理说明了守恒量与对称性的关系。现在我们利用路径积分表述，在量子场论中进行相关的分析。以自由复值场为例：

$\mathcal{L} = |\partial_{\mu}\phi|^2 - m|\phi|^2 \tag{3}$

该拉氏量在变换 $\phi \rightarrow e^{i\alpha}\phi$ 下不变。该变换的无穷小形式为：

$\phi(x) \rightarrow \phi(x)' = \phi(x) + i\alpha(x)\phi(x) \tag{4}$

在该变换下，容易得到积分测度不变。既然拉氏量不变，那么两点关联函数也应当不变。即：

$\begin{aligned} \int \mathcal{D}\phi e^{i\int d^4x \mathcal{L}[\phi]}\phi(x_1)\phi^*(x_2) &= \int \mathcal{D}\phi e^{i\int d^4x \mathcal{L}[\phi']}\phi'(x_1)\phi'^*(x_2)|_{\phi' = (1+i\alpha) \phi}\\ &= \int \mathcal{D}\phi e^{i\int d^4x \mathcal{L}[\phi]}\{i\int d^4x[(\partial_{\mu}\alpha)\cdot i(\phi\partial^{\mu}\phi^*-\phi^*\partial^{\mu}\phi)\phi(x_1)\phi^*(x_2)\\ &\quad +[i\alpha(x_1)\phi(x_1)]\phi^*(x_2) + \phi(x_1) [-i\alpha(x_2)\phi^*(x_2)]\} \end{aligned}$

我们注意到，上式中正包含了矢量流：

$j^{\mu} = i(\phi\partial^{\mu}\phi^*-\phi^*\partial^{\mu}\phi)$

将该式进行分部积分，可以得到：

$\langle \partial_{\mu}j^{\mu}\phi(x_1)\phi^*(x_2)\rangle = (-i)\langle(i\phi(x_1)\delta(x-x_1)\phi^*(x_2) + \phi(x_1)(-i\phi^*(x_2)\delta(x-x_2))\rangle$

这就是经典的流守恒方程在场论中的类比。

不难讨论一般情况，考虑对场量做一个无穷小变换：

$\varphi_a(x) \rightarrow \varphi_a(x) + i\epsilon \Delta\varphi_a(x)$

假设作用量在该变换下保持不变，那么拉氏量至多改变一个表面项：

$\mathcal{L}[\varphi] \rightarrow \mathcal{L}[\varphi] + \epsilon \partial_{\mu}\mathcal{J}^{\mu}$

如果 $\epsilon$ 是一个依赖于 $x$ 的量，那么拉氏量将改变为：

$\mathcal{L}[\varphi] \rightarrow \mathcal{L}[\varphi] + (\partial_{\mu}\epsilon)\Delta\varphi_a \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\mu}\varphi_a)} + \epsilon \partial_{\mu}\mathcal{J}^{\mu}$

上式中重复的指标 $a$ 代表求和。因此可以得到：

$\begin{aligned} \frac{\delta}{\delta \epsilon(x)}\int d^4x \mathcal{L}[\varphi + \epsilon \Delta \varphi] &= \partial_{\mu}\mathcal{J}^{\mu} - \Delta \varphi_a \partial_{\mu} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\mu}\varphi_a)}\\ &= -\partial_{\mu}j^{\mu}\\ \end{aligned}$

其中：

$j^{\mu} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\mu}\varphi_a)}\Delta \varphi_a - \mathcal{J}^{\mu}$

利用路径积分表述进行推导，得到相应的 Schwinger-Dyson 方程：

$\langle \partial_{\mu}j^{\mu}\varphi_a(x_1)\varphi_b(x_2)\rangle = (-i)\langle (\Delta \varphi_a(x_1)\delta(x-x_1)\varphi_b(x_2)) + (\varphi_a(x_1)(\varphi_b(x_2)\delta(x-x_2))\rangle$

Ward 等式

最后我们来考虑以下与 QED 的全局对称性相关的 Schwinger-Dyson 方程。考虑进行如下变换 $(U(1))$ ：

$\psi(x) \rightarrow (1+ie\alpha(x))\psi(x)$

对应的拉氏量成为：

$\mathcal{L} \rightarrow \mathcal{L} - e\partial_{\mu}\alpha\bar{\psi}\gamma^{\mu}\psi$

使用泛函积分计算两点关联函数，并进行类似推导，将得到对应的泛函积分将满足如下等式：

$\begin{aligned} 0 &= \int\mathcal{D}\bar{\psi}\mathcal{D}\psi \mathcal{D}A e^{i\int d^4x \mathcal{L}}\{-i\int d^4x \partial_{\mu}\alpha(x) [j^{\mu}(x)\psi(x_1)\bar{\psi}(x_2)]\\ &\quad + (ie\alpha(x_1)\psi(x_1))\bar{\psi}(x_2) + \psi(x_1)(-ie\alpha(x_2)\bar{\psi}(x_2)) \} \end{aligned}$

其中：

$j^{\mu} =e \bar{\psi}\gamma^{\mu}\psi$

通过除以 $Z$ ，并进行分部积分，可以把得到的结果写为：

$\begin{aligned} i\partial_{\mu}\langle 0|Tj^{\mu}(x)\psi(x_1)\bar{\psi}(x_2)|0\rangle &= -ie\delta(x-x_1)\langle 0|T\psi(x_1)\bar{\psi}(x_2)|0\rangle\\ &\quad + ie\delta(x-x_2)\langle 0|T\psi(x_1)\bar{\psi}(x_2)|0\rangle\\ \end{aligned}\tag{5}$