张量

多重线性映射

回想单重线性映射:线性空间 XX 上的线性映射就是 XX^* 中的向量,即这些线性映射也构成一个线性空间。现在考虑双线性映射以及多重线性映射,这些映射是否也构成一个线性空间呢?

双线性映射 (bilinear mapping)
X,YX, YZZ 为域 K\mathbb{K} 上的三个线性空间。若映射 f:X×YZf : X ×Y \rightarrow Z 满足:

x1,x2,xX, y1,y2,yY, λ1,λ2Kf(λ1x1+λ2x2,y)=λ1f(x1,y)+λ2f(x2,y)f(x,λ1y1+λ2y2)=λ1f(x,y1)+λ2f(x,y2)\begin{aligned} & \forall x_1,x_2,x \in X,\ \forall y_1,y_2,y \in Y,\ \forall \lambda_1,\lambda_2 \in \mathbb{K}\\ &f(\lambda_1x_1 + \lambda_2x_2,y) = \lambda_1f(x_1,y) + \lambda_2f(x_2,y)\\ &f(x,\lambda_1y_1 + \lambda_2y_2) = \lambda_1f(x,y_1) + \lambda_2f(x,y_2)\\ \end{aligned}

则称 ff 是一个由 X×YX\times YZZ 的双线性映射。

双线性映射 ff 对于 XXYY 中的元素分别是线性的。所有这样的双线性映射形成的集合可以表示为 L(2)(X,Y;Z)\mathscr{L}^{(2)}(X,Y;Z)

多重线性映射 (multilinear linear)
类似于双线性映射,可以定义如下的 rr-重线性映射:

f:X1×X2××XrZf : X_1\times X_2 \times\cdots \times X_r \rightarrow Z

其中 Xi(i=1,,r)X_i(i = 1,\cdots,r)rr 个线性空间。ff 对于每一个 XiX_i 中的元素都是线性的。同样,所有的 rr-重线性映射的集合可以表示为:

L(r)(X1,,Xr;Z)\mathscr{L}^{(r)} (X_1,··· ,X_r;Z)

类似于通常的(单重)线性映射的空间 L(1)(X;Z)\mathscr{L}^{(1)}(X;Z),我们可以在 L(r)(X1,,Xr;Z)\mathscr{L}^{(r)} (X_1,··· ,X_r;Z) 中引入线性结构:

(f+g)(x1,,xr)=f(x1,,xr)+g(x1,,xr)(λf)(x1,,xr)=λf(x1,,xr)\begin{aligned} &(f + g)(x_1,··· ,x_r) = f(x_1,··· ,x_r) + g(x_1,··· ,x_r)\\ &(\lambda f)(x_1,··· ,x_r) = \lambda f(x_1,··· ,x_r)\\ \end{aligned}

使得 L(r)(X1,,Xr;Z)\mathscr{L}^{(r)} (X_1,··· ,X_r;Z) 成为一个线性空间。

之后提到的张量在本质上就是一个多重线性映射。

张量积

线性空间的张量积

X,Y,WX, Y , W 是数域 K\mathbb{K} 上的三个线性空间。μ:X×YW\mu : X × Y \rightarrow W 是一个双线性映射。若对任意的 K\mathbb{ K} 上的线性空间 ZZ 和任意的双线性映射 ff,都存在唯一的线性映射 g:WZg : W \rightarrow Z 使得:

f=gμf = g \circ \mu

那么 WW 就称为是 XXYY张量积 ,其中 μ\mu 称为张量积映射。它把两个线性空间的卡氏积变成它们的张量积。

定理:张量积的存在性和唯一性
X,YX, Y 是数域 K\mathbb{K} 上的两个线性空间。则它们的张量积存在,而且在同构的意义下是唯一的。

接下来我们来构造 线性函数的“张量积”,并且这个张量积空间在同构意义下是唯一的:
xX,yYx^* \in X ^*, y^*\in Y^* 分别是 XXYY 上的线性函数,我们可以定义它们的 张量积,记为 xyx^* \otimes y^*,其定义如下:

(xy)(x,y)=x,xy,y=x(x)y(y),xX, yY(x ^* \otimes y^* )(x',y' ) = ⟨x' ,x ^* ⟩⟨y',y^* ⟩=x^* (x') y^*(y'),\quad \forall x' \in X,\ \forall y' \in Y

其中 x,x\langle x',x^*\rangle配合,将线性空间 XX 与其对偶空间 XX^* 放在对等的地位:

x,x=x(x)=x(x)⟨x' ,x ^* ⟩ = x'(x^*) = x^*(x')

可以看出 xyx^ * \otimes y^ *X×YX \times Y 上的双线性函数(由定义容易证明)。即我们有:

xyL(2)(X,Y;K)x ^* \otimes y^ * \in \mathscr{L}^{(2)} (X,Y ;\mathbb{K})

可以很好类比得到 对偶空间的张量积XYX^ * \otimes Y^* 是由所有形如 xyx ^* \otimes y^ * 的元素张成(线性组合)的线性空间。

注意并非所有 XYX^* \otimes Y^* 中的元素可以写为 xyx^* \otimes y^* 的形式(如量子力学中的纠缠态)。

这个空间中元素的一般形式为:

CiαeihαC_{i\alpha } e^{*i} \otimes h^ {*\alpha }

其中 {ei,i=1,,n}\{e ^{*i} ,i = 1,··· ,n\}{hα,α=1,,m}\{h^{*\alpha } ,\alpha = 1,··· ,m\} 分别是 XX^*YY^* 中的基(即 XXYY 的基底 {ei}\{e_i \}{hα}\{h_\alpha \} 的对偶基)。

若系数 CiαC_{i\alpha } 可写成 Ciα=aibαC_{i\alpha } = a_i b_\alpha 的形式,则该元素可写成 xyx^* \otimes y^* 的形式,我们称其为 可分解的

由于 {eihα,i=1,,n,α=1,,m}\{e^{*i} \otimes h^{*\alpha }, i = 1,···,n,\alpha = 1,···,m\} 是线性独立的,不难得到它们是完备的,构成 XYX^* \otimes Y^* 的一组基底。故有:

dim(XY)=nm\dim(X^* \otimes Y^* ) = nm

定理
X,YX,Y 是两个线性空间,则:

XY=L(2)(X,Y;K)X^* \otimes Y^* = \mathscr{L}^{(2)}(X,Y;\mathbb{K})

XYX^* \otimes Y^* 中的元素均为双重线性映射可知。

考虑到 XXXX^* 互为对偶,因此可以定义 XXYY 的张量积并有:

XY=L(2)(X,Y;K)X \otimes Y = \mathscr{L}^{(2)}(X^*,Y^*;\mathbb{K})

可以得到 XYX\otimes YXYX^*\otimes Y^* 是互为对偶的。

容易看出张量积 \otimes 对其左右两个因子都是线性的。因此它定义了一个双线性映射,即 张量积映射

μ:X×YL(2)(X,Y;K)(x,y)xy\begin{aligned} \mu : &X \times Y \rightarrow \mathscr{L}^{(2)} (X^* ,Y^ * ;\mathbb{K})\\ & (x,y) \mapsto x \otimes y\\ \end{aligned}

以上我们首先定义了线性空间的张量积,并且指出其在同构意义下是唯一的。由此我们通过线性函数的张量积来构造张量积空间。以下,我们拓展到多重线性函数的情况。


多重线性函数的张量积

xxyy 分别是 rr-重线性函数和 ss-重线性函数,即:

xL(r)(X1,,Xr;K)yL(s)(Y1,,Ys;K)\begin{aligned} &x\in\mathscr{L}^{(r)}(X_ 1 ,··· ,X_r ;\mathbb{K})\\ &y\in\mathscr{L}^{(s)}(Y_1 ,··· ,Y_s ;\mathbb{K})\\ \end{aligned}

它们的张量积定义为:

xy(u1,,ur;v1,,vs)=x(u1,,ur)y(v1,,vs)uiXi, i=1,,rvjYj, j=1,,s\begin{aligned} &x\otimes y(u_1 ,··· ,u_r ;v_1 ,··· ,v_s ) = x(u_1 ,··· ,u_r ) y(v_1 ,··· ,v_s )\\ &\quad \forall u_i \in X_i ,\ i = 1,···,r \quad \forall v_j \in Y_j ,\ j = 1,···,s\\ \end{aligned}

多重线性函数的张量积仍是一个多重线性函数,即 xyx \otimes y 是一个 (r+s)(r + s)-重线性函数:

xy:X1××Xr×Y1×YsKx \otimes y : X_1 × ··· × X_r × Y_1 × ···Y_s \rightarrow \mathbb{K}

多重线性函数的张量积满足 结合律,即:

(xy)z=x(yz)(x \otimes y) \otimes z = x \otimes (y \otimes z)

其中 xxyyzz 是三个多重线性函数。我们可以无歧义的将三个多重线性函数的张量积写为:

xyzx\otimes y\otimes z

同理,我们也可以定义任意有限个线性空间的张量积。

张量

我们通常遇到的线性空间的张量积为如下形式:

Xsr=XXrXXsX_s^r=\underbrace{X \otimes ··· \otimes X}_{r}\otimes\underbrace{X^* \otimes ··· \otimes X^* } _ {s}

rrXXssXX^* 作张量积,其中 XX^*XX 的对偶空间。

注意:这里为了书写简单我们将 XsrX_s^r 中的 XXXX^* 放在一起了,实际情况它们的顺序并不固定。由于书写方法的限制当然会出现一些问题,如 X12X_{1}^{2} 可以表示:

XXXXXXXXXX\otimes X \otimes X^*\quad X\otimes X^* \otimes X\quad X^*\otimes X \otimes X

线性空间 XsrX^r_s 的元素,称为 (r,s)(r,s)-型张量rr 称为张量的 逆变阶数ss 称为 协变阶数

一些特殊情况

X00=KX01=XX10=XX0r=XXrXs0=XXs\begin{aligned} &X_0^0=\mathbb{K}\\ &X_0^1=X\\ &X^0_1=X^* \\ &X_0^r=\underbrace{X\otimes\cdots\otimes X}_{r}\\ &X_s^0=\underbrace{X^* \otimes\cdots\otimes X^* }_{s}\\ \end{aligned}

张量空间 XsrX_{s}^{r} 的维数为:

dim(Xsr)=(dim(X))r+s\dim (X_{s}^{r}) = (\dim(X))^{r+s}

张量实质上是一种 特殊 的多重线性函数,相应构成的张量空间可以写为:

Xsr=L(r+s)(X,,Xr,X,,Xs;K)=L(1)(XXrXXs;K)\begin{aligned} X_s^r&=\mathscr{L}^{(r+s)}(\underbrace{X^*,\cdots,X^* }_{r},\underbrace{X,\cdots, X}_{s};\mathbb{K})\\ &=\mathscr{L}^{(1)}(\underbrace{X^* \otimes\cdots\otimes X^* }_{r}\otimes\underbrace{X\otimes\cdots\otimes X}_{s};\mathbb{K})\\ \end{aligned}

对于张量,我们也具有多种角度进行观察。例如,张量 X11=L(2)(X,X;K)X_{1}^{1}=\mathscr{L}^{(2)}(X,X^*;\mathbb{K}) 有三种看法:

  • X×XKX\times X^*\rightarrow\mathbb{K} 的双线性函数 L(2)(,;K)\mathscr{L}^{(2)}(\cdot,\cdot;\mathbb{K})
  • XXX\rightarrow X^* 的线性函数 L(2)(,X;K)\mathscr{L}^{(2)}(\cdot,X^*;\mathbb{K})
  • XXX^* \rightarrow X 的线性函数 L(2)(X,;K)\mathscr{L}^{(2)}(X,\cdot;\mathbb{K})

张量在基底下的表示

xXsrx \in X^r_s,则我们可以将其表示为:

x=xj1jsi1irei1eirej1ejsx = x^{i_1 ···i_r}_{\qquad j_1 ···j_s} e_{i_1} \otimes\cdots \otimes e_{i_r} \otimes e^{*j_1} \otimes \cdots \otimes e^{*j_s}

其中

xj1jsi1irKx^{i_1 ···i_r}_{\qquad j_1 ···j_s} \in\mathbb{K}

称为张量 xx 在基底

{ei1eirej1ejs}\{e_{i_1} \otimes \cdots\otimes e_{i_r} \otimes e^{*j_1} \otimes \cdots\otimes e^{*j_s}\}

下的系数。

考虑 XX 中基的变换:

eie~i=Ai  keke_i \rightarrow \tilde{e}_i = A^{\ \ k}_ie_k

则对偶基的变换为:

eie~i=(A1)k  ieke^{* i} \rightarrow \tilde{e}^{* i} = (A^{-1})^{\ \ i}_ke^{* k}

系数 xj1jsi1irx^{i_1 ···i_r}_{\qquad j_1 ···j_s} 的变换法则为:

xj1jsi1ir=x~l1lsk1krAk1  i1Akr  ir(A1)j1  l1(A1)jr  lrx^{i_1 ···i_r}_{\qquad j_1 ···j_s}=\tilde{x}^{k_1 ···k_r}_{\qquad l_1 ···l_s}A_{k_1}^{\ \ i_1}\cdots A_{k_r}^{\ \ i_r}(A^{-1}) _ {j_1}^{\ \ l_1}\cdots (A^{-1}) _ {j_r}^{\ \ l_r}

注意张量并不依赖于基底,在基的变换下不变。

张量的缩并

缩并 (contraction) 是一个将 (r,s)(r,s)-型张量变成一个 (r1,s1)(r - 1,s - 1)-型张量的映射,即:

C:XsrXs1r1C : X^r_s\rightarrow X^{r-1}_{s-1}

1ls,1ms1\leqslant l\leqslant s, 1\leqslant m \leqslant s,张量 xXsrx\in X^r_s,那么 C(x)Xs1r1C(x)\in X^{r-1}_{s-1},对应的缩并运算定义为:

Cl  m(x)(f1,,fr1,u1,,us1)=δi  jx(f1,,fm1,ei,fmfr1,u1,,ul1,ej,ul,us1)\begin{aligned} &C_l^{\ \ m} (x)(f^1 ,··· ,f^{r-1} ,u_1 ,··· ,u_{s-1} )\\=& \delta_i^{\ \ j} x(f ^1 ,··· ,f^{m-1} ,e^{*i} ,f^m ···f^{r-1},u_1 ,··· ,u_{l-1},e_j ,u_l ,···u_{s-1}) \end{aligned}

其中

fiX,i=1,,r1;ujX,j=1,,s1f^i \in X^* ,i = 1,··· ,r - 1; u_j \in X ,j = 1,··· ,s - 1

用分量表示为:

δi  jx(f1,,fm1,ei,fmfr1,u1,,ul1,ej,ul,us1)=x  j1jl1tjljs1i1im1kimir1δi  j[ei1eim1ekemeir1ej1ejl1etejlejs1(f1,,fm1,ei,fmfr1,u1,,ul1,ej,ul,us1)]=x  j1jl1tjljs1i1im1kimir1[ei1eir1ej1ejs1(f1,,fr1,u1,,us1)]δi  jek,eiej,et=x  j1jl1jjljs1i1im1iimir1δi  j[ei1eir1ej1ejs1(f1,,fr1,u1,,us1)]\begin{aligned} &\delta_i^{\ \ j} x(f ^1 ,··· ,f^{m-1} ,e^{*i} ,f^m ···f^{r-1},u_1 ,··· ,u_{l-1},e_j ,u_l ,···u_{s-1}) \\ =& x^{i_1\cdots i_{m-1}ki_{m}\cdots i_{r-1}}_{\qquad\qquad\quad\ \ j_1\cdots j_{l-1}tj_l\cdots j_{s-1}} \delta_i^{\ \ j} [ e_{i_1}\otimes \cdots \otimes e_{i_{m-1}}\otimes e_{k} \otimes e_{m} \otimes \cdots \otimes e_{i_{r-1}}\\ &\otimes e^{*j_1}\otimes \cdots \otimes e^{*j_{l-1}}\otimes e^{*t}\otimes e^{*j_{l}}\otimes \cdots \otimes e^{*j_{s-1}}\\ &(f ^1 ,··· ,f^{m-1} ,e^{*i} ,f^m ···f^{r-1},u_1 ,··· ,u_{l-1},e_j ,u_l ,···u_{s-1})]\\ =&x^{i_1\cdots i_{m-1}ki_{m}\cdots i_{r-1}}_{\qquad\qquad\quad\ \ j_1\cdots j_{l-1}tj_l\cdots j_{s-1}} [ e_{i_1}\otimes\cdots \otimes e_{i_{r-1}}\otimes e^{*j_1}\otimes \cdots \otimes e^{*j_{s-1}}\\ &(f^1,\cdots,f^{r-1},u_1,\cdots,u_{s-1})]\delta_i^{\ \ j}\langle e_k,e^{*i}\rangle\langle e_j,e^{*t}\rangle\\ =&x^{i_1\cdots i_{m-1}ii_{m}\cdots i_{r-1}}_{\qquad\qquad\quad\ \ j_1\cdots j_{l-1}jj_l\cdots j_{s-1}} \delta_{i}^{\ \ j} [ e_{i_1}\otimes\cdots \otimes e_{i_{r-1}}\otimes e^{*j_1}\otimes \cdots \otimes e^{*j_{s-1}}\\ &(f^1,\cdots,f^{r-1},u_1,\cdots,u_{s-1})]\\ \end{aligned}

因此做缩并运算后的分量可以表示为:

(Clm(x))   j1js1i1ir1=δi  jx  j1jl1jjljs1i1im1iimir1(C^m_l(x))^{i_1\cdots i_{r-1}}_{\qquad\ \ \ j_1\cdots j_{s-1}} = \delta_{i}^{\ \ j}x^{i_1\cdots i_{m-1}ii_{m}\cdots i_{r-1}}_{\qquad\qquad\quad\ \ j_1\cdots j_{l-1}jj_l\cdots j_{s-1}}


对于 (1,1)(1,1) 型张量:x=x  jieiejx = x^{i}_{\ \ j}e_i\otimes e^{*j},缩并为:

C1  1(x)=x  iiC_{1}^{\ \ 1}(x) = x^{i}_{\ \ i}

抽象指标

张量的抽象指标表示是一种在张量上附加指标的一种表示。

例如:对前面的 (r,s)(r,s)-型张量 xx,我们可以将其表示为:

xb1bsa1arx^{a_1 \cdots a_r}_{\qquad b_1 \cdots b_s}

指标反映出张量的类型,但并不要求选取某个基底。它不代表 xx 在某个基底下的分量。

例如: 张量类型 x    cdab     ex^{ab\ \ \ \ \ e}_{\ \ \ \ cd},它是一个多重线性映射:

x:X×X×X×X×XKx : X ^* × X ^* × X × X × X ^* \rightarrow \mathbb{K}

需要指出的是:指标反映类型即可,但在张量的运算或方程中,我们需要考虑到 指标的平衡

我们将上下同时出现的求和指标称为 哑标,哑标符号的选取是任意的。对于非哑标,要求指标平衡,这体现在:

  • 等式左右出现的指标相同
  • 相同指标的类型相同(上下位置相同)

利用抽象指标,一些张量运算可以很容易的表示。

  • 张量积的抽象指标
    两个张量的张量积 xyx \otimes y 可表示为

xb1bsa1ary bs+1bs+qar+1ar+px^{a_1 \cdots a_r}_{\qquad b_1 \cdots b_s}\otimes y^{a_{r+1} \cdots a_{r+p}}_{\qquad\quad\ b_{s+1} \cdots b_{s+q}}

或者将张量积符号省去为:

xb1bsa1ary bs+1bs+qar+1ar+px^{a_1 \cdots a_r}_{\qquad b_1 \cdots b_s} y^{a_{r+1} \cdots a_{r+p}}_{\qquad\quad\ b_{s+1} \cdots b_{s+q}}

指标反映张量积的可交换性。通常来说 xyyxx \otimes y\neq y \otimes x。在抽象指标表示下,xyx \otimes y 的交换性体现在指标是否可交换上。

  • 基底的抽象指标形式
    {ei}\{e_i \}XX 的一组基,{ei}\{e^{*i} \} 为对偶基。则 eie_i 是逆变矢量,eie^{*i} 是协变矢量。用抽象指标形式表示为:

(ei)a,(ei)a(e_i)^a , (e^{*i})_ a

  • 缩并操作
    重复的上下指标表示对这两个指标求缩并:

(Clm(x))b1bl1blbs1a1am1amar1=x b1bl1ablbs1a1am1aamar1\begin{aligned} &(C^m_l(x) ) ^{a_1 \cdots a_{m-1} a_{m} \cdots a_{r-1}} _ {\qquad \qquad\qquad b_1 \cdots b_{l-1} b_l \cdots b_{ s-1}}\\ &\quad =x^{a_1 \cdots a_{m-1} aa_{m} \cdots a_{r-1}} _ {\qquad \qquad\qquad\ b_1 \cdots b_{l-1} ab_l \cdots b_{ s-1}} \end{aligned}

一个张量对矢量或对偶矢量的作用等价于它们做完 张量积 后再做 缩并运算。


我们来介绍一个特殊的张量。在选取基底后,它可以表示为:

δ=δ  jieiej\delta = \delta^{i}_{\ \ j}e_i \otimes e^{*j}

它表示 XXXX 的恒等线性映射(变换)。用抽象指标可表示为:

δ  ba=δ  ji(ei)a(ej)b\delta^a_{\ \ b} = \delta^{i}_{\ \ j}(e_i)^a(e^{*j})_b

具有如下性质:

δ  baub=ua\delta^a_{\ \ b}u^b = u^a

因此 δ  ba\delta^a_{\ \ b} 的一个作用是替换张量指标。