特殊张量

Kronecker 张量

张量的反对称化
反对称化将一个一般类型的 (0,s)(0,s)-型张量变成一个 (0,s)(0,s)-型全反对称张量。因此我们可以建立一个映射:

Ts0(X)Λs(X)Ts0(X),Ta1asT[a1as]T^0_s (X) \rightarrow \Lambda_ s (X) \subset T^0_s (X),T_{a_1 \cdots a_s} \mapsto T_{[a_1 \cdots a_s]}

显然这个映射是线性的,因此它对应于一个 (s,s)(s,s)-型张量,可记为 δs\overset{s}{\delta} 若用抽象指标它可以表示如下形式

δsa1asb1bs\overset{s}{\delta}{}_{a_1\cdots a_s}^{b_1\cdots b_s}

T[a1as]=δsa1asb1bsTb1bsT_{[a_1 \cdots a_s]}=\overset{s}{\delta}{}_{a_1\cdots a_s}^{b_1\cdots b_s}T_{b_1 \cdots b_s}

如此容易看出 δs\overset{s}{\delta} 具有性质:δsδs=δs\overset{s}{\delta}\circ\overset{s}{\delta}=\overset{s}{\delta}。用抽象指标形式表示为:

δsa1asc1csδsc1csb1bs=δsa1asb1bs\overset{s}{\delta}{}_{a_1\cdots a_s}^{c_1\cdots c_s}\overset{s}{\delta}{}_{c_1\cdots c_s}^{b_1\cdots b_s} = \overset{s}{\delta}{}_{a_1\cdots a_s}^{b_1\cdots b_s}

利用 δs\overset{s}{\delta} 的定义可得:

δs[a1as]b1bs=δsa1asb1bs\overset{s}{\delta}{}_{[a_1\cdots a_s]}^{b_1\cdots b_s} = \overset{s}{\delta}{}_{a_1\cdots a_s}^{b_1\cdots b_s}

考虑 δa  b\delta_{a}^{\ \ b}δs\overset{s}{\delta} 的作用可得:

δsa1asb1bs=δsc1csb1bsδa1  c1δas  cs=δ[a1  b1δas]  bs=1s!πsign(π)δaπ(1)  b1δaπ(s)  bs=1s!δa1  b1δa1  bsδas  b1δas  bs\begin{aligned} \overset{s}{\delta}{}_{a_1\cdots a_s}^{b_1\cdots b_s} &= \overset{s}{\delta}{}_{c_1\cdots c_s}^{b_1\cdots b_s} \delta_{a_1}^{\ \ c_1}\cdots\delta_{a_s}^{\ \ c_s}\\ &=\delta_{[a_1}^{\ \ b_1}\cdots\delta_{a_s]}^{\ \ b_s}\\ &=\frac{1}{s!}\sum_{\pi}\mathrm{sign}(\pi)\delta_{a_{\pi(1)}}^{\ \ b_1}\cdots\delta_{a_{\pi(s)}}^{\ \ b_s}\\ &=\frac{1}{s!}\begin{vmatrix} \delta_{a_1}^{\ \ b_1} &\cdots &\cdots& \delta_{a_1}^{\ \ b_s}\\ \vdots& & &\vdots\\ \vdots& & &\vdots\\ \delta_{a_s}^{\ \ b_1} &\cdots &\cdots& \delta_{a_s}^{\ \ b_s}\\ \end{vmatrix} \end{aligned}

δa1asb1bs\delta{}_{a_1\cdots a_s}^{b_1\cdots b_s} 称为 ss-阶 Kronecher 张量,定义为

δa1asb1bs=δa1  b1δa1  bsδas  b1δas  bs\delta{}_{a_1\cdots a_s}^{b_1\cdots b_s}=\begin{vmatrix} \delta_{a_1}^{\ \ b_1} &\cdots &\cdots& \delta_{a_1}^{\ \ b_s}\\ \vdots& & &\vdots\\ \vdots& & &\vdots\\ \delta_{a_s}^{\ \ b_1} &\cdots &\cdots& \delta_{a_s}^{\ \ b_s}\\ \end{vmatrix}

δsa1asb1bs=1s!δa1asb1bs\overset{s}{\delta}{}_{a_1\cdots a_s}^{b_1\cdots b_s}=\frac{1}{s!}\delta_{a_1\cdots a_s}^{b_1\cdots b_s}

这样一个张量的反对称化可以用 Kronecker 张量表示为:

Ta1asT[a1as]=1s!δa1asb1bsTb1bsT_{a_1\cdots a_s} \mapsto T_{[a_1\cdots a_s]} = \frac{1}{s!}\delta_{a_1\cdots a_s}^{b_1\cdots b_s}T_{b_1\cdots b_s}

由以上讨论,我们发现 Kronecker 张量满足如下性质:

δa1asb1bs=δ[a1as]b1bs1s!δa1asb1bsδb1bsc1cs=δa1asc1csδa1asb1bs=s!δ[a1b1δas]bs\begin{aligned} &\delta_{a_1\cdots a_s}^{b_1\cdots b_s} = \delta_{[a_1\cdots a_s]}^{b_1\cdots b_s}\\ & \frac{1}{s!}\delta_{a_1\cdots a_s}^{b_1\cdots b_s}\delta_{b_1\cdots b_s}^{c_1\cdots c_s} = \delta_{a_1\cdots a_s}^{c_1\cdots c_s}\\ &\delta^{b_1\cdots b_s}_{a_1\cdots a_s} = s!\delta^{b_1}_{[a_1}\cdots \delta^{b_s}_{a_s]} \end{aligned}

不难发现,Kronecker 张量也能够将任意 (s,0)(s,0)-型张量反对称化,按照相同逻辑,我们能够发现 Kronecker 张量满足:

δa1asb1bs=δa1as[b1bs]δa1asb1bs=s!δa1[b1δasbs]\begin{aligned} &\delta_{a_1\cdots a_s}^{b_1\cdots b_s} = \delta_{a_1\cdots a_s}^{[b_1\cdots b_s]}\\ &\delta^{b_1\cdots b_s}_{a_1\cdots a_s} = s!\delta^{[b_1}_{a_1}\cdots \delta^{b_s]}_{a_s} \end{aligned}


可以证明 Kronecker 张量满足如下恒等式:

1s!δa1asb1bsδb1bsas+1as+qc1cscs+1cs+q=δa1asas+1as+qc1cscs+1cs+q\frac{1}{s!}\delta^{b_1\cdots b_s}_{a_1\cdots a_s} \delta_{b_1\cdots b_sa_{s+1}\cdots a_{s+q}}^{c_1\cdots c_sc_{s+1}\cdots c_{s+q}} = \delta_{a_1\cdots a_sa_{s+1}\cdots a_{s+q}}^{c_1\cdots c_sc_{s+1}\cdots c_{s+q}}

证明:

1s!δa1asb1bsδb1bsas+1as+qc1cscs+1cs+q=1s!πsign(π)δaπ(1)b1δaπ(s)bsδb1bsas+1as+qc1cscs+1cs+q=1s!πsign(π)δaπ(1)aπ(s)as+1as+qc1cscs+1cs+q=δ[a1as]as+1as+qc1cscs+1cs+q=δa1asas+1as+qc1cscs+1cs+q\begin{aligned} \frac{1}{s!}\delta^{b_1\cdots b_s}_{a_1\cdots a_s} \delta_{b_1\cdots b_sa_{s+1}\cdots a_{s+q}}^{c_1\cdots c_sc_{s+1}\cdots c_{s+q}} &= \frac{1}{s!}\sum_{\pi}\mathrm{sign}(\pi) \delta_{a_{\pi(1)}}^{b_1}\cdots\delta_{a_{\pi(s)}}^{b_s}\delta_{b_1\cdots b_sa_{s+1}\cdots a_{s+q}}^{c_1\cdots c_sc_{s+1}\cdots c_{s+q}}\\ &= \frac{1}{s!}\sum_{\pi}\mathrm{sign}(\pi) \delta_{a_{\pi(1)}\cdots a_{\pi(s)}a_{s+1}\cdots a_{s+q}}^{c_1\cdots c_sc_{s+1}\cdots c_{s+q}}\\ &= \delta_{[a_{1}\cdots a_{s}]a_{s+1}\cdots a_{s+q}}^{c_1\cdots c_sc_{s+1}\cdots c_{s+q}}\\ &= \delta_{a_{1}\cdots a_{s}a_{s+1}\cdots a_{s+q}}^{c_1\cdots c_sc_{s+1}\cdots c_{s+q}}\\ \end{aligned}

Kronecker 张量的缩并为:

δa1asb1bsδb1a1δbrar=(ns+r)!(ns)!δar+1asbr+1bs\begin{aligned} \delta^{b_1\cdots b_s}_{a_1\cdots a_s}\delta_{b_1}^{a_1}\cdots \delta_{b_r}^{a_r} = \frac{(n-s+r)!}{(n-s)!}\delta_{a_{r+1}\cdots a_s}^{b_{r+1}\cdots b_s} \end{aligned}

其中 r<sr<snn 是线性空间 XX 的维数。当 r=sr = s 时,可得:

δa1asa1as=n!(ns)!\delta^{a_1\cdots a_s}_{a_1\cdots a_s} = \frac{n!}{(n-s)!}

证明:
不妨先来看上式的简单情形,当 r=1r = 1 时,我们要证明:

δa1asb1bsδb1a1=(ns+1)δa2asb2bs\delta^{b_1\cdots b_s}_{a_1\cdots a_s}\delta_{b_1}^{a_1} = (n-s+1)\delta_{a_{2}\cdots a_s}^{b_{2}\cdots b_s}

可以得到右边为:

δa1asb1bsδb1a1=δa1asa1bs=δa1  a1δa1  b2δa1  bsδa2  a1δa2  b2δa2  bsδas  a1δas  b2δas  bs=δa1  a1δa2  b2δa1  bsδas  b2δas  bs(s1)δa1  b2δa2  a1δa2  bsδas  a1δas  bs=nδa2  b2δa1  bsδas  b2δas  bs(s1)δa2  b2δa2  bsδas  b2δas  bs=(ns+1)δa2asb2bs\begin{aligned} \delta^{b_1\cdots b_s}_{a_1\cdots a_s}\delta_{b_1}^{a_1} &= \delta{}_{a_1\cdots a_s}^{a_1\cdots b_s}\\ &=\begin{vmatrix} \delta_{a_1}^{\ \ a_1} & \delta_{a_1}^{\ \ b_2} &\cdots &\cdots& \delta_{a_1}^{\ \ b_s}\\ \delta_{a_2}^{\ \ a_1} & \delta_{a_2}^{\ \ b_2} &\cdots &\cdots& \delta_{a_2}^{\ \ b_s}\\ \vdots& \vdots& & &\vdots\\ \vdots& \vdots& & &\vdots\\ \delta_{a_s}^{\ \ a_1} &\delta_{a_s}^{\ \ b_2} &\cdots&\cdots& \delta_{a_s}^{\ \ b_s}\\ \end{vmatrix}\\ &= \delta_{a_1}^{\ \ a_1}\begin{vmatrix} \delta_{a_2}^{\ \ b_2} &\cdots &\cdots& \delta_{a_1}^{\ \ b_s}\\ \vdots& & &\vdots\\ \vdots& & &\vdots\\ \delta_{a_s}^{\ \ b_2} &\cdots &\cdots& \delta_{a_s}^{\ \ b_s}\\ \end{vmatrix} - (s-1) \delta_{a_1}^{\ \ b_2}\begin{vmatrix} \delta_{a_2}^{\ \ a_1} &\cdots &\cdots& \delta_{a_2}^{\ \ b_s}\\ \vdots& & &\vdots\\ \vdots& & &\vdots\\ \delta_{a_s}^{\ \ a_1} &\cdots &\cdots& \delta_{a_s}^{\ \ b_s}\\ \end{vmatrix}\\ &= n\begin{vmatrix} \delta_{a_2}^{\ \ b_2} &\cdots &\cdots& \delta_{a_1}^{\ \ b_s}\\ \vdots& & &\vdots\\ \vdots& & &\vdots\\ \delta_{a_s}^{\ \ b_2} &\cdots &\cdots& \delta_{a_s}^{\ \ b_s}\\ \end{vmatrix} - (s-1) \begin{vmatrix} \delta_{a_2}^{\ \ b_2} &\cdots &\cdots& \delta_{a_2}^{\ \ b_s}\\ \vdots& & &\vdots\\ \vdots& & &\vdots\\ \delta_{a_s}^{\ \ b_2} &\cdots &\cdots& \delta_{a_s}^{\ \ b_s}\\ \end{vmatrix}\\ &= (n-s+1)\delta^{b_2\cdots b_s}_{a_2\cdots a_s} \end{aligned}

如此可以递推得到:

δa1asb1bsδb1a1δbrar=(ns+r)!(ns)!δar+1asbr+1bs\begin{aligned} \delta^{b_1\cdots b_s}_{a_1\cdots a_s}\delta_{b_1}^{a_1}\cdots \delta_{b_r}^{a_r} = \frac{(n-s+r)!}{(n-s)!}\delta_{a_{r+1}\cdots a_s}^{b_{r+1}\cdots b_s} \end{aligned}

上述证明实际上应用了 Kronecker 张量的拉普拉斯展开

δbb1bsaa1as=δbaδb1bsa1asi=1s(1)iδbiaδb1bi1bbi+1bsa1ai1aiai+1as{\delta}{}^{aa_1\cdots a_s}_{bb_1\cdots b_s}={\delta}{}^{a}_{b}{\delta}{}^{a_1\cdots a_s}_{b_1\cdots b_s}-\sum_{i=1}^s(-1)^i {\delta}{}^{a}_{b_i}{\delta}{}^{a_1\cdots a_{i-1}a_ia_{i+1}\cdots a_s}_{b_1\cdots b_{i-1}bb_{i+1}\cdots b_s}

AabA_a^b 是一个 (1,1)(1,1)-型张量,则我们可以定义一个关于 AabA_a^b
标量

detA=1n!δb1bna1anAa1  b1Aan  bn\det A =\frac{1}{n!} \delta^{a_1 \cdots a_n}_{b_1 \cdots b_n}A_{a_1}^{\ \ b_1}\cdots A_{a_n}^{\ \ b_n}

选取基底后成为:

detA=1n!δj1jni1inAi1  j1Ain  jn\det A =\frac{1}{n!} \delta^{i_1 \cdots i_n}_{j_1 \cdots j_n}A_{i_1}^{\ \ j_1}\cdots A_{i_n}^{\ \ j_n}

其中 δj1jni1in\delta^{i_1 \cdots i_n}_{j_1 \cdots j_n} 为 Kronecker 张量在给定基底下的分量。因此标量 detA\det A 是将 Aa  bA_a^{\ \ b} 看作一个 n×nn\times n 矩阵对应的行列式。

Levi-Civita 张量

nn-维度线性空间 XX 的基为 {(ei)a}\{(e_i)^a\} 和其对偶基 {(ei)a}\{(e^{*i})_a\},则对任意一个 (0,s)(0,s)-型反对称张量 xx 可以表示为:

xa1as=1s!xi1is(ei1)a1(eis)asx_{a_1\cdots a_s} = \frac{1}{s!}x_{i_1\cdots i_s}(e^{*i_1})_{a_1}\land \cdots \land(e^{*i_s})_{a_s}

另外利用 Kronecker 张量,可以将其表示为:

x[a1as]=1s!δa1asb1bsxb1bs=1s!δa1asb1bsxi1is(ei1)b1(eis)bs\begin{aligned} x_{[a_1 \cdots a_s]} &= \frac{1}{s!}\delta_{a_1\cdots a_s}^{b_1\cdots b_s}x_{b_1\cdots b_s}\\ &= \frac{1}{s!}\delta_{a_1\cdots a_s}^{b_1\cdots b_s}x_{i_1\cdots i_s}(e^{*i_1})_{b_1}\cdots (e^{*i_s})_{b_s}\\ \end{aligned}

对比以上两式子,可以将 Λs(X)\Lambda_s(X) 的基写为:

(ei1)a1(eis)as=δa1asb1bs(ei1)b1(eis)bs(e^{*i_1})_{a_1}\land \cdots \land(e^{*i_s})_{a_s} = \delta_{a_1\cdots a_s}^{b_1\cdots b_s}(e^{*i_1})_{b_1}\cdots (e^{*i_s})_{b_s}

特别的,由于 Λn(X)\Lambda_n (X)11-维的,它的基可以表示为:

ea1an=(e1)a1(en)an=δa1anc1cn(e1)c1(en)cn\begin{aligned} e_{a_1\cdots a_n}&=(e^{* 1})_ {a_1}\land\cdots\land(e^{* n})_ {a_n}\\ &=\delta_{a_1\cdots a_n}^{c_1\cdots c_n}(e^{* 1})_ {c_1}\cdots(e^{* n})_ {c_n} \end{aligned}

Λn(X)Λ_n (X) 的基可以表示为:

ea1an=(e1)a1(en)an=δc1cna1an(e1)c1(en)cn\begin{aligned} e^{* a_1\cdots a_n}&=(e_{ 1})^ {a_1}\land\cdots\land(e_{ n})^ {a_n}\\ &=\delta^{a_1\cdots a_n}_{c_1\cdots c_n}(e_{ 1})^{c_1}\cdots(e_{ n})^ {c_n} \end{aligned}

可以得到:

ea1aneb1bn=δa1anb1bne_{a_1\cdots a_n}e^{*b_1\cdots b_n} = \delta_{a_1\cdots a_n}^{b_1\cdots b_n}

证明:

ea1aneb1bn=δa1anc1cn(e1)c1(en)cnδd1dnb1bn1s!πsign(π)(eπ(1))d1(eπ(n))dn=1s!πsign(π)δa1anc1cnδd1dnb1bn(δπ(1)1)c1d1(δπ(n)n)cndn=1s!δa1anc1cnδc1cnb1bn=δa1anb1bn\begin{aligned} e_{a_1\cdots a_n}e^{*b_1\cdots b_n} &= \delta_{a_1\cdots a_n}^{c_1\cdots c_n}(e^{* 1})_ {c_1}\cdots(e^{* n})_ {c_n} \delta^{b_1\cdots b_n}_{d_1\cdots d_n} \frac{1}{s!}\sum_{\pi} \mathrm{sign}(\pi) (e_{\pi(1)})^{d_1}\cdots (e_{\pi(n)})^{d_n}\\ &= \frac{1}{s!}\sum_{\pi}\mathrm{sign}(\pi)\delta_{a_1\cdots a_n}^{c_1\cdots c_n}\delta^{b_1\cdots b_n}_{d_1\cdots d_n} (\delta^{1}_{\pi(1)})^{d_1}_{c_1}\cdots(\delta^{n}_{\pi(n)})^{d_n}_{c_n}\\ &= \frac{1}{s!}\delta_{a_1\cdots a_n}^{c_1\cdots c_n}\delta^{b_1\cdots b_n}_{c_1\cdots c_n} = \delta_{a_1\cdots a_n}^{b_1\cdots b_n}\\ \end{aligned}

因为 Λn(X)\Lambda_n(X)11-维的,任意一个 nn-形式 xa1an=x[a1an]x_{a_1\cdots a_n} = x_{[a_1\cdots a_n]} 都可以表示为如下形式:

xa1an=λea1an,λKx_{a_1\cdots a_n} = \lambda e_{a_1\cdots a_n},\quad \lambda \in \mathbb{K}

其分量可以表示为:

xi1in=λei1inx_{i_1\cdots i_n} = \lambda e_{i_1\cdots i_n}

容易得到分量 ei1ine_{i_1\cdots i_n} 的取值为 +1,1,0+1,-1,0,取决于 (i1,,in)(i_1,\cdots,i_n)(1,,n)(1,\cdots,n) 偶排列,奇排列或其他。因此 xi1inx_{i_1\cdots i_n} 的值为 λ,λ,0\lambda,-\lambda,0

反对称张量 {ea1an}\{e_{a_1 \cdots a_n}\}{ea1an}\{e^{* a_1 \cdots a_n}\} 分别称为在基 {(ei)a}\{(e_i )^a \}{(ei)a}\{(e^{ *i} )_a \} 下的 Levi-Civita 张量逆变 Levi -Civita 张量

Levi-Civita 张量继承了 Kronecker 张量的一些性质:

ea1arar+1anea1arbr+1bn=δa1arar+1ana1arbr+1bn=r!δar+1anbr+1bn\begin{aligned} e_{a_1\cdots a_r a_{r+1}\cdots a_n} e^{*a_1\cdots a_r b_{r+1}\cdots b_n} &= \delta_{a_1\cdots a_r a_{r+1}\cdots a_n}^{a_1\cdots a_r b_{r+1}\cdots b_n}\\ &= r! \delta_{a_{r+1}\cdots a_n}^{b_{r+1}\cdots b_n}\\ \end{aligned}

以及:

δa1anb1bneb1bn=δa1anb1bnδb1bnc1cn(e1)c1(en)cn=n!δa1anc1cn(e1)c1(en)cn=n!ea1an\begin{aligned} \delta^{b_1\cdots b_n}_{a_1\cdots a_n}e_{b_1\cdots b_n} &= \delta^{b_1\cdots b_n}_{a_1\cdots a_n}\delta^{c_1\cdots c_n}_{b_1\cdots b_n}(e^{*1})_{c_1}\cdots(e^{*n})_{c_n}\\ &= n! \delta^{c_1\cdots c_n}_{a_1\cdots a_n}(e^{*1})_{c_1}\cdots(e^{*n})_{c_n}\\ &= n!e_{a_1\cdots a_n}\\ \end{aligned}

还有与矩阵行列式的关系:

detA=1n!δb1bna1anAa1  b1Aan  bnea1andetA=eb1bnAa1  b1Aan  bn\begin{aligned} \det A &= \frac{1}{n!} \delta^{a_1 \cdots a_n}_{b_1 \cdots b_n}A_{a_1}^{\ \ b_1}\cdots A_{a_n}^{\ \ b_n}\\ e_{a_1\cdots a_n}\det A &= e_{b_1\cdots b_n}A_{a_1}^{\ \ b_1}\cdots A_{a_n}^{\ \ b_n}\\ \end{aligned}

考虑基底的变换 eie~i=Ai  kek,ei(A1)k  ieke_i\rightarrow \tilde{e}_i=A_i^{\ \ k}e_k,e^{* i}\rightarrow(A^{-1})_ {k}^{\ \ i}e^{* k},得到 Levi-Civita 张量分量的变换为:

ei1in=(detA)e~i1inei1in=(detA1)e~i1in\begin{aligned} &e^{* i_1\cdots i_n}=(\det A)\tilde{e}^{* i_1\cdots i_n}\\ &e_{ i_1\cdots i_n}=(\det A^{-1})\tilde{e}_{ i_1\cdots i_n}\\ \end{aligned}

Kronecker 张量是不依赖于基底选取的,但 Levi-Civita 张量却依赖于基底的选取。这点由他们的定义容易看出。很多时候人们称Levi-Civita 张量为 Levi-Civita 符号,并强调它不是张量。我们这里依然称其为张量,但强调它是基底依赖的张量。