重整化微扰论

对于包含发散的图,我们为了得到有限的结果,将遵从以下步骤进行处理:

  1. 引入正规化方法,得到一个依赖于裸参数 m0,e0m_0,e_0 以及截断 Λ\Lambda 的值。

  2. 计算物理质量 mm 与物理电荷量 ee。若想要计算散射矩阵,还需要计算场强重整化常数 ZZ

  3. 将这些表达式结合起来,用 e,me,m 消去 e0,m0e_0,m_0,这个步骤被称为重整化。

得到表达式的振幅应当在 Λ\Lambda \rightarrow \infty 时取一个有限值。上述重整化的步骤在一个可重整化理论中总是有效的,尽管在处理某些高阶微扰论时可能会比较复杂。

标量场的重整化理论

ϕ4\phi^4 理论的重整化

下面以 ϕ4\phi^4 理论为例说明。其拉氏量为:

L=12(μϕ)212m02ϕ2λ04!ϕ4(1)\mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial_{\mu}\phi)^2 - \frac{1}{2}m_0^2 \phi^2 -\frac{\lambda_0}{4!}\phi^4 \tag{1}

其表观发散度为:

D=4N(2)D = 4- N \tag{2}

其中 NN 为外部线的数量。考虑到 ϕ4\phi^4 理论在 ϕϕ\phi \leftrightarrow -\phi 时具有不变性,因此所有具有奇数个外部线的散射振幅必定为零。那么表观发散的图为:

  • N=0N = 0

    对应真空,不可观测

  • N=2N = 2

    Λ2+p2logΛ+(finite terms)\sim \Lambda^2 + p^2\log \Lambda + (finite\ terms)

  • N=4N = 4

    logΛ+(finite terms)\sim \log \Lambda + (finite\ terms)

我们发散上述图将包含三个发散的常数。因此我们现在的想法是:将这些发散吸收到不可观测的裸质量、裸耦合常数与场强中去。

我们首先来考虑场强:

d4xΩTϕ(x)ϕ(0)ΩeipxiZp2m2\int d^4x \langle \Omega| T\phi(x)\phi(0)|\Omega\rangle e^{ip\cdot x} \sim \frac{iZ}{p^2-m^2}

我们可以令:

ϕ=Z1/2ϕr(3)\phi = Z^{1/2}\phi_r \tag{3}

如此拉氏量成为:

L=12Z(μϕr)212m02Zϕr2λ04!Z2ϕr4(4)\mathcal{L} = \frac{1}{2}Z(\partial_{\mu}\phi_r)^2 - \frac{1}{2}m_0^2 Z\phi_r^2 -\frac{\lambda_0}{4!}Z^2\phi_r^4 \tag{4}

通过定义:

δZ=Z1δm=m02Zm2δλ=λ0Z2λ(5)\begin{aligned} \delta_Z &= Z-1\\ \delta_m &= m_0^2Z-m^2\\ \delta_\lambda &= \lambda_0 Z^2-\lambda\\ \end{aligned}\tag{5}

我们可以消去裸耦合常数与裸质量。代入拉氏量得到:

L=12(μϕr)212m2ϕr2λ4!ϕr4+12δZ(μϕr)212δmϕr2δλ4!ϕr4(6)\begin{aligned} \mathcal{L} =& \frac{1}{2}(\partial_{\mu}\phi_r)^2 - \frac{1}{2}m^2\phi_r^2 - \frac{\lambda}{4!}\phi_r^4 \\ & + \frac{1}{2}\delta_Z (\partial_{\mu}\phi_r)^2-\frac{1}{2}\delta_m\phi_r^2 - \frac{\delta_\lambda}{4!}\phi_r^4\tag{6} \end{aligned}

上式子中前三项为将裸参数替换为物理参数的拉氏量,后面出现的三个含有 δ\delta 的项称为 counterterms

我们可以利用路径积分表述写出包含 counterterms 在内的 重整化 ϕ4\phi^4 理论的费曼规则:

其值为:

ip2m2+iϵ\frac{i}{p^2 - m^2+ i\epsilon}

其值为:

iλ-i\lambda

其值为:

i(p2δZδm)i(p^2\delta_Z -\delta_m)

其值为:

iδλ-i\delta_{\lambda}

当然,只有这些是不够的。在 (5)(5) 式中,我们引入了两个物理量:物理质量 mm 与耦合参数 λ\lambda,我们需要对它们下一个明确的定义:其中物理质量 mm 可以看作是传播子的极点;而耦合常数 λ\lambda 可以定义为零动量时的散射振幅。用费曼图表示为:

其值为:

ip2m2+(terms regular at p2=m2)\frac{i}{p^2-m^2} + (terms\ regular\ at\ p^2 = m^2)

其值为:

iλat s=4m2, t=u=0-i\lambda \quad at\ s = 4m^2,\ t=u=0

这就是 ϕ4\phi^4 理论的 重整化条件 renormalization condition

在微扰论计算中包含这些带有 counterterms 的费曼图,称为 重整化微扰论 renormalized perturbation theory

ϕ4\phi^4 重整化理论的一阶圈图计算

我们现在进行 ϕ4\phi^4 重整化微扰论的一阶圈图计算。

我们先来确定重整化条件。首先考虑如下散射振幅:

展开到一阶为:

一阶圈图分别对应于 ss-channel,tt-channel,uu-channel 三个图。再包含一个 counterterm。

考虑其中第二个图

其值为:

(iλ)22d4k(2π)4ik2m2i(k+p)2m2(iλ)2iV(p2)\begin{aligned} \frac{(-i\lambda)^2}{2}\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \frac{i}{k^2-m^2}\frac{i}{(k+p)^2-m^2} \equiv (-i\lambda)^2\cdot iV(p^2) \end{aligned}

其中对于 ss-channel,有 p2=sp^2 = s,对于 tt-channel 与 uu-channel 的图。不难得到,其值为:

(iλ)2iV(t)and(iλ)2iV(u)(-i\lambda)^2iV(t)\quad and\quad (-i\lambda)^2iV(u)

counterterm 的值为:

iδλ-i\delta_{\lambda}

因此,考虑所有一阶修正后,散射矩阵元成为:

iM=iλ+(iλ)2[iV(s)+iV(t)+iV(u)]iδλ(7)i\mathcal{M} = -i\lambda + (-i\lambda)^2[iV(s)+iV(t)+iV(u)] - i\delta_{\lambda} \tag{7}

根据重整化条件,我们要令在 s=4m2,t=u=0s=4m^2,t=u=0 时,上述式子的值为 iλ-i\lambda,即:

iλ+(iλ)2[iV(4m2)+iV(0)+iV(0)]iδλ=iλ-i\lambda + (-i\lambda)^2[iV(4m^2)+iV(0)+iV(0)] - i\delta_{\lambda}=-i\lambda

得到:

δλ=λ2[V(4m2)+2V(0)](8)\delta_{\lambda} = -\lambda^2[V(4m^2)+2V(0)] \tag{8}

利用维度正规化,我们可以得到 V(p2)V(p^2)

V(p2)=i2ddk(2π)dik2m2i(k+p)2m2=i201dxddk(2π)d1[k2+2xkp+xp2m2]2=l=k+xpi201dxddl(2π)d1[l2+x(1x)p2m2]2=lE0=il01201dxddlE(2π)d1[lE2x(1x)p2+m2]2=1201dx1(4π)d/2Γ(2d2)1(m2x(1x)p2)2d/2d4132π201dx(2ϵγ+log(4π)log[m2x(1x)p2])\begin{aligned} V(p^2) &= \frac{-i}{2}\int \frac{d^d k}{(2\pi)^d} \frac{i}{k^2-m^2}\frac{i}{(k+p)^2-m^2}\\ &= \frac{i}{2}\int_{0}^{1}dx \int \frac{d^d k}{(2\pi)^d} \frac{1}{[k^2 + 2xk\cdot p + xp^2-m^2]^2}\\ &\underset{l=k+xp}{=} \frac{i}{2}\int_{0}^{1}dx \int \frac{d^d l}{(2\pi)^d} \frac{1}{[l^2 + x(1-x)p^2-m^2]^2}\\ &\underset{l_E^0 = -il^0}{=} -\frac{1}{2}\int_{0}^{1}dx \int \frac{d^d l_E}{(2\pi)^d} \frac{1}{[l_E^2 - x(1-x)p^2+m^2]^2}\\ &= -\frac{1}{2}\int_{0}^{1}dx \frac{1}{(4\pi)^{d/2}}\Gamma(2-\frac{d}{2})\frac{1}{(m^2-x(1-x)p^2)^{2-d/2}}\\ & \underset{d\rightarrow 4}{\longrightarrow} -\frac{1}{32\pi^2}\int_{0}^{1}dx (\frac{2}{\epsilon} - \gamma + \log (4\pi) - \log [m^2-x(1-x)p^2])\\ \end{aligned}

因此耦合常数的 shift 为:

δλ=λ2[V(4m2)+2V(0)]=λ2201dxΓ(2d2)(4π)d/2[1(m2x(1x)4m2)2d/2+2(m2)2d/2]d4λ232π201dx(6ϵ3γ+3log4πlog[m2x(1x)4m2]2log[m2])\begin{aligned} \delta_{\lambda} &= -\lambda^2[V(4m^2)+2V(0)]\\ &= \frac{\lambda^2}{2}\int_{0}^{1}dx \frac{\Gamma(2-\frac{d}{2})}{(4\pi)^{d/2}}[\frac{1}{(m^2-x(1-x)4m^2)^{2-d/2}} + \frac{2}{(m^2)^{2-d/2}}]\\ & \underset{d\rightarrow 4}{\longrightarrow} \frac{\lambda^2}{32\pi^2}\int_{0}^{1}dx (\frac{6}{\epsilon} -3\gamma +3\log 4\pi - \log[m^2-x(1-x)4m^2] - 2\log[m^2])\\ \end{aligned}

d4d\rightarrow 4 时,上述结果是发散的,这没有关系,δλ\delta_{\lambda} 并不是一个可观测量。我们将 δλ\delta_{\lambda} 代回到 (7)(7) 式,将得到一个有限值:

iM=iλ+(iλ)2[iV(s)+iV(t)+iV(u)]iδλ=iλiλ232π201dx[log(m2x(1x)sm2x(1x)4m2)+log(m2x(1x)tm2)+log(m2x(1x)um2)]\begin{aligned} i\mathcal{M} &= -i\lambda + (-i\lambda)^2[iV(s)+iV(t)+iV(u)] - i\delta_{\lambda}\\ &= -i\lambda - \frac{i\lambda^2}{32\pi^2}\int_{0}^{1}dx[\log(\frac{m^2-x(1-x)s}{m^2-x(1-x)4m^2}) + \log(\frac{m^2-x(1-x)t}{m^2}) + \log(\frac{m^2-x(1-x)u}{m^2})]\\ \end{aligned}

现在我们再来根据重整化条件确定 δZ\delta_Zδm\delta_m

现在我们需要考虑两点关联函数。

定义所有不可约单粒子图的总和为 iM2(p2)-iM^2(p^2)

两点关联函数为:

其值为:

ip2m2M2(p2)\frac{i}{p^2 - m^2 - M^2(p^2)}

重整化条件要求上述传播子以 p=mp=m 为极点,且对应的留数为 11,这等价于以下条件:

M2(p2)p2=m2=0andddp2M2(p2)p2=m2=0(9)M^2(p^2)|_{p^2=m^2} = 0 \quad and\quad \frac{d}{dp^2}M^2(p^2)|_{p^2=m^2} = 0\tag{9}

计算到一阶图:

其值为:

iM2(p2)=iλ12ddk(2π)dik2m2+i(p2δZδm)=iλ21(4π)d/2Γ(1d2)(m2)1d/2+i(p2δZδm)\begin{aligned} -iM^2(p^2)& = -i\lambda\cdot\frac{1}{2}\cdot\int\frac{d^dk}{(2\pi)^d}\frac{i}{k^2-m^2} + i(p^2\delta_Z-\delta_m)\\ &= -\frac{i\lambda}{2} \frac{1}{(4\pi)^{d/2}}\frac{\Gamma(1-\frac{d}{2})}{(m^2)^{1-d/2}} + i(p^2\delta_Z-\delta_m)\\ \end{aligned}

考虑到上式第一项与 p2p^2 无关,因此只需要令:

δZ=0δm=λ2(4π)d/2Γ(1d2)(m2)1d/2(10)\delta_Z = 0\quad \delta_m = -\frac{\lambda}{2(4\pi)^{d/2}}\frac{\Gamma(1-\frac{d}{2})}{(m^2)^{1-d/2}}\tag{10}

就能满足重整化条件。对 M2(p2),δZM^2(p^2),\delta_Z 有非零贡献的来自于二阶图,这将在以后讨论。


一阶图对 δZ\delta_Z 的贡献为零仅仅是 ϕ4\phi^4 理论的特点,并不是一般的情况。例如对于 Yukawa 理论,有:

其值为:

iM2(p2)=(ig)2ddk(2π)dtr[i(k+p+mf)(k+p)2mf2i(k+mf)k2mf2]+i(p2δZδm)=4g2ddk(2π)d(k+p)k+mf2((k+p)2mf2)(k2mf2)+i(p2δZδm)\begin{aligned} -iM^2(p^2) &= -(-ig)^2\int \frac{d^dk}{(2\pi)^d}\mathrm{tr}[\frac{i(\cancel{k}+\cancel{p}+m_f)}{(k+p)^2-m_f^2}\frac{i(\cancel{k}+m_f)}{k^2-m_f^2}] + i(p^2\delta_Z - \delta_m)\\ &= -4g^2 \int \frac{d^dk}{(2\pi)^d} \frac{(k+p)\cdot k + m_f^2}{((k+p)^2-m_f^2)(k^2-m_f^2)} + i(p^2\delta_Z -\delta_m)\\ \end{aligned}

计算其中第一项:

4g2ddk(2π)d(k+p)k+mf2((k+p)2mf2)(k2mf2)=4g201dxddk(2π)d(k+p)k+mf2(k2+2xkp+xp2mf2)2=l=k+xp4g201dxddl(2π)d(l+(1x)p)(lxp)+mf2(l2+x(1x)p2mf2)2=4g201dxddl(2π)dl2x(1x)p2+mf2(l2+x(1x)p2mf2)2=4g201dxi(4π)d/2(d2Γ(1d2)Δ1d/2ΔΓ(2d2)Δ2d/2)=4ig2(d1)(4π)d/201dxΓ(1d2)Δ1d/2\begin{aligned} &-4g^2 \int \frac{d^dk}{(2\pi)^d} \frac{(k+p)\cdot k + m_f^2}{((k+p)^2-m_f^2)(k^2-m_f^2)}\\ =&-4g^2\int_{0}^{1}dx\int \frac{d^dk}{(2\pi)^d} \frac{(k+p)\cdot k + m_f^2}{(k^2 + 2xk\cdot p + xp^2 - m_f^2)^2}\\ \underset{l=k+xp}=&-4g^2\int_{0}^{1}dx\int \frac{d^dl}{(2\pi)^d} \frac{(l + (1-x)p)(l - xp) + m_f^2}{(l^2 + x(1-x)p^2 - m_f^2)^2}\\ =&-4g^2\int_{0}^{1}dx\int \frac{d^dl}{(2\pi)^d} \frac{l^2 -x(1-x)p^2 + m_f^2}{(l^2 + x(1-x)p^2 - m_f^2)^2}\\ =&-4g^2\int_{0}^{1}dx\frac{-i}{(4\pi)^{d/2}}(\frac{\frac{d}{2}\Gamma(1-\frac{d}{2})}{\Delta^{1-d/2}}-\frac{\Delta\Gamma(2-\frac{d}{2})}{\Delta^{2-d/2}})\\ =&\frac{4ig^2(d-1)}{(4\pi)^{d/2}}\int_{0}^{1}dx\frac{\Gamma(1-\frac{d}{2})}{\Delta^{1-d/2}}\\ \end{aligned}

其中 Δ=mf2x(1x)p2\Delta = m_f^2 - x(1-x)p^2

由重整化条件可以得到:

δm=4g2(d1)(4π)d/201dxΓ(1d2)[mf2x(1x)m2]1d/2+m2δZ\delta_m = \frac{4g^2(d-1)}{(4\pi)^{d/2}}\int_{0}^{1}dx \frac{\Gamma(1-\frac{d}{2})}{[m_f^2 - x(1-x)m^2]^{1-d/2}} + m^2\delta_Z

为了得到 δZ\delta_Z,我们要利用在 p2=m2p^2=m^2 处的导数为零的条件:

idM2(p2)dp2p2=m2=4ig2(d1)(4π)d/201dxx(1x)Γ(2d2)Δ2d/2+iδZ=0\begin{aligned} -i\frac{dM^2(p^2)}{dp^2}|_{p^2=m^2} &= \frac{4ig^2(d-1)}{(4\pi)^{d/2}}\int_{0}^{1}dx x(1-x)\frac{\Gamma(2-\frac{d}{2})}{\Delta^{2-d/2}} + i\delta_Z = 0 \end{aligned}

得到:

dM2(p2)dp2p2=m2=4g2(d1)(4π)d/201dxx(1x)Γ(2d2)(mf2x(1x)p2)2d/2d43g24π201dxx(1x)(2ϵγ23+log(4π)log(mf2x(1x)m2))\begin{aligned} \frac{dM^2(p^2)}{dp^2}|_{p^2=m^2} &= -\frac{4g^2(d-1)}{(4\pi)^{d/2}}\int_{0}^{1}dx \frac{x(1-x)\Gamma(2-\frac{d}{2})}{(m_f^2 - x(1-x)p^2)^{2-d/2}}\\ &\underset{d\rightarrow 4}{\longrightarrow} -\frac{3g^2}{4\pi^2}\int_{0}^{1}dxx(1-x)(\frac{2}{\epsilon} - \gamma - \frac{2}{3} + \log (4\pi) - \log(m_f^2-x(1-x)m^2)) \end{aligned}


QED 的重整化理论

QED 的重整化理论

现在讨论 QED 的重整化理论

QED 的拉氏量为:

L=14(Fμν)2+ψˉ(im0)ψe0ψˉγμψAμ(11)\mathcal{L} = -\frac{1}{4}(F_{\mu\nu})^2 + \bar{\psi}(i\cancel{\partial}-m_0)\psi - e_0\bar{\psi}\gamma^{\mu}\psi A_{\mu} \tag{11}

电子传播子为:

其值为:

iZ2pm\frac{iZ_2}{\cancel{p}-m}

光子传播子为:

其值为:

iZ3gμνq2\frac{-iZ_3g_{\mu\nu}}{q^2}

考虑到电子传播子与光子传播子的形式,为了将 Z2,Z3Z_2,Z_3 吸收进拉氏量,我们如下定义:

ψ=Z21/2ψrAμ=Z31/2Arμ\psi = Z_2^{1/2}\psi_r \quad A^{\mu} = Z_3^{1/2} A^{\mu}_r

如此拉氏量成为:

L=14Z3(Frμν)2+Z2ψˉr(im0)ψrZ2Z31/2e0ψˉrγμψrArμ(12)\mathcal{L} = -\frac{1}{4}Z_3(F^{\mu\nu}_r)^2 + Z_2\bar{\psi}_r(i\cancel{\partial}-m_0)\psi_r - Z_2Z_3^{1/2} e_0\bar{\psi}_r\gamma^{\mu}\psi_r A_{r\mu} \tag{12}

我们定义物理电荷量 ee 为在很远处测得的电荷量(q=0q=0),我们可以定义 Z1Z_1

e0Z2Z31/2=eZ1e_0Z_2Z_3^{1/2} = eZ_1

如此,这样 QED 顶点需要满足的重整化条件为,这正定义了物理电荷量:

Γμ(q=0)=γμ\Gamma^{\mu}(q=0) = \gamma^{\mu}

mm 为物理质量,通过引入如下 counterterms:

δm=Z2m0mδ1=Z11=e0eZ2Z31/21δ2=Z21δ3=Z31(13)\begin{aligned} &\delta_m = Z_2m_0-m\\ &\delta_1 = Z_1 - 1 = \frac{e_0}{e}Z_2Z_3^{1/2}-1\\ &\delta_2 = Z_2-1\\ &\delta_3 = Z_3-1\\ \end{aligned}\tag{13}

可以将拉氏量写为:

L=14(Frμν)2+ψˉr(im)ψreψˉrγμψrArμ14δ3(Frμν)2+ψˉr(iδ2δm)ψreδ1ψˉrγμψrArμ(14)\begin{aligned} \mathcal{L} &= -\frac{1}{4}(F^{\mu\nu}_r)^2 + \bar{\psi}_r(i\cancel{\partial}-m)\psi_r - e\bar{\psi}_r\gamma^{\mu}\psi_r A_{r\mu}\\ &\quad -\frac{1}{4}\delta_3(F^{\mu\nu}_r)^2 + \bar{\psi}_r(i\delta_2\cancel{\partial}-\delta_m)\psi_r - e\delta_1\bar{\psi}_r\gamma^{\mu}\psi_r A_{r\mu}\\ \end{aligned}\tag{14}

于是得到重整化 QED 的费曼规则:

其值为:

igμνq2+iϵ\frac{-ig_{\mu\nu}}{q^2+i\epsilon}

其值为:

ipm+iϵ\frac{i}{\cancel{p}-m+i\epsilon}

其值为:

ieγμ-ie\gamma^{\mu}

其值为:

i(gμνq2qμqν)δ3-i(g^{\mu\nu}q^2-q^{\mu}q^{\nu})\delta_3

其值为:

i(pδ3δm)i(\cancel{p}\delta_3-\delta_m)

其值为:

ieγμδ1-ie\gamma^{\mu}\delta_1

通过引入以下符号:

  1. 光子场强

其值为

iΠμν(q)=i(gμνq2qμqν)Π(q2)i\Pi^{\mu\nu}(q) = i(g^{\mu\nu}q^2-q^{\mu}q^{\nu})\Pi(q^2)

  1. 电子场强

其值为

iΣ(p)-i\Sigma(\cancel{p})

  1. 电子顶点

其值为

ieΓμ(p,p)-ie\Gamma^{\mu}(p',p)

可以将重整化条件写为:

Σ(p=m)=0ddpΣ(p=m)=0Π(q2=0)=0ieΓμ(pp=0)=ieγμ(15)\begin{aligned} \Sigma(\cancel{p}=m)=0\\ \frac{d}{d\cancel{p}}\Sigma(\cancel{p}=m)=0\\ \Pi(q^2=0) =0\\ -ie\Gamma^{\mu}(p'-p=0)= -ie\gamma^{\mu}\\ \end{aligned}\tag{15}

QED 重整化理论的一阶圈图计算

现在我们微扰论讨论到一阶。

先来看一阶的电子自能图

我们之前已经用 Pauli-Villars 正规化处理过了。现在我们不妨用维度正规化处理,得到结果为:

iΣ2(p)=ie2(4π)d/201dxΓ(2d2)((1x)m2+xμ2x(1x)p2)2d/2×((4ϵ)m(2ϵ)xp)\begin{aligned} -i\Sigma_2(p) &= -i\frac{e^2}{(4\pi)^{d/2}}\int_{0}^{1}dx\frac{\Gamma(2-\frac{d}{2})}{((1-x)m^2 + x\mu^2 - x(1-x)p^2)^{2-d/2}}\\ &\qquad \times ((4-\epsilon)m - (2-\epsilon)x\cancel{p}) \end{aligned}

因此重整化条件 (15)(15) 中第一式成为:

Σ(p=m)=Σ2(p=m)(mδ2δm)=0\Sigma(\cancel{p} = m) = \Sigma_2(\cancel{p} = m) - (m\delta_2 - \delta_m) = 0

得到:

mδ2δm=Σ2(p=m)=e2m(4π)d/201dxΓ(2d2)(42xϵ(1x))((1x)2m2+xμ2)2d/2(16)\begin{aligned} m\delta_2 - \delta_m &= \Sigma_2(\cancel{p} = m)\\ &= \frac{e^2m}{(4\pi)^{d/2}}\int_{0}^{1}dx\frac{\Gamma(2-\frac{d}{2})\cdot(4-2x-\epsilon(1-x))}{((1-x)^2m^2 + x\mu^2)^{2-d/2}}\\ \end{aligned}\tag{16}

重整化条件 (15)(15) 中第二式成为:

ddpΣ(p=m)=ddpΣ2(p=m)δ2=0\frac{d}{d\cancel{p}}\Sigma(\cancel{p}=m)=\frac{d}{d\cancel{p}}\Sigma_2(\cancel{p}=m) - \delta_2 = 0

得到:

δ2=ddpΣ2(p=m)=e2(4π)d/201dxΓ(2d2)((1x)2m2+xμ2)2d/2×[(2ϵ)xϵ22x(1x)m2(1x)2m2+xμ2(42xϵ(1x))](17)\begin{aligned} \delta_2 &= \frac{d}{d\cancel{p}}\Sigma_2(\cancel{p}=m)\\ &= -\frac{e^2}{(4\pi)^{d/2}}\int_{0}^{1}dx\frac{\Gamma(2-\frac{d}{2})}{((1-x)^2m^2 + x\mu^2)^{2-d/2}}\\ &\qquad \times [(2-\epsilon)x - \frac{\epsilon}{2} \frac{2x(1-x)m^2}{(1-x)^2m^2+x\mu^2}(4-2x-\epsilon(1-x))] \end{aligned}\tag{17}

再考虑一阶光子自能图:

其中:

Π2(q2)=e2(4π)d/201dxΓ(2d2)(m2x(1x)q2)2d/2(8x(1x))\Pi_2(q^2) = -\frac{e^2}{(4\pi)^{d/2}} \int_{0}^{1}dx \frac{\Gamma(2-\frac{d}{2})}{(m^2-x(1-x)q^2)^{2-d/2}}(8x(1-x))

重整化条件 (15)(15) 中第三式成为:

Π(q2=0)=Π2(q2=0)δ3=0\Pi(q^2=0) = \Pi_2(q^2=0) - \delta_3 = 0

得到:

δ3=Π2(q2=0)=e2(4π)d/201dxΓ(2d2)(m2)2d/2(8x(1x))(18)\begin{aligned} \delta_3 &= \Pi_2(q^2=0)\\ &= -\frac{e^2}{(4\pi)^{d/2}} \int_{0}^{1}dx \frac{\Gamma(2-\frac{d}{2})}{(m^2)^{2-d/2}}(8x(1-x)) \end{aligned}\tag{18}

再考虑一阶顶点修正:

我们需要计算形状因子 F1(q2)F_1(q^2)

δF1(q2)=e2(4π)d/2dxdydzδ(x+y+z1){Γ(2d2)Δ2d/2(2ϵ)22+Γ(3d2)Δ3d/2(q2[2(1x)(1y)ϵxy]+m2[2(14z+z2)ϵ(1z)2])}\begin{aligned} \delta F_1(q^2) &= \frac{e^2}{(4\pi)^{d/2}} \int dxdydz \delta(x+y+z-1) \{\frac{\Gamma(2-\frac{d}{2})}{\Delta^{2-d/2}}\frac{(2-\epsilon)^2}{2}\\ &\qquad + \frac{\Gamma(3-\frac{d}{2})}{\Delta^{3-d/2}}(q^2[2(1-x)(1-y)-\epsilon xy] + m^2[2(1-4z+z^2) - \epsilon(1-z)^2])\} \end{aligned}

其中 Δ=(1z)2m2+zμ2xyq2\Delta = (1-z)^2m^2 + z\mu^2 - xyq^2
重整化条件 (15)(15) 中第四式成为:

ieΓμ(pp=0)=ieγμF1(0)ieγμδ1=ieγμ\begin{aligned} -ie\Gamma^{\mu}(p'-p=0) &= -ie\gamma^{\mu}F_1(0) -ie\gamma^{\mu} \delta_1\\ &= -ie\gamma^{\mu}\\ \end{aligned}

得到:

δ1=δF1(0)=e2(4π)d/2dz(1z){Γ(2d2)((1z)2m2+zμ2)2d/2(2ϵ)22+Γ(3d2)((1z)2m2+zμ2)3d/2[2(14z+z2)ϵ(1z)2]m2}(19)\begin{aligned} \delta_1 &= -\delta F_1(0)\\ &= \frac{e^2}{(4\pi)^{d/2}} \int dz(1-z) \{\frac{\Gamma(2-\frac{d}{2})}{((1-z)^2m^2 + z\mu^2)^{2-d/2}}\frac{(2-\epsilon)^2}{2}\\ &\qquad + \frac{\Gamma(3-\frac{d}{2})}{((1-z)^2m^2 + z\mu^2)^{3-d/2}}[2(1-4z+z^2) - \epsilon(1-z)^2]m^2\}\\ \end{aligned}\tag{19}

通过分部积分,可以得到 δ1=δ2\delta_1 = \delta_2,这意味着 Z1=Z2Z_1 = Z_2α\alpha 阶时成立。在以前的讨论中,我们使用 Ward 等式说明了 Z1=Z2Z_1 = Z_2α\alpha 阶时成立。那么是否 Z1=Z2Z_1 = Z_2 在任意阶均成立呢?我们现在来说明这个问题。
重新写出 QED 的拉氏量:

L=14(Frμν)2+ψˉr(im)ψreψˉrγμψrArμ14δ3(Frμν)2+ψˉr(iδ2δm)ψreδ1ψˉrγμψrArμ(14)\begin{aligned} \mathcal{L} &= -\frac{1}{4}(F^{\mu\nu}_r)^2 + \bar{\psi}_r(i\cancel{\partial}-m)\psi_r - e\bar{\psi}_r\gamma^{\mu}\psi_r A_{r\mu}\\ &\quad -\frac{1}{4}\delta_3(F^{\mu\nu}_r)^2 + \bar{\psi}_r(i\delta_2\cancel{\partial}-\delta_m)\psi_r - e\delta_1\bar{\psi}_r\gamma^{\mu}\psi_r A_{r\mu}\\ \end{aligned}\tag{14}

如果我们令所有 counterterms 都等于零,剩下的部分将具有规范对称性,我们现在采用一种保持规范不变的正规化方式(例如维度正规化),这意味着 Ward 等式对于不含有 counterterms 的费曼图仍成立。这将意味着:δF1(0)=dΣ2/dpm\delta F_1(0) = -d\Sigma_2/d\cancel{p}|_m,根据重整化条件,δ1=δ2\delta_1 = \delta_2 应当成立。我们可以进行归纳讨论:如果 δ1,δ2\delta_1,\delta_2αn\alpha^n 阶时相等,这意味着未重整化的顶点函数在 q2=0q^2 = 0 的值将等于 αn+1\alpha^{n+1} 阶电子自能图的导数,加上 counterterms 后,考虑重整化条件,我们需要令 δ1,δ2\delta_1,\delta_2αn+1\alpha^{n+1} 阶时相等,因此:Z1=Z2Z_1=Z_2 将在任意阶成立。

这样有:

e=Z2Z1Z21/2e0=Z3e0e = \frac{Z_2}{Z_1}Z_2^{1/2}e_0 = \sqrt{Z_3}e_0

这正是之前所讨论的电荷重整化。

Z1=Z2Z_1 = Z_2 的严格成立是有深刻意义的,比如它保证了对应不同带电轻子,将给出数值相同的电荷量。例如对于 μ\mu 子:

e=Z2Z1Z21/2e0=Z21/2e0e = \frac{Z_2'}{Z_1'}Z_2^{1/2}e_0 = Z_2^{1/2}e_0

其中 Z1,Z2Z_1',Z_2' 依赖于 μ\mu 子质量。