上一篇中我们提到了流形上的一些概念,我们先简单回顾一下:

对于一个流形上的点 pp,给定一个坐标卡 (U,φ)(U,\varphi),其中 φ\varphi 是一个从坐标域 UURn\mathbb{R}^n 中某个开集的同胚:

φ:URn\varphi: U\rightarrow \mathbb{R}^n

它将流形上的点 pp 映成欧氏空间 Rn\mathbb{R}^n 中的点 φ(p)\varphi(p),那么在欧氏空间中 φ(p)\varphi(p) 可以用一组数表示:

(x1(p),,xn(p))(x^1 (p),\cdots ,x^ n (p))

这称为点 pp 在坐标卡 (U,φ)(U,\varphi) 的坐标,xix^i 称为坐标函数:

xi:RnRuxi(u)=(u)i, uRn\begin{aligned} &x^i : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\\ &u \mapsto x^i (u) = (u)^i ,\ \forall u \in \mathbb{R}^n \end{aligned}

对于流形上的点 pp,其在坐标卡 (U,φ)(U,\varphi) 的坐标(第 ii 个分量)为:

(φ(p))i=xi(φ(p))=xiφ(p)=xφi(p)\begin{aligned} (\varphi(p))^i = x^i(\varphi(p)) = x^i\circ\varphi(p) = x^i_{\varphi}(p)\\ \end{aligned}

流形上的曲线是如下映射:

c:IRXc: I\subset\mathbb{R} \rightarrow X

XX 的坐标卡 (U,φ)(U,\varphi) 下,该曲线可表示为:

xi=(φ  c(t))i,i=1,,nx ^ i = (\varphi \ \circ\ c(t))^ i ,\quad i = 1,\cdots ,n

我们也常将上面的表达式简写为:

xi=ci(t) or xi=xi(t)x^i = c^i(t) \ or\ x^i = x^i(t)


有了微分结构之后,我们可以在流形上构造出非常有用的一些几何对象。例如:所谓的切矢量、切空间、张量等等。但我们考虑到:

  • 一般的微分流形不具备线性空间这样的代数结构。因此,给定一个一般的微分流形后,我们不可能像欧氏空间那样定义一个矢量。
  • 欧几里德空间中曲线和曲面的切矢量,可以通过将一个微分流形嵌入高维的欧氏空间来定义切矢量。但这种定义依赖于微分流形的非内禀结构(需要将流形嵌入到一个高维的流形,如嵌入到高维的欧几里德空间)。例如一个对于一个二维流形,我们总可以将其嵌入到三维欧氏空间中,并定义相应的切矢量:

由此,我们希望有一个更为自然的关于切矢量的定义。

切空间

我们已经定义了流形上的可微函数形成的环 F(X)\mathscr{F}(X),而且 F(X)\mathscr{F}(X) 具有自然的 R\mathbb{R} 上的线性空间结构。流形上任意一点上的切矢量和切空间的定义与 F(X)\mathscr{F}(X) 密切相关。

于是我们定义:流形 XXpp 点的一个 切矢量 (tangent vector) vpv_pF(X)\mathscr{F}(X) 上的线性函数

vp(λ1f1+λ2f2)=λ1vp(f1)+λ2vp(f2) λ1,λ2R, f1,f2F(X)\begin{aligned} &v_p(\lambda_1f_1 + \lambda_2f_2) = \lambda_1v_p(f_1) + \lambda_2v_p(f_2)\\ &\forall\ \lambda_1,\lambda_2\in \mathbb{R},\quad \forall\ f_1,f_2\in\mathscr{F}(X) \end{aligned}

且满足 莱布尼茨法则 (Leibniz rule):

vp(f1f2)=vp(f1)f2+f1vp(f2)v_p (f_ 1 f_ 2 ) = v_ p (f_ 1 )f_ 2 + f_ 1 v_ p (f_ 2 )

满足莱布尼茨法则的线性函数是一种 导数算子 (derivative operator)vp(f)v_p (f) 可以理解为 fF(X)f \in \mathscr{F}(X) 沿着 vpv_ p 的方向导数。

通常我们将 pp 点所有切矢量的集合记为 TpXT_p X。容易在 TpXT_p X 定义加法和数乘使 TpXT_p X 形成一个线性空间,称为 切空间 (tangent space)

曲线的切矢量
c:(ϵ,ϵ)Xc : (-\epsilon,\epsilon) \rightarrow X 为流形 XX 上过 pp 点的一条曲线,其中 c(0)=pc(0) = p。则这条曲线给出一个映射:

vp:F(X)Rv_p:\mathscr{F}(X) \rightarrow \mathbb{R}

定义为:

vp(f)=d(fc(t))dtt=0, fF(X)v_p(f)=\frac{d(f\circ c(t))}{dt}|_ {t=0},\ \forall f\in \mathscr{F}(X)

因为复合函数

fc:(ϵ,ϵ)Rf\circ c:(-\epsilon,\epsilon) \rightarrow \mathbb{R}

是在 t=0t=0 处的光滑函数,故求微商是有意义的。不难得到此处定义的 vpv_p 满足前面切矢量的定义,因此它是流形 XXpp 点的一个切矢量,称为曲线 c(t)c(t)pp 点的切矢量。

现在我们考虑选取一系列特殊的曲线。设 p0Xp_0\in X 是流形上的任意一点,(U,φ)(U,\varphi) 是包含 p0p_0 的坐标卡,现在我们考虑过 p0p_0 点的坐标曲线:

cj:(ϵ,ϵ)X,j=1,,nc_j: (-\epsilon,\epsilon)\rightarrow X, j=1,\cdots,n

定义为:

xi(cj(t))=xi(p0)+tδjix^i(c_j(t)) = x^i(p_0) + t\delta^i_j

其中 c(0)=p0c(0)=p_0。我们记曲线 cj(t)c_j(t)p0p_0 点的切矢量为 eje_j,则按照曲线切矢量的定义,我们有:

ej(f)=d(fcj(t))dtt=0=ddt(fφ1φcj(t))t=0=ddt(fφ1(φcj(t)))t=0=(fφ1)xk(φcj(t))dxk(cj(t))dtt=0=(fφ1)xkφ(p0)δjk=(fφ1)xjφ(p0)\begin{aligned} e_j(f) &= \frac{d(f\circ c_j(t))}{dt}|_{t=0}\\ &= \frac{d}{dt}(f\circ \varphi^{-1}\circ \varphi \circ c_j(t))|_{t=0}\\ &= \frac{d}{dt}(f\circ \varphi^{-1}(\varphi \circ c_j(t)))|_{t=0}\\ &= \frac{\partial(f\circ \varphi^{-1})}{\partial x^k}(\varphi\cdot c_j(t))\cdot \frac{dx^k(c_j(t))}{dt}|_{t=0}\\ &= \frac{\partial(f\circ \varphi^{-1})}{\partial x^k}|_{\varphi(p_0)}\delta^k_j\\ &= \frac{\partial(f\circ \varphi^{-1})}{\partial x^j}|_{\varphi(p_0)} \end{aligned}

其中用到了:

(φcj(t))k=xk(cj(t))(\varphi\circ c_j(t))^k = x^k(c_j(t))

以及复合函数求导的链式法则。

从而我们得到:

ej(f)=(fφ1)xjφ(p0)e_j(f)=\frac{\partial (f\circ \varphi^{-1})}{\partial x^j}|_ {\varphi(p_0)}

eie_i 在函数 ff 上的作用等价于其表示函数 F=fφ1F = f\circ \varphi^{-1}φ(p0)\varphi(p_0 )xix_i 的偏导数。

容易看出:若选取 ff 为某个坐标函数,如 xix^i,则我们有:

ej(xi)=δjie_j (x^i) = \delta^i_{j}

这样在 p0p_0 点,我们得到了 nn 个切矢量,下面我们证明 p0p_0 点的任意一个切矢量都可以表示成这 nn 个切矢量的线性组合。

有以下引理:
x0Rn,FF(Rn)x_0\in \mathbb{R}^n, F\in \mathscr{F}(\mathbb{R}^n),则 FF 可以表示为:

F(x)=F(x0)+(xix0i)Fxix0F(x) = F(x_0) + (x^i-x_0^i)\frac{\partial F}{\partial x^i}|_{x_0}

现假定 ff 是一个在点 p0Xp_0\subset X 的某一邻域内的可微函数。在某一个相容的坐标卡 (U,φ)(U,\varphi) 下,它可以表示为:

F=fφ1: VRF = f\circ \varphi^{-1}:\ V\rightarrow \mathbb{R}

其中 VRnV \subset \mathbb{R}^n 包含 p0p_0 点的像 f(p0)=F(φ(p0))f(p_0) = F(\varphi(p_0)),在 f(p0)f(p_0) 点我们可以对 FF 做展开:

f(p)=F(φ(p))=F(φ(p0))+(xi(p)xi(p0))Fxif(p0)=f(p0)+(xi(p)xi(p0))Fxif(p0)\begin{aligned} f(p) &= F(\varphi(p)) = F(\varphi(p_0)) + (x^i(p)-x^i(p_0))\frac{\partial F}{\partial x^i}|_{f(p_0)}\\ &= f(p_0) + (x^i(p)-x^i(p_0))\frac{\partial F}{\partial x^i}|_{f(p_0)}\\ \end{aligned}

vp0v_{p_0} 作用到 ff 的这一表达式上得到:

vp0(f)=vp0(xi)Fxiφ(p0)=vp0(xi)(fφ1)xiφ(p0)v_{p_0}(f) = v_{p_0}(x^i)\frac{\partial F}{\partial x^i}|_{\varphi(p_0)} = v_{p_0}(x^i)\frac{\partial (f\circ \varphi^{-1})}{\partial x^i}|_{\varphi(p_0)}

结合切矢量 eie_iff 上的作用,我们得到:

vp0(f)=vp0(xi)ei(f)v_{p_0}(f) = v_{p_0}(x^i)e_i(f)

因为 ffF(x)\mathscr{F}(x) 中的任意元素,从而我们得到:

vp0=vp0(xi)ei=vp0ieiv_{p_0} = v_{p_0}(x^i)e_i = v_{p_0}^ie_i

从而 p0p_0 点的任意切矢量都可以用 p0p_0 点的一组切矢量 {ei,i=1,,n}\{e_i,i=1,\cdots,n\} 线性组合给出。这个结论由于 pp 点选取的任意性推广到整个流形上。

容易证明 {ei}\{e_i\} 是线性无关的。若假设 aiei=0a^ie_i = 0,则我们得到:

aiei(xj)=aiδij=aj=0a^ie_i(x^j) = a^i\delta^{j}_{i} = a^j = 0

所以 {ei}\{e_i\} 是线性无关的,由此 pp 点所有的切矢量形成的线性空间 TpXT_pX 的维数为 nn。而且在给定一个坐标卡之后,我们得到一组基底 {ei}\{e_i\},通常我们将这个基称为 自然基 (natural basis),并表示为:

{ei=xip,i=1,,n}\{ e_i=\frac{\partial}{\partial x^i}|_ p,i = 1,\cdots ,n \}

vpiv_p^i 是切矢量 vpv_p 在这个自然基下的分量。

可以将切矢量用自然基展开为:

vp=dxi(c(t))dtt=0xipv_p=\frac{dx^i(c(t))}{dt}| _ {t=0} \frac{\partial}{\partial x^i}|_ p


(U~,φ~)(\tilde{U},\tilde{\varphi}) 是另外一个包含点 pp 的坐标卡,而相应的坐标函数为 x~i\tilde{x}^i,因此 pp 点的任意一个切矢量 vpv_p 可以展开为:

vp=vpiei=v~pie~i=v~pix~ipv_p = v_p^ie_i = \tilde{v}_p^i\tilde{e}_i = \tilde{v}_p^i\frac{\partial}{\partial \tilde{x}^i}|_p

现在将 e~i\tilde{e}_ie~i\tilde{e}_i 下展开,即可得到切矢量分量的关系:

e~i=e~i(xj)ej=(xjφ~1)x~iφ~(p)ej\tilde{e}_i = \tilde{e}_i(x^j)e_j = \frac{\partial (x^j \circ \tilde{\varphi}^{-1})}{\partial\tilde{x}^i}|_{\tilde{\varphi}(p)}e_j

从而,切矢量分量的关系为:

vpj=A  ijv~piv_p^j = A^j_{\ \ i}\tilde{v}^i_p

这里:

A  ij=(xjφ~1)x~iφ~(p)=(φφ~1)jx~iφ~(p)A^j_{\ \ i} = \frac{\partial (x^j \circ \tilde{\varphi}^{-1})}{\partial\tilde{x}^i}|_{\tilde{\varphi}(p)} = \frac{\partial (\varphi \circ \tilde{\varphi}^{-1})^j}{\partial\tilde{x}^i}|_{\tilde{\varphi}(p)}

其中 φφ~1\varphi\circ \tilde\varphi^{-1} 正是两个坐标卡间的坐标变换。对于任意的 pUU~p\in U\cap \tilde{U},我们有:

xj(p)=(φφ~1)j(φ~(p))=(φφ~1)j(x~1(p),,x~n(p))\begin{aligned} x^j(p) &= (\varphi\circ \tilde{\varphi}^{-1})^j(\tilde{\varphi}(p))\\ &= (\varphi\circ \tilde{\varphi}^{-1})^j(\tilde x^1(p),\cdots,\tilde{x}^n(p))\\ \end{aligned}

xjx^j(x~1,,x~n)(\tilde{x}^1,\cdots,\tilde{x}^n) 的函数,我们可以将 A  ijA^{j}_{\ \ i} 简记为:

A  ij=xjx~i=xj(x~1,,x~n)x~iA^j_{\ \ i} = \frac{\partial x^j}{\partial \tilde{x}^i} = \frac{\partial x^j(\tilde{x}^1,\cdots,\tilde{x}^n)}{\partial \tilde{x}^i}

即有:

vpj=A  ijv~piv_p^j = A^j_{\ \ i}\tilde{v}^i_p

即:切矢量遵从逆变矢量分量的变换规律。


除了以上方式定义切空间外,还可以用其他方式定义切空间:

用等价关系定义切空间
两条过 pp 点的光滑曲线在 pp 点称为是相切的,如果它们在 pp 点具有相同的切矢量。据此人们可以得到切空间的另一种定义方式,即在所有过 pp 点的曲线形成的集合中建立一个等价关系:若 c1c_1c2c_2pp 点相切,则称 c1c_1c2c_2 是等价的。这样我们便得到等价类的集合。可以证明这个等价类集合上具有自然的线性结构,形成 nn-维的线性空间。这便是 pp 点的切空间 TpMT_p M。每个(过 pp 点)曲线的等价类对应于一个切矢量。

余切空间

余切空间
流形上某点的余切空间是该点切空间的对偶空间。其中的元素是切空间 TpXT_pX 上的线性函数。对于 pXp \in X,我们用 TpXT^*_ p X 表示这个余切空间。

事实上,对于任意 fF(X)f\in\mathscr{F}(X),切矢量 vpTpXv_p \in T_pX 作用到 ff 上得到一个实数,即我们有:

vp:fvp(f)Rv_p:f\mapsto v_p(f) \in \mathbb{R}

反过来看,对任意给定的一个切矢量 vpv_p,函数 ff 决定了一个余切矢量,这个余切矢量将 vpv_p 变成一个实数。即我们有一个由 ff 确定的映射,记为 dfpTpXdf| p \in T^*_ p X,使得

dfp:vpdfp(vp)=vp(f)df|_ p : v_p \mapsto df| _ p (v_p ) = v_p (f)

这个余切矢量称为函数 ffpp 点的微分

(U,φ)(U,\varphi) 是包含 pp 的坐标卡,且坐标函数为 xix^i,有 xiF(X)x^i\in \mathscr{F}(X),从而我们得到如下 nn 个余切矢量:

dxip(vp)=vp(xi)dx^i|_p(v_p) = v_p(x^i)

显然我们有:

dxip(xjp)=xjp(xi)=δjidx^i|_p(\frac{\partial}{\partial x^j}|_p) = \frac{\partial}{\partial x^j}|_p (x^i) = \delta^i_j

即:

{dxip,i=1,,n}\{dx^i|_p,i=1,\cdots,n\}

{xip,i=1,,n}\{\frac{\partial}{\partial x^i}|_p,i=1,\cdots,n\} 的对偶基。我们将其记为:

{ei=dxip,i=1,,n}\{e^{* i}=dx^i | _ p ,i = 1,\cdots ,n\}

作为余切空间中的一个自然基。余切矢量在自然基上可以展开为:

ωp=ωp(ei)ei=ωpiei\omega_p = \omega_p(e_i) e^{*i} = \omega_{pi}e^{*i}

特别地,余切矢量 dfpdf|_p 可以展开为:

dfp=dfp(ei)ei=dfp(xip)ei=fxipdxipdf|_p = df|_p(e_i)e^{*i} = df|_p(\frac{\partial}{\partial x^i}|_p)e^{*i} = \frac{\partial f}{\partial x^i}| _ p dx^i| _ p

在坐标变换下,容易得到 ωp\omega_p 的分量变换规律为:

x~jxiω~pj=(A1)  ijω~pj=ωpi\frac{\partial \tilde{x}^j}{\partial x^i}\tilde{\omega}_{pj} = (A^{-1})^j_{\ \ i}\tilde{\omega}_{pj} = \omega_{pi}

即:余切矢量遵从协变矢量分量的变换规律。