张量代数

不同类型的张量之间是没有加法的。因此我们暂时还不能够构造出所谓的张量代数。下面我们考虑线性空间的直和。有了直和的概念后，张量代数便可以建立起来。

直和与张量代数

设 X1,⋯ ,XsX_1, \cdots , X_s 是数域 K\mathbb{K} 上的线性空间。我们从每个空间中抽出
一个元素，组合在一起表示为：

(x1,⋯ ,xs),xi∈Xi(x_1,\cdots,x_s),\quad x_i\in X_i

所有这种组合形成一个集合。在这个集合上我们可以定义加法 ⊕\oplus 和数乘为：

(x1,⋯ ,xs)⊕(y1,⋯ ,ys)=(x1+y1,⋯ ,xs+ys)λ(x1,⋯ ,xs)=(λx1,⋯ ,λxs)\begin{aligned} &(x_1,\cdots,x_s)\oplus(y_1,\cdots,y_s) = (x_1 + y_1,\cdots, x_s + y_s)\\ &\lambda(x_1,\cdots,x_s) = (\lambda x_1,\cdots,\lambda x_s)\\ \end{aligned}

这样, 这个集合形成一个线性空间, 称为 X1,⋯ ,XsX_1, \cdots, X_s 的 （外）直和 (external direct sum)。记为：

X1⊕⋯⊕XsX_1\oplus \cdots \oplus X_s

这里来辨析一下：直积 (卡氏积)，外直和，内直和，张量积 的概念。

  • 直积 (卡氏积)：
    两个集合 X,YX,Y 的卡氏积为：

X×Y={(x,y)∣x∈X,y∈Y}X \times Y = \{(x,y)|x\in X,y\in Y\}

其中只要求 X,YX,Y 为一个集合就可以定义卡氏积 X×YX\times Y。

为了区分外直和与内直和，对应的加法分别用 ⊕e\oplus_{e} 与 ⊕i\oplus_i 表示，在不引起歧义时，用 ⊕\oplus 表示。

  • 外直和：
    对于数域 K\mathbb{K} 上的线性空间 X,YX,Y 的来说，它们的外直和为线性空间：(X,⊕e,⋅)(X,\oplus_e,\cdot)。其中 ⊕e\oplus_e 为外直和空间中的加法运算：

(x1,⋯ ,xs)⊕(y1,⋯ ,ys)=(x1+y1,⋯ ,xs+ys)(x_1,\cdots,x_s)\oplus(y_1,\cdots,y_s) = (x_1 + y_1,\cdots, x_s + y_s)

  • 内直和：
    设 XX 和 YY 是 UU 的两个子空间，且有 X∩Y={0}X\cap Y = \{0\}。则 XX 和 YY 的内直和定义为：

X⊕Y={x+y∣x∈X,y∈Y}X \oplus Y = \{x + y|x \in X,y \in Y \}

当然 X⊕YX\oplus Y 配以 UU 的加法与数乘也构成一个线性空间。

  • 张量积
    张量积将卡氏积空间映射成张量积空间，对于线性空间 X,YX,Y，其张量积为：

X⊗Y=L(2)(X∗,Y∗;K)X \otimes Y = \mathscr{L}^{(2)}(X^*,Y^*;\mathbb{K})

L(2)(X∗,Y∗;K)\mathscr{L}^{(2)}(X^*,Y^*;\mathbb{K}) 中的元素均为双线性映射，具有双线性性：

α(x⊗y)=(αx)⊗y=x⊗(αy)\alpha(x\otimes y) = (\alpha x)\otimes y = x \otimes (\alpha y)

直和空间的映射
设 fi:Xi→Zi,i=1,⋅⋅⋅,sf_i : X_i \rightarrow Z_i , i = 1,··· ,s 是由线性空间 XiX_i 到线性空间 ZiZ_i 的 ss 个线性映射。可以定义直和空间之间的映射 ff：

f:⨁i=1sXi→⨁i=1sZif:\bigoplus_{i=1}^s X_i\rightarrow\bigoplus_{i=1}^s Z_i

为

f:(x1,⋅⋅⋅,xs)↦(f1(x1),⋅⋅⋅,fs(xs))f : (x_1 ,··· ,x_s ) \mapsto (f_1 (x_1 ),··· ,f_s (x_s ))

不难得到 ff 为一个多重线性函数。XiX_i 的直和运算形成了一个多重线性空间，更自然地从 XiX_i 上的线性函数 fif_i 构造出了多重线性函数 ff。空间的直和诱导出了不同线性函数的“直和“运算，我们考虑如下对“直和”封闭的空间：

逆变张量代数
直和空间

T(X)=⨁r=0∞X0r=⨁r=0∞(⨂k=0rX)=K⊕X⊕(X⊗X)⊕(X⊗X⊗X)⊕+⋯\begin{aligned} T(X)&=\bigoplus_{r=0}^{\infty}X_0^r=\bigoplus_{r=0}^{\infty}(\bigotimes_{k=0}^{r}X)\\ &= \mathbb{K} \oplus X \oplus (X \otimes X) \oplus (X \otimes X \otimes X) \oplus + \cdots \end{aligned}

是数域 K\mathbb{K} 上的无穷维线性空间。这个线性空间上还有一个乘法，即张量积 ⊗\otimes 操作。从而 T(X)T(X) 形成一个代数。

协变张量代数
直和空间

T∗(X)=⨁s=0∞Xs0=⨁s=0∞(⨂k=0sX∗)T^* (X)=\bigoplus_{s=0}^{\infty}X_s^0=\bigoplus_{s=0}^{\infty}(\bigotimes_{k=0}^{s}X^* )

在张量积运算下也是一个代数。

更一般的张量代数:

T(X)=⨁s,r=0∞Xsr\mathcal{T}(X)=\bigoplus_{s,r=0}^\infty X_s^r

这些空间对张量的直和运算自然也是封闭的。

这些张量代数的构造和量子场论中 Fock 空间的构造比较类似: X→HX \rightarrow \mathcal{H}。其中 H\mathcal{H} 是无穷维的单粒子 Hilbert 空间。

张量代数上的一些操作

映射的扩张
将映射扩张到 rr-阶逆变张量空间，设有如下线性映射:

A:X→Z,u↦A(u)∈Z, ∀u∈XA : X \rightarrow Z , u \mapsto A(u) \in Z ,\ \forall u \in X

是一个线性映射，则我们得到它的一个扩张，即由

Tr(X)=X⊗⋯⊗X⏟rT^r(X) = \underbrace{X \otimes\cdots\otimes X}_{r}

到

Tr(Z)=Z⊗⋯⊗Z⏟rT^r(Z) = \underbrace{Z \otimes\cdots\otimes Z}_{r}

的唯一的一个映射 (其中 ArA^r 中的 rr 的含义自明)：

Ar=A⊗⋯⊗A⏟r:Tr(X)→Tr(Z)A^r =\underbrace{A \otimes\cdots\otimes A}_{r} : T^r (X) \rightarrow T^r (Z)

更进一步地，我们可以将 AA 扩张至整个代数 T(X)T(X)。类似的，对于对偶空间之间的线性映射，我们也可以将其唯一的扩张到整个协变张量代数。

线性映射的转置
设 A:X→ZA : X \rightarrow Z 是一个线性映射。XX 和 ZZ 的对偶空间分别为 X∗X^* 和 Z∗Z^*。则线性映射 AA 的转置定义为：

tA:Z∗→X∗w∗↦tA(w∗)=w∗∘A, ∀w∗∈Z∗\begin{aligned} ^{t}A :& Z^*\rightarrow X^* \\ & w ^*\mapsto {}^t A(w^* ) = w ^* \circ A,\ \forall w ^* \in Z^ *\\ \end{aligned}

设 XX 的对偶基分别为 {ei}\{e_i\} 和 {e∗i}\{e^{*i}\}，而 ZZ 的基和对偶基分别为 {hα}\{h_{\alpha}\} 与 {h∗α}\{h^{*\alpha}\}，设映射 AA 将 u∈Xu \in X 映成 w∈Zw\in Z，则可以表示为：

A(u)=uiA(ei)=uiAi  αhα=wαhα=wA(u) = u^iA(e_i) = u^i A_{i}^{\ \ \alpha}h_{\alpha} = w^{\alpha}h_{\alpha} = w

用分量形式表示为：

wα=Ai  αuiw^{\alpha} = A_{i}^{\ \ \alpha}u^i

那么对于映射的转置，我们有：

tA(w∗)(u)=w∗∘A(u)=w∗(A(u))=uiAi  αw∗(hα)=uiAi  αwβ∗h∗β(hα)=uiAi  αwβ∗δ  αβ=uiAi  αwα∗=e∗i(u)Ai  αwα∗=(e∗iAi  αwα∗)(u)\begin{aligned} {}^t A(w^*)(u) &= w^*\circ A(u) = w^*(A(u))\\ &= u^i A_{i}^{\ \ \alpha} w^*(h_{\alpha}) = u^i A_{i}^{\ \ \alpha} w^*_{\beta} h^{*\beta}(h_{\alpha})\\ &= u^i A_{i}^{\ \ \alpha} w^*_{\beta} \delta^{\beta}_{\ \ \alpha} = u^i A_{i}^{\ \ \alpha} w^*_{\alpha}\\ &= e^{*i}(u)A_{i}^{\ \ \alpha} w^*_{\alpha} = (e^{*i}A_{i}^{\ \ \alpha} w^*_{\alpha})(u)\\ \end{aligned}

从而有：

tA(w∗)=e∗iAi  αwα∗=ui∗e∗i=u∗{}^t A(w^*) = e^{*i}A_{i}^{\ \ \alpha} w^*_{\alpha} = u_i^* e^{*i} = u^*

得到分量形式为：

ui∗=Ai  αwα∗u_i^* = A_{i}^{\ \ \alpha}w_{\alpha}^*

转置的扩张
设 A:X→ZA : X \rightarrow Z 是一个线性映射。它的转置 tA^t A 显然也是一个线性映射，即 tA:Z∗→X∗^t A : Z^* \rightarrow X^*。故我们可以将其扩张到整个代数 T∗(Z)T^ * (Z) 得到映射：

tA:T∗(Z)→T∗(X)^t A : T^ * (Z) \rightarrow T ^* (X)

同构映射逆的转置
设 AA 是一个同构，则其存在逆映射 A−1:Z→XA^{-1} : Z \rightarrow X。再考虑这个逆映射的转置，我们便得到一个由 X∗X ^* 到 Z∗Z^ * 的线性映射

tA−1:X∗→Z∗^t A ^{-1}: X ^* \rightarrow Z ^*

如此，我们可以将同构映射可以扩张到整个张量代数。

外代数

张量的对称化与反对称化

二阶张量的对称化和反称化
对于 (0,2)(0,2)-型张量 TabT_{ab}，它的 对称 部分和 反对称 部分为：

T(ab)=12(Tab+Tba),T[ab]=12(Tab−Tba)T_{(ab)} =\frac{1}{2}(T_{ab} + T_{ba} ), T_{[ab]} =\frac{1}{2}(T_{ab} - T_{ba} )

其中 (⋯ )(\cdots) 表示对对应指标对称化处理，[⋯ ][\cdots] 表示对对应指标反对称化处理。

对于 (0,s)(0,s)-型张量 Ta1⋯asT_{a_1 \cdots a_s}，利用置换 π\pi，可以将它的对称和反对称部分写为:

T(a1⋯as)=1s!∑πTaπ(1)⋯aπ(s)T[a1⋯as]=1s!∑πsign(π)Taπ(1)⋯aπ(s)\begin{aligned} &T_{(a_1\cdots a_s)}=\frac{1}{s!}\sum_{\pi}T_{a_{\pi(1)}\cdots a_{\pi(s)}}\\ &T_{[a_1\cdots a_s]}=\frac{1}{s!}\sum_{\pi}\mathrm{sign}(\pi) T_{a_{\pi(1)}\cdots a_{\pi(s)}}\\ \end{aligned}

其中 π\pi 是一个关于 (1,⋯ ,s)(1,\cdots,s) 的一个置换，即：

π:(1,⋯ ,s)↦(π(1),⋯ ,π(s))\pi:(1,\cdots,s) \mapsto (\pi(1),\cdots,\pi(s))

对于偶置换来说，sign(π)=1\mathrm{sign}(\pi) = 1；对于奇置换来说，sign(π)=−1\mathrm{sign}(\pi) = -1。

若 Ta1⋯as=T(a1⋯as)T_{a_1 \cdots a_s}=T_{(a_1 \cdots a_s)} 则称 TT 是 全对称 的，若 Ta1⋯as=T[a1⋯as]T_{a_1 \cdots a_s}=T_{[a_1 \cdots a_s]} 则称 TT 是 全反对称 的。对于 (r,0)(r,0)-型张量 Ta1⋯asT^{a_1 \cdots a_s}，同样可以给出类似的定义。

外积

反对称协变张量的空间

现在我们考虑反对称张量能否形成一个代数。进行以下观察：

  • 对 Ts(X)T_s (X) 中的所有张量进行反对称化，便可以得到一个 ss-阶反对称张量形成的集合。
  • 显然两个反对称张量的相加仍然是反对称张量。故这个集合形成 Ts(X)T_s (X) 的一个子空间。记为：

Λs(X)\Lambda_s (X)

通常我们称 ss-阶反对称张量为 ss-形式 (s-form)。因此 Λs(X)\Lambda_s (X) 是所有 s−s- 形式形成的线性空间。

  • 特别地, 我们有 Λ0(X)=K,Λ1(X)=T1(X)\Lambda_0 (X) = \mathbb{K}, \Lambda_1 (X) = T_1 (X)
  • 设 x∈Λs(X),y∈Λq(X)x \in \Lambda_s (X), y \in \Lambda_q (X)，考虑考虑它们的张量积，虽然 x⊗y∈Ts+q(X)x\otimes y\in T_{s+q} (X)，但 x⊗y∉Λs+q(X)x\otimes y\notin \Lambda_{s+q} (X)。即两个外形式的张量积并不是一个外形式。那么各种阶数的 ss-形式的集合配以 ⊗\otimes 并不成一个代数。

我们需要定义新的乘积才能使得各种阶数的 ss-形式的集合能够形成一个代数。为此，我们引入 外积 (exterior, wedge, Grassmann product) ∧\land：

∧:Λs(X)×Λq(X)→Λs+q(X)∧:(x,y)↦x∧y\begin{aligned} &\land : \Lambda_s (X) \times \Lambda_q (X) \rightarrow \Lambda_{s+q} (X)\\ &\land : (x,y)\mapsto x \land y\\ \end{aligned}

其中 x∧yx \land y 可以表示为：

(x∧y)a1⋯asb1⋯bq=(s+q)!s!q!x[a1⋯asyb1⋯bq](x \land y)_ {a_1 \cdots a_s b_1 \cdots b_q} = \frac{(s + q)!}{s!q!}x_{[a_1 \cdots a_s} y_{b_1 \cdots b_q]}

通常来说，外积 (x∧y)a1⋯asb1⋯bq(x\land y)_{a_1\cdots a_sb_1\cdots b_q} 也记作 xa1⋯as∧yb1⋯bqx_{a_1\cdots a_s}\land y_{b_1\cdots b_q}。可以证明外积满足如下 性质：

  • 分配律

(x1+x2)∧y=x1∧y+x2∧y,x∧(y1+y2)=x∧y1+x∧y2,\begin{aligned} &(x_1 + x_2 ) ∧ y = x_1 ∧ y + x_2 ∧ y ,\\ &x ∧ (y_1 + y_2 ) = x ∧ y_1 + x ∧ y_2 ,\\ \end{aligned}

  • 结合律:

(x∧y)∧z=x∧(y∧z)(x \land y) \land z = x \land (y \land z)

  • 反交换律（斜对称律）

x∧y=(−1)sqy∧xx \land y = (-1)^{sq} y \land x

证明

(x∧y)a1⋯asb1⋯bq=(s+q)!s!q!x[a1⋯asyb1⋯bq]=1s!q!∑πsign(π)xaπ(1)⋯aπ(s)ybπ(s+1)⋯bπ(s+q)=1s!q!∑πsign(π)ybπ(s+1)⋯bπ(s+q)xaπ(1)⋯aπ(s)=(−1)sqs!q!∑πsign(π)ybπ(1)⋯bπ(q)xaπ(q+1)⋯aπ(s+q)=(−1)sq(s+q)!s!q!y[b1⋯bqxa1⋯as]=(−1)sq(y∧x)b1⋯bqa1⋯as\begin{aligned} (x \land y)_ {a_1 \cdots a_s b_1 \cdots b_q} &= \frac{(s + q)!}{s!q!}x_{[a_1 \cdots a_s} y_{b_1 \cdots b_q]}\\ &= \frac{1}{s!q!}\sum_{\pi}\mathrm{sign}(\pi) x_{a_{\pi(1)} \cdots a_{\pi(s)}} y_{b_{\pi(s+1)} \cdots b_{\pi(s+q)}}\\ &= \frac{1}{s!q!}\sum_{\pi}\mathrm{sign}(\pi) y_{b_{\pi(s+1)} \cdots b_{\pi(s+q)}} x_{a_{\pi(1)} \cdots a_{\pi(s)}}\\ &= \frac{(-1)^{sq}}{s!q!}\sum_{\pi}\mathrm{sign}(\pi) y_{b_{\pi(1)} \cdots b_{\pi(q)}} x_{a_{\pi(q+1)} \cdots a_{\pi(s+q)}}\\ &= \frac{(-1)^{sq}(s + q)!}{s!q!}y_{[b_1 \cdots b_q} x_{a_1 \cdots a_s]}\\ &= (-1)^{sq} (y \land x)_ {b_1 \cdots b_q a_1 \cdots a_s } \end{aligned}

因为外积满足结合律，x∧y∧zx\land y\land z 是有意义的，我们可以定义多个外形式的外积。例如，对于 wi∈Λ1(X), i=1,⋯ ,sw^i \in \Lambda_1(X),\ i=1,\cdots,s，则我们有：

(w1∧⋯∧ws)a1⋯as=s!(w1)[a1⋯(ws)as](w^1\land \cdots \land w^s)_{a_1\cdots a_s} = s!(w^1) [ _{a_1}\cdots (w^s)_{a_s} ]

现在我们考虑给定基底计算外积。设 x∈Λs(X)x\in\Lambda_s(X)，(e∗i)a(e^{*i})_a 为 XX 的一个对偶基。则 xx 可以表示为：

xa1⋯as=xi1⋯is(e∗i1)a1⋯(e∗is)asx_{a_1\cdots a_s} = x_{i_1\cdots i_s}(e^{*i_1})_{a_1}\cdots (e^{*i_s})_{a_s}

因为 xa1⋯as=x[a1⋯as]x_{a_1\cdots a_s} = x_{[a_1\cdots a_s]}，所以有：

xa1⋯as=xi1⋯is(e∗i1)[a1⋯(e∗is)as]=1s!xi1⋯is(e∗i1∧⋯∧e∗is)a1⋯as=1s!xi1⋯is(e∗i1)a1∧⋯∧(e∗is)as\begin{aligned} x_{a_1\cdots a_s} &= x_{i_1\cdots i_s}(e^{*i_1})_{[a_1}\cdots (e^{*i_s})_{a_s]}\\ &= \frac{1}{s!}x_{i_1\cdots i_s}(e^{*i_1}\land \cdots \land e^{*i_s})_{a_1\cdots a_s}\\ &= \frac{1}{s!}x_{i_1\cdots i_s}(e^{*i_1})_{a_1}\land \cdots \land(e^{*i_s})_{a_s}\\ \end{aligned}

若不用抽象指标, 外形式 xx 可以展开为：

x=1s!xi1⋯is(e∗i1∧⋯∧e∗is)x =\frac{1}{s!} x_{i_1 \cdots i_s}(e^{*i_1} \land\cdots\land e^{*i_s} )

因此 e∗i1∧⋯∧e∗ise^{*i_1} \land \cdots \land e^{*i_s} 是 Λs(X)\Lambda_s (X) 的基。可以证明 Λs(X)\Lambda_s (X) 的维数为：

dim⁡(Λs(X))=n!s!(n−s)!\dim ( \Lambda_s (X) ) = \frac{n!}{s!(n - s)!}

其中 n=dim⁡(X)n = \dim(X)。

设 {e∗i1⋯e∗in}\{e^{*i_1}\cdots e^{*i_n}\} 为 XX 上的一组基底。我们要从中选取 ss 个不同的基底组成 Λs(X)\Lambda_s(X) 的基底，因此 Λs(X)\Lambda_s(X) 的维数为：

dim⁡(Λs(X))=Csn=n!s!(n−s)!\dim(\Lambda_s(X)) = C^n_s = \frac{n!}{s!(n-s)!}

外代数

类似于定义张量代数，为了定义外代数，我们也需要考虑如下直和空间 (s⩽n)(s \leqslant n)：

Λ(X)=⨁s=0nΛs(X)\Lambda(X) =\bigoplus_{s=0}^n\Lambda_s (X)

其维数为：

dim⁡(Λ(X))=∑s=0nCsn=2n\dim(\Lambda(X)) = \sum_{s=0}^{n} C^n_s = 2^n

Λ(X)\Lambda(X) 中的元素具有形式：

x=⨁s=0nxs,y=⨁s=0nysx = \bigoplus_{s=0}^n x_s,\quad y = \bigoplus_{s=0}^n y_s

它们的外积定义为：

x∧y=⨁s,k=0nxs∧ykx \land y = \bigoplus_{s,k=0}^n x_s\land y_k

线性空间 Λ(X)\Lambda(X) 配以上面定义的外积。我们便建立的一个代数称为 外代数 或 Grassman 代数。外代数在微分几何中是非常重要的代数结构。对于全反对称逆变张量，我们也可以构造相应的外代数。例如 Λs(X)\Lambda^s (X) 代表所有 (s,0)(s,0)-阶全反对称逆变张量形成的空间。相应的外积仍然记为 ∧\land。