张量代数

不同类型的张量之间是没有加法的。因此我们暂时还不能够构造出所谓的张量代数。下面我们考虑线性空间的直和。有了直和的概念后,张量代数便可以建立起来。

直和与张量代数

X1,,XsX_1, \cdots , X_s 是数域 K\mathbb{K} 上的线性空间。我们从每个空间中抽出
一个元素,组合在一起表示为:

(x1,,xs),xiXi(x_1,\cdots,x_s),\quad x_i\in X_i

所有这种组合形成一个集合。在这个集合上我们可以定义加法 \oplus 和数乘为:

(x1,,xs)(y1,,ys)=(x1+y1,,xs+ys)λ(x1,,xs)=(λx1,,λxs)\begin{aligned} &(x_1,\cdots,x_s)\oplus(y_1,\cdots,y_s) = (x_1 + y_1,\cdots, x_s + y_s)\\ &\lambda(x_1,\cdots,x_s) = (\lambda x_1,\cdots,\lambda x_s)\\ \end{aligned}

这样, 这个集合形成一个线性空间, 称为 X1,,XsX_1, \cdots, X_s(外)直和 (external direct sum)。记为:

X1XsX_1\oplus \cdots \oplus X_s


这里来辨析一下:直积 (卡氏积)外直和内直和张量积 的概念。

  • 直积 (卡氏积):
    两个集合 X,YX,Y 的卡氏积为:

X×Y={(x,y)xX,yY}X \times Y = \{(x,y)|x\in X,y\in Y\}

其中只要求 X,YX,Y 为一个集合就可以定义卡氏积 X×YX\times Y

为了区分外直和与内直和,对应的加法分别用 e\oplus_{e}i\oplus_i 表示,在不引起歧义时,用 \oplus 表示。

  • 外直和:
    对于数域 K\mathbb{K} 上的线性空间 X,YX,Y 的来说,它们的外直和为线性空间:(X,e,)(X,\oplus_e,\cdot)。其中 e\oplus_e 为外直和空间中的加法运算:

(x1,,xs)(y1,,ys)=(x1+y1,,xs+ys)(x_1,\cdots,x_s)\oplus(y_1,\cdots,y_s) = (x_1 + y_1,\cdots, x_s + y_s)

  • 内直和:
    XXYYUU 的两个子空间,且有 XY={0}X\cap Y = \{0\}。则 XXYY 的内直和定义为:

XY={x+yxX,yY}X \oplus Y = \{x + y|x \in X,y \in Y \}

当然 XYX\oplus Y 配以 UU 的加法与数乘也构成一个线性空间。

  • 张量积
    张量积将卡氏积空间映射成张量积空间,对于线性空间 X,YX,Y,其张量积为:

XY=L(2)(X,Y;K)X \otimes Y = \mathscr{L}^{(2)}(X^*,Y^*;\mathbb{K})

L(2)(X,Y;K)\mathscr{L}^{(2)}(X^*,Y^*;\mathbb{K}) 中的元素均为双线性映射,具有双线性性:

α(xy)=(αx)y=x(αy)\alpha(x\otimes y) = (\alpha x)\otimes y = x \otimes (\alpha y)


直和空间的映射
fi:XiZi,i=1,,sf_i : X_i \rightarrow Z_i , i = 1,··· ,s 是由线性空间 XiX_i 到线性空间 ZiZ_iss 个线性映射。可以定义直和空间之间的映射 ff

f:i=1sXii=1sZif:\bigoplus_{i=1}^s X_i\rightarrow\bigoplus_{i=1}^s Z_i

f:(x1,,xs)(f1(x1),,fs(xs))f : (x_1 ,··· ,x_s ) \mapsto (f_1 (x_1 ),··· ,f_s (x_s ))

不难得到 ff 为一个多重线性函数。XiX_i 的直和运算形成了一个多重线性空间,更自然地从 XiX_i 上的线性函数 fif_i 构造出了多重线性函数 ff。空间的直和诱导出了不同线性函数的“直和“运算,我们考虑如下对“直和”封闭的空间:

逆变张量代数
直和空间

T(X)=r=0X0r=r=0(k=0rX)=KX(XX)(XXX)+\begin{aligned} T(X)&=\bigoplus_{r=0}^{\infty}X_0^r=\bigoplus_{r=0}^{\infty}(\bigotimes_{k=0}^{r}X)\\ &= \mathbb{K} \oplus X \oplus (X \otimes X) \oplus (X \otimes X \otimes X) \oplus + \cdots \end{aligned}

是数域 K\mathbb{K} 上的无穷维线性空间。这个线性空间上还有一个乘法,即张量积 \otimes 操作。从而 T(X)T(X) 形成一个代数。

协变张量代数
直和空间

T(X)=s=0Xs0=s=0(k=0sX)T^* (X)=\bigoplus_{s=0}^{\infty}X_s^0=\bigoplus_{s=0}^{\infty}(\bigotimes_{k=0}^{s}X^* )

在张量积运算下也是一个代数。

更一般的张量代数:

T(X)=s,r=0Xsr\mathcal{T}(X)=\bigoplus_{s,r=0}^\infty X_s^r

这些空间对张量的直和运算自然也是封闭的。

这些张量代数的构造和量子场论中 Fock 空间的构造比较类似: XHX \rightarrow \mathcal{H}。其中 H\mathcal{H} 是无穷维的单粒子 Hilbert 空间。

张量代数上的一些操作

映射的扩张
将映射扩张到 rr-阶逆变张量空间,设有如下线性映射:

A:XZ,uA(u)Z, uXA : X \rightarrow Z , u \mapsto A(u) \in Z ,\ \forall u \in X

是一个线性映射,则我们得到它的一个扩张,即由

Tr(X)=XXrT^r(X) = \underbrace{X \otimes\cdots\otimes X}_{r}

Tr(Z)=ZZrT^r(Z) = \underbrace{Z \otimes\cdots\otimes Z}_{r}

的唯一的一个映射 (其中 ArA^r 中的 rr 的含义自明):

Ar=AAr:Tr(X)Tr(Z)A^r =\underbrace{A \otimes\cdots\otimes A}_{r} : T^r (X) \rightarrow T^r (Z)

更进一步地,我们可以将 AA 扩张至整个代数 T(X)T(X)。类似的,对于对偶空间之间的线性映射,我们也可以将其唯一的扩张到整个协变张量代数。

线性映射的转置
A:XZA : X \rightarrow Z 是一个线性映射。XXZZ 的对偶空间分别为 XX^*ZZ^*。则线性映射 AA 的转置定义为:

tA:ZXwtA(w)=wA, wZ\begin{aligned} ^{t}A :& Z^*\rightarrow X^* \\ & w ^*\mapsto {}^t A(w^* ) = w ^* \circ A,\ \forall w ^* \in Z^ *\\ \end{aligned}

XX 的对偶基分别为 {ei}\{e_i\}{ei}\{e^{*i}\},而 ZZ 的基和对偶基分别为 {hα}\{h_{\alpha}\}{hα}\{h^{*\alpha}\},设映射 AAuXu \in X 映成 wZw\in Z,则可以表示为:

A(u)=uiA(ei)=uiAi  αhα=wαhα=wA(u) = u^iA(e_i) = u^i A_{i}^{\ \ \alpha}h_{\alpha} = w^{\alpha}h_{\alpha} = w

用分量形式表示为:

wα=Ai  αuiw^{\alpha} = A_{i}^{\ \ \alpha}u^i

那么对于映射的转置,我们有:

tA(w)(u)=wA(u)=w(A(u))=uiAi  αw(hα)=uiAi  αwβhβ(hα)=uiAi  αwβδ  αβ=uiAi  αwα=ei(u)Ai  αwα=(eiAi  αwα)(u)\begin{aligned} {}^t A(w^*)(u) &= w^*\circ A(u) = w^*(A(u))\\ &= u^i A_{i}^{\ \ \alpha} w^*(h_{\alpha}) = u^i A_{i}^{\ \ \alpha} w^*_{\beta} h^{*\beta}(h_{\alpha})\\ &= u^i A_{i}^{\ \ \alpha} w^*_{\beta} \delta^{\beta}_{\ \ \alpha} = u^i A_{i}^{\ \ \alpha} w^*_{\alpha}\\ &= e^{*i}(u)A_{i}^{\ \ \alpha} w^*_{\alpha} = (e^{*i}A_{i}^{\ \ \alpha} w^*_{\alpha})(u)\\ \end{aligned}

从而有:

tA(w)=eiAi  αwα=uiei=u{}^t A(w^*) = e^{*i}A_{i}^{\ \ \alpha} w^*_{\alpha} = u_i^* e^{*i} = u^*

得到分量形式为:

ui=Ai  αwαu_i^* = A_{i}^{\ \ \alpha}w_{\alpha}^*

转置的扩张
A:XZA : X \rightarrow Z 是一个线性映射。它的转置 tA^t A 显然也是一个线性映射,即 tA:ZX^t A : Z^* \rightarrow X^*。故我们可以将其扩张到整个代数 T(Z)T^ * (Z) 得到映射:

tA:T(Z)T(X)^t A : T^ * (Z) \rightarrow T ^* (X)

同构映射逆的转置
AA 是一个同构,则其存在逆映射 A1:ZXA^{-1} : Z \rightarrow X。再考虑这个逆映射的转置,我们便得到一个由 XX ^*ZZ^ * 的线性映射

tA1:XZ^t A ^{-1}: X ^* \rightarrow Z ^*

如此,我们可以将同构映射可以扩张到整个张量代数。

外代数

张量的对称化与反对称化

二阶张量的对称化和反称化
对于 (0,2)(0,2)-型张量 TabT_{ab},它的 对称 部分和 反对称 部分为:

T(ab)=12(Tab+Tba),T[ab]=12(TabTba)T_{(ab)} =\frac{1}{2}(T_{ab} + T_{ba} ), T_{[ab]} =\frac{1}{2}(T_{ab} - T_{ba} )

其中 ()(\cdots) 表示对对应指标对称化处理,[][\cdots] 表示对对应指标反对称化处理。

对于 (0,s)(0,s)-型张量 Ta1asT_{a_1 \cdots a_s},利用置换 π\pi,可以将它的对称和反对称部分写为:

T(a1as)=1s!πTaπ(1)aπ(s)T[a1as]=1s!πsign(π)Taπ(1)aπ(s)\begin{aligned} &T_{(a_1\cdots a_s)}=\frac{1}{s!}\sum_{\pi}T_{a_{\pi(1)}\cdots a_{\pi(s)}}\\ &T_{[a_1\cdots a_s]}=\frac{1}{s!}\sum_{\pi}\mathrm{sign}(\pi) T_{a_{\pi(1)}\cdots a_{\pi(s)}}\\ \end{aligned}

其中 π\pi 是一个关于 (1,,s)(1,\cdots,s) 的一个置换,即:

π:(1,,s)(π(1),,π(s))\pi:(1,\cdots,s) \mapsto (\pi(1),\cdots,\pi(s))

对于偶置换来说,sign(π)=1\mathrm{sign}(\pi) = 1;对于奇置换来说,sign(π)=1\mathrm{sign}(\pi) = -1

Ta1as=T(a1as)T_{a_1 \cdots a_s}=T_{(a_1 \cdots a_s)} 则称 TT全对称 的,若 Ta1as=T[a1as]T_{a_1 \cdots a_s}=T_{[a_1 \cdots a_s]} 则称 TT全反对称 的。对于 (r,0)(r,0)-型张量 Ta1asT^{a_1 \cdots a_s},同样可以给出类似的定义。

外积

反对称协变张量的空间

现在我们考虑反对称张量能否形成一个代数。进行以下观察:

  • Ts(X)T_s (X) 中的所有张量进行反对称化,便可以得到一个 ss-阶反对称张量形成的集合。
  • 显然两个反对称张量的相加仍然是反对称张量。故这个集合形成 Ts(X)T_s (X) 的一个子空间。记为:

Λs(X)\Lambda_s (X)

通常我们称 ss-阶反对称张量为 ss-形式 (s-form)。因此 Λs(X)\Lambda_s (X) 是所有 ss- 形式形成的线性空间。

  • 特别地, 我们有 Λ0(X)=K,Λ1(X)=T1(X)\Lambda_0 (X) = \mathbb{K}, \Lambda_1 (X) = T_1 (X)
  • xΛs(X),yΛq(X)x \in \Lambda_s (X), y \in \Lambda_q (X),考虑考虑它们的张量积,虽然 xyTs+q(X)x\otimes y\in T_{s+q} (X),但 xyΛs+q(X)x\otimes y\notin \Lambda_{s+q} (X)。即两个外形式的张量积并不是一个外形式。那么各种阶数的 ss-形式的集合配以 \otimes 并不成一个代数。

我们需要定义新的乘积才能使得各种阶数的 ss-形式的集合能够形成一个代数。为此,我们引入 外积 (exterior, wedge, Grassmann product) \land

:Λs(X)×Λq(X)Λs+q(X):(x,y)xy\begin{aligned} &\land : \Lambda_s (X) \times \Lambda_q (X) \rightarrow \Lambda_{s+q} (X)\\ &\land : (x,y)\mapsto x \land y\\ \end{aligned}

其中 xyx \land y 可以表示为:

(xy)a1asb1bq=(s+q)!s!q!x[a1asyb1bq](x \land y)_ {a_1 \cdots a_s b_1 \cdots b_q} = \frac{(s + q)!}{s!q!}x_{[a_1 \cdots a_s} y_{b_1 \cdots b_q]}

通常来说,外积 (xy)a1asb1bq(x\land y)_{a_1\cdots a_sb_1\cdots b_q} 也记作 xa1asyb1bqx_{a_1\cdots a_s}\land y_{b_1\cdots b_q}。可以证明外积满足如下 性质

  • 分配律

(x1+x2)y=x1y+x2y,x(y1+y2)=xy1+xy2,\begin{aligned} &(x_1 + x_2 ) ∧ y = x_1 ∧ y + x_2 ∧ y ,\\ &x ∧ (y_1 + y_2 ) = x ∧ y_1 + x ∧ y_2 ,\\ \end{aligned}

  • 结合律:

(xy)z=x(yz)(x \land y) \land z = x \land (y \land z)

  • 反交换律(斜对称律)

xy=(1)sqyxx \land y = (-1)^{sq} y \land x

证明

(xy)a1asb1bq=(s+q)!s!q!x[a1asyb1bq]=1s!q!πsign(π)xaπ(1)aπ(s)ybπ(s+1)bπ(s+q)=1s!q!πsign(π)ybπ(s+1)bπ(s+q)xaπ(1)aπ(s)=(1)sqs!q!πsign(π)ybπ(1)bπ(q)xaπ(q+1)aπ(s+q)=(1)sq(s+q)!s!q!y[b1bqxa1as]=(1)sq(yx)b1bqa1as\begin{aligned} (x \land y)_ {a_1 \cdots a_s b_1 \cdots b_q} &= \frac{(s + q)!}{s!q!}x_{[a_1 \cdots a_s} y_{b_1 \cdots b_q]}\\ &= \frac{1}{s!q!}\sum_{\pi}\mathrm{sign}(\pi) x_{a_{\pi(1)} \cdots a_{\pi(s)}} y_{b_{\pi(s+1)} \cdots b_{\pi(s+q)}}\\ &= \frac{1}{s!q!}\sum_{\pi}\mathrm{sign}(\pi) y_{b_{\pi(s+1)} \cdots b_{\pi(s+q)}} x_{a_{\pi(1)} \cdots a_{\pi(s)}}\\ &= \frac{(-1)^{sq}}{s!q!}\sum_{\pi}\mathrm{sign}(\pi) y_{b_{\pi(1)} \cdots b_{\pi(q)}} x_{a_{\pi(q+1)} \cdots a_{\pi(s+q)}}\\ &= \frac{(-1)^{sq}(s + q)!}{s!q!}y_{[b_1 \cdots b_q} x_{a_1 \cdots a_s]}\\ &= (-1)^{sq} (y \land x)_ {b_1 \cdots b_q a_1 \cdots a_s } \end{aligned}

因为外积满足结合律,xyzx\land y\land z 是有意义的,我们可以定义多个外形式的外积。例如,对于 wiΛ1(X), i=1,,sw^i \in \Lambda_1(X),\ i=1,\cdots,s,则我们有:

(w1ws)a1as=s!(w1)[a1(ws)as](w^1\land \cdots \land w^s)_{a_1\cdots a_s} = s!(w^1) [ _{a_1}\cdots (w^s)_{a_s} ]


现在我们考虑给定基底计算外积。设 xΛs(X)x\in\Lambda_s(X)(ei)a(e^{*i})_aXX 的一个对偶基。则 xx 可以表示为:

xa1as=xi1is(ei1)a1(eis)asx_{a_1\cdots a_s} = x_{i_1\cdots i_s}(e^{*i_1})_{a_1}\cdots (e^{*i_s})_{a_s}

因为 xa1as=x[a1as]x_{a_1\cdots a_s} = x_{[a_1\cdots a_s]},所以有:

xa1as=xi1is(ei1)[a1(eis)as]=1s!xi1is(ei1eis)a1as=1s!xi1is(ei1)a1(eis)as\begin{aligned} x_{a_1\cdots a_s} &= x_{i_1\cdots i_s}(e^{*i_1})_{[a_1}\cdots (e^{*i_s})_{a_s]}\\ &= \frac{1}{s!}x_{i_1\cdots i_s}(e^{*i_1}\land \cdots \land e^{*i_s})_{a_1\cdots a_s}\\ &= \frac{1}{s!}x_{i_1\cdots i_s}(e^{*i_1})_{a_1}\land \cdots \land(e^{*i_s})_{a_s}\\ \end{aligned}

若不用抽象指标, 外形式 xx 可以展开为:

x=1s!xi1is(ei1eis)x =\frac{1}{s!} x_{i_1 \cdots i_s}(e^{*i_1} \land\cdots\land e^{*i_s} )

因此 ei1eise^{*i_1} \land \cdots \land e^{*i_s}Λs(X)\Lambda_s (X) 的基。可以证明 Λs(X)\Lambda_s (X) 的维数为:

dim(Λs(X))=n!s!(ns)!\dim ( \Lambda_s (X) ) = \frac{n!}{s!(n - s)!}

其中 n=dim(X)n = \dim(X)

{ei1ein}\{e^{*i_1}\cdots e^{*i_n}\}XX 上的一组基底。我们要从中选取 ss 个不同的基底组成 Λs(X)\Lambda_s(X) 的基底,因此 Λs(X)\Lambda_s(X) 的维数为:

dim(Λs(X))=Csn=n!s!(ns)!\dim(\Lambda_s(X)) = C^n_s = \frac{n!}{s!(n-s)!}

外代数

类似于定义张量代数,为了定义外代数,我们也需要考虑如下直和空间 (sn)(s \leqslant n)

Λ(X)=s=0nΛs(X)\Lambda(X) =\bigoplus_{s=0}^n\Lambda_s (X)

其维数为:

dim(Λ(X))=s=0nCsn=2n\dim(\Lambda(X)) = \sum_{s=0}^{n} C^n_s = 2^n

Λ(X)\Lambda(X) 中的元素具有形式:

x=s=0nxs,y=s=0nysx = \bigoplus_{s=0}^n x_s,\quad y = \bigoplus_{s=0}^n y_s

它们的外积定义为:

xy=s,k=0nxsykx \land y = \bigoplus_{s,k=0}^n x_s\land y_k

线性空间 Λ(X)\Lambda(X) 配以上面定义的外积。我们便建立的一个代数称为 外代数Grassman 代数。外代数在微分几何中是非常重要的代数结构。对于全反对称逆变张量,我们也可以构造相应的外代数。例如 Λs(X)\Lambda^s (X) 代表所有 (s,0)(s,0)-阶全反对称逆变张量形成的空间。相应的外积仍然记为 \land