海森堡绘景

我们之前一直在 薛定谔绘景 Schrödinger picture 中讨论问题，在薛定谔绘景中：

  1. 态矢 ∣ψ⟩|\psi\rangle 随时间演化。

  2. 算子 A^\hat{A} 不 随时间演化。

态矢随时间的演化满足薛定谔方程：

i∂∂t∣ψ(t)⟩=H∣ψ(t)⟩(1)i\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle = H|\psi(t)\rangle\tag{1}

上式若在特定的表象下写出（例如坐标表象）：

i∂∂tψ(x,t)=Hψ(x,t)i\frac{\partial}{\partial t}\psi(\bm{x},t) = H\psi(\bm{x},t)

这是我们所熟悉的形式。

方程 (1)(1) 的形式解为：

∣ψ(t)⟩=exp⁡(−iHt)∣ψ(0)⟩(2)|\psi(t)\rangle = \exp(-iHt)|\psi(0)\rangle \tag{2}

若哈密顿量含时（例如含有依赖时间的势能项），那么 (1)(1) 的形式解为：

∣ψ(t)⟩=exp⁡(−i∫0tH(t′)dt′)∣ψ(0)⟩|\psi(t)\rangle = \exp(-i\int_{0}^{t} H(t')dt')|\psi(0)\rangle

若哈密顿量在不同时刻的值并不对易，还要引入 时序符号 time-ordered symbol：

∣ψ(t)⟩=T{exp⁡(−i∫0tH(t′)dt′)}∣ψ(0)⟩|\psi(t)\rangle = T\{\exp(-i\int_{0}^{t} H(t')dt')\}|\psi(0)\rangle

我们不做过多讨论，以下默认哈密顿量不含时，我们直接应用 (2)(2)。

我们引入一个算子 UU，其定义为：

U(t,0)≡exp⁡(−iHt)U(t,0) \equiv \exp(-iHt)

一般来说：

U(t1,t2)≡exp⁡(−iH(t1−t2))U(t_1,t_2) \equiv \exp(-iH(t_1-t_2))

不难得到 UU 具有以下性质：

  1. U(t1,t2)U†(t1,t2)=1U(t_1,t_2)U^\dagger(t_1,t_2) = 1 幺正性

  2. U†(t1,t2)=U(t2,t1)U^\dagger(t_1,t_2) = U(t_2,t_1)

  3. U(t1,t2)U(t2,t3)=U(t1,t3)U(t_1,t_2)U(t_2,t_3)=U(t_1,t_3)

  4. [H,U]=0[H,U]=0

那么在薛定谔绘景下，态矢的演化可以用 UU 表示为:

∣ψ(t)⟩S=U(t,0)∣ψ(0)⟩S(3)|\psi(t)\rangle_{\mathcal{S}} = U(t,0)|\psi(0)\rangle_{\mathcal{S}}\tag{3}

取共轭，得到左矢量的演化规则：

S⟨ψ(t)∣=S⟨ψ(0)∣U†(t,0)(4){}_{\mathcal{S}}\langle \psi(t)| = {}_{\mathcal{S}}\langle \psi(0)| U^\dagger(t,0) \tag{4}

这里我们使用下标 S\mathcal{S} 表示薛定谔绘景，以下相应会用下标 H\mathcal{H} 表示海森堡绘景。

现在我们在 海森堡绘景 Heisenberg picture 中进行讨论。在海森堡绘景中：

  1. 态矢 ∣ψ⟩|\psi\rangle 不 随时间演化。

  2. 算子 A^\hat{A} 随时间演化。

我们假设在 t=0t=0 时，所有绘景中算子和态矢的取值相同。而根据海森堡绘景中的定义，其态矢为：

∣ψ(t)⟩H≡∣ψ(0)⟩H=∣ψ(0)⟩S(4)|\psi(t)\rangle_{\mathcal{H}} \equiv |\psi(0)\rangle_{\mathcal{H}} = |\psi(0)\rangle_{\mathcal{S}} \tag{4}

物理量的观测值是 绘景无关 的。这意味着：

⟨A^⟩=H⟨ψ∣A^H(t)∣ψ⟩H=S⟨ψ(t)∣A^S∣ψ(t)⟩S(5)\langle\hat{A}\rangle = {}_{\mathcal{H}}\langle \psi| \hat{A}_{\mathcal{H}}(t) |\psi\rangle_{\mathcal{H}} = {}_{\mathcal{S}}\langle \psi(t)| \hat{A}_{\mathcal{S}}|\psi(t)\rangle_{\mathcal{S}} \tag{5}

其中：

H⟨ψ∣A^H(t)∣ψ⟩H=S⟨ψ(0)∣A^H(t)∣ψ(0)⟩S=S⟨ψ(t)∣U(t,0)A^H(t)U†(t,0)∣ψ(t)⟩S=S⟨ψ(t)∣A^S∣ψ(t)⟩S\begin{aligned} {}_{\mathcal{H}}\langle \psi| \hat{A}_{\mathcal{H}}(t) |\psi\rangle_{\mathcal{H}} &= {}_{\mathcal{S}}\langle \psi(0)| \hat{A}_{\mathcal{H}}(t) |\psi(0)\rangle_{\mathcal{S}}\\ &= {}_{\mathcal{S}}\langle \psi(t)| U(t,0)\hat{A}_{\mathcal{H}}(t)U^\dagger(t,0) |\psi(t)\rangle_{\mathcal{S}}\\ &= {}_{\mathcal{S}}\langle \psi(t)| \hat{A}_{\mathcal{S}}|\psi(t)\rangle_{\mathcal{S}}\\ \end{aligned}

得到：

A^H(t)=U†(t,0)A^SU(t,0)(6)\hat{A}_{\mathcal{H}}(t) = U^\dagger(t,0)\hat{A}_{\mathcal{S}}U(t,0) \tag{6}

海森堡绘景中，算子满足的运动方程为：

∂∂tA^H(t)=(∂∂tU†(t,0))A^SU(t,0)+U†(t,0)A^S(∂∂tU(t,0))=iHU†(t,0)A^SU(t,0)−U†(t,0)A^SU(t,0)iH=iHA^H(t)−iA^H(t)H=i[H,A^H(t)](7)\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t} \hat{A}_{\mathcal{H}}(t) &= (\frac{\partial}{\partial t}U^\dagger(t,0))\hat{A}_{\mathcal{S}}U(t,0) + U^\dagger(t,0)\hat{A}_{\mathcal{S}}(\frac{\partial}{\partial t}U(t,0))\\ &= iHU^\dagger(t,0)\hat{A}_{\mathcal{S}}U(t,0) - U^\dagger(t,0)\hat{A}_{\mathcal{S}}U(t,0)iH\\ &=iH\hat{A}_{\mathcal{H}}(t)-i\hat{A}_{\mathcal{H}}(t)H\\ &=i[H,\hat{A}_{\mathcal{H}}(t)] \end{aligned}\tag{7}

这就是 海森堡方程 Heisenberg equation ，即海森堡绘景下的运动方程。

海森堡绘景下的 Klein-Gordon 场

现在，我们需要在海森堡绘景下讨论 Klein-Gordon 场。

首先，场量、动量应当依赖于时间，根据 (6)(6) 式，有:

ϕ^(x)=ϕ^(x,t)=eiHtϕ^(x)e−iHtπ^(x)=π^(x,t)=eiHtπ^(x)e−iHt\begin{aligned} \hat{\phi}(x) &= \hat{\phi}(\bm{x},t) = e^{iHt}\hat{\phi}(\bm{x})e^{-iHt}\\ \hat{\pi}(x) &= \hat{\pi}(\bm{x},t) = e^{iHt}\hat{\pi}(\bm{x})e^{-iHt}\\ \end{aligned}

我们这里的表示：xx 指四维坐标，x\bm{x} 指空间坐标。注意这里已经进行过一次量子化了，所以才可以谈论相应的绘景：ϕ^(x)\hat{\phi}(x) 对应于海森堡绘景，ϕ^(x)\hat{\phi}(\bm{x}) 对应于薛定谔绘景。

在海森堡绘景中，有 等时对易关系：

[ϕ^(x,t),π^(x′,t)]=e−iHt[ϕ^(x),π^(x′)]eiHt=iδ(x−x′)(8)[\hat{\phi}(\bm{x},t),\hat{\pi}(\bm{x}',t)] = e^{-iHt}[\hat{\phi}(\bm{x}),\hat{\pi}(\bm{x}')]e^{iHt} = i\delta(\bm{x}-\bm{x}') \tag{8}

对应的运动方程为：

∂∂tϕ^(x,t)=i[H,ϕ^(x,t)]=i[∫d3x′(12π^2(x′,t)+12(∇′ϕ^(x′,t))2+12m2ϕ^2(x′,t),ϕ^(x,t)]=i[∫d3x′12π^2(x′,t),ϕ^(x,t)]=i2∫d3x′[π^2(x′,t),ϕ^(x,t)]=∫d3x′π^(x′,t)δ(3)(x−x′)=π^(x,t)(9)\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t}\hat{\phi}(\bm{x},t) &= i[H,\hat{\phi}(\bm{x},t)]\\ &= i[\int d^3x'(\frac{1}{2}\hat{\pi}^2(\bm{x}',t)+\frac{1}{2}(\nabla'\hat{\phi}(\bm{x}',t))^2 +\frac{1}{2}m^2\hat{\phi}^2(\bm{x}',t),\hat{\phi}(\bm{x},t)]\\ &= i[\int d^3x' \frac{1}{2}\hat{\pi}^2(\bm{x}',t),\hat{\phi}(\bm{x},t)]\\ &= \frac{i}{2} \int d^3x' [\hat{\pi}^2(\bm{x}',t),\hat{\phi}(\bm{x},t)]\\ &= \int d^3x'\hat{\pi}(\bm{x}',t) \delta^{(3)}(\bm{x}-\bm{x}') \\ &= \hat{\pi}(\bm{x},t) \end{aligned}\tag{9}

∇′\nabla' 表示对 x′\bm{x}' 求偏导。

以及：

∂∂tπ^(x,t)=i[H,π^(x,t)]=i[∫d3x′(12π^2(x′,t)+12(∇′ϕ^(x′,t))2+12m2ϕ^2(x′,t),π^(x,t)]=i[∫d3x′(12(∇′ϕ^(x′,t))2+12m2ϕ^2(x′,t),π^(x,t)](10)\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t}\hat{\pi}(\bm{x},t) &= i[H,\hat{\pi}(\bm{x},t)]\\ &= i[\int d^3x'(\frac{1}{2}\hat{\pi}^2(\bm{x}',t)+\frac{1}{2}(\nabla'\hat{\phi}(\bm{x}',t))^2 +\frac{1}{2}m^2\hat{\phi}^2(\bm{x}',t),\hat{\pi}(\bm{x},t)]\\ &= i[\int d^3x'(\frac{1}{2}(\nabla'\hat{\phi}(\bm{x}',t))^2 +\frac{1}{2}m^2\hat{\phi}^2(\bm{x}',t),\hat{\pi}(\bm{x},t)]\\ \end{aligned}\tag{10}

考虑到：

∫d3x12[(∇′ϕ^(x′,t))2,π^(x,t)]=∫d3x′∇′ϕ^(x′,t)[∇′ϕ^(x′,t),π^(x,t)]=∫d3x′∇′ϕ^(x′,t)∇′[ϕ^(x′,t),π^(x,t)]=−∫d3x′∇′ϕ^(x′,t)∇′δ(x′−x)=−∫d3x′∇′(∇′ϕ^(x′,t)δ(x′−x))−δ(x′−x)∇′2ϕ^(x′,t)=−∫ΣdS⋅∇′ϕ^(x′,t)δ(x′−x)+∫d3x′δ(x′−x)∇′2ϕ^(x′,t)=∇2ϕ^(x,t)\begin{aligned} \int d^3x \frac{1}{2}[(\nabla'\hat{\phi}(\bm{x}',t))^2,\hat{\pi}(\bm{x},t)] &= \int d^3x' \nabla'\hat{\phi}(\bm{x}',t) [\nabla'\hat{\phi}(\bm{x}',t),\hat{\pi}(\bm{x},t)]\\ &= \int d^3x' \nabla'\hat{\phi}(\bm{x}',t) \nabla' [\hat{\phi}(\bm{x}',t),\hat{\pi}(\bm{x},t)]\\ &= -\int d^3x' \nabla'\hat{\phi}(\bm{x}',t) \nabla' \delta(\bm{x}'-\bm{x})\\ &= -\int d^3x' \nabla'(\nabla'\hat{\phi}(\bm{x}',t) \delta(\bm{x}'-\bm{x})) - \delta(\bm{x}'-\bm{x})\nabla'^2\hat{\phi}(\bm{x}',t)\\ &= -\int_{\Sigma}dS\cdot \nabla'\hat{\phi}(\bm{x}',t) \delta(\bm{x}'-\bm{x}) + \int d^3x'\delta(\bm{x}'-\bm{x})\nabla'^2\hat{\phi}(\bm{x}',t)\\ &= \nabla^2\hat{\phi}(\bm{x},t)\\ \end{aligned}

倒数第二行中第一项为零，因为可以选取 Σ\Sigma 使，x∉Σx \notin \Sigma。

代入 (10)(10) 式中，得到：

∂∂tπ^(x,t)=(∇2−m2)ϕ^(x,t)(11)\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t}\hat{\pi}(\bm{x},t) &= (\nabla^2-m^2)\hat{\phi}(\bm{x},t) \end{aligned}\tag{11}

方程 (9)(11)(9)(11) 实际上就会给出 Klein-Gordon 方程：

∂2∂t2ϕ^(x,t)=(∇2−m2)ϕ^(x,t)(12)\frac{\partial^2}{\partial t^2}\hat{\phi}(\bm{x},t) = (\nabla^2-m^2)\hat{\phi}(\bm{x},t) \tag{12}

在量子化的过程中，我们引入了阶梯算子，在海森堡绘景下它们也应当是随时间演化的：

考虑到：

[H,a^p]=−Epa^p⇒Ha^p=a^p(H−Ep)[H,\hat{a}_{\bm{p}}] = -E_{\bm{p}}\hat{a}_{\bm{p}}\Rightarrow H\hat{a}_{\bm{p}} = \hat{a}_{\bm{p}}(H-E_{\bm{p}})

由此：

eiHta^p=∑n=0∞(it)nHnn!a^p=a^p∑n=0∞(it)n(H−Ep)nn!=a^pei(H−Ep)t\begin{aligned} e^{iHt}\hat{a}_{\bm{p}} &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(it)^nH^n}{n!}\hat{a}_{\bm{p}}\\ &= \hat{a}_{\bm{p}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(it)^n(H-E_{\bm{p}})^n}{n!}\\ &= \hat{a}_{\bm{p}}e^{i(H-E_{\bm{p}})t} \end{aligned}

于是得到以下关系，给出了海森堡绘景中的阶梯算子表达式：

{eiHta^pe−iHt=a^pe−iEpteiHta^p†e−iHt=a^p†eiEpt(13)\left\{ \begin{aligned} &e^{iHt}\hat{a}_{\bm{p}}e^{-iHt} = \hat{a}_{\bm{p}}e^{-iE_{\bm{p}}t}\\ &e^{iHt}\hat{a}^\dagger_{\bm{p}}e^{-iHt} = \hat{a}^\dagger_{\bm{p}}e^{iE_{\bm{p}}t}\\ \end{aligned} \right.\tag{13}

Klein-Gordon 场可以用阶梯算子表示为：

ϕ^(x,t)=eiHtϕ^(x)e−iHt=eiHt[∫d3p(2π)312Ep(a^peip⋅x+a^p†e−ip⋅x)]e−iHt=∫d3p(2π)312Ep(eiHta^pe−iHteip⋅x+eiHta^p†e−iHte−ip⋅x)=∫d3p(2π)312Ep(a^pe−i(Ept−p⋅x)+a^p†ei(Ept−p⋅x))=∫d3p(2π)312Ep(a^pe−ip⋅x+a^p†eip⋅x)(14)\begin{aligned} \hat{\phi}(\bm{x},t) &= e^{iHt}\hat{\phi}(\bm{x})e^{-iHt}\\ &= e^{iHt}[\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2E_{\bm{p}}}}(\hat{a}_{\bm{p}}e^{i\bm{p}\cdot\bm{x}}+\hat{a}_{\bm{p}}^\dagger e^{-i\bm{p}\cdot\bm{x}})]e^{-iHt}\\ &= \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2E_{\bm{p}}}}(e^{iHt}\hat{a}_{\bm{p}}e^{-iHt}e^{i\bm{p}\cdot\bm{x}}+e^{iHt}\hat{a}_{\bm{p}}^\dagger e^{-iHt}e^{-i\bm{p}\cdot\bm{x}})\\ &= \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2E_{\bm{p}}}}(\hat{a}_{\bm{p}}e^{-i(E_{\bm{p}}t-\bm{p}\cdot\bm{x})}+\hat{a}_{\bm{p}}^\dagger e^{i(E_{\bm{p}}t-\bm{p}\cdot\bm{x})})\\ &= \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2E_{\bm{p}}}}(\hat{a}_{\bm{p}}e^{-ip\cdot x}+\hat{a}_{\bm{p}}^\dagger e^{ip\cdot x})\\ \end{aligned} \tag{14}

利用运动方程 (9)(9)，可以得到：

π^(x,t)=∂ϕ^(x,t)∂t=∫d3p(2π)3(−i)Ep2(a^pe−ip⋅x+a^p†eip⋅x)\hat{\pi}(\bm{x},t) = \frac{\partial \hat{\phi}(\bm{x},t)}{\partial t}= \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} (-i)\sqrt{\frac{E_{\bm{p}}}{2}}(\hat{a}_{\bm{p}}e^{-ip\cdot x}+\hat{a}_{\bm{p}}^\dagger e^{ip\cdot x})

注意到对易关系：

[P^,a^p]=−pa^p(15)[\hat{\bm{P}},\hat{a}_{\bm{p}}] = -\bm{p}\hat{a}_{\bm{p}}\tag{15}

注意 P^\hat{\bm{P}} 为动量算子，p\bm{p} 为动量算子的一个本征值。

可以得到：

{e−iP^⋅xa^peiP^⋅x=a^peip⋅xe−iP^⋅xa^p†eiP^⋅x=a^p†e−ip⋅x(16)\left\{ \begin{aligned} &e^{-i\hat{\bm{P}}\cdot\bm{x}}\hat{a}_{\bm{p}}e^{i\hat{\bm{P}}\cdot\bm{x}} = \hat{a}_{\bm{p}}e^{i\bm{p}\cdot\bm{x}}\\ &e^{-i\hat{\bm{P}}\cdot\bm{x}}\hat{a}^\dagger_{\bm{p}}e^{i\hat{\bm{P}}\cdot\bm{x}} = \hat{a}^\dagger_{\bm{p}}e^{-i\bm{p}\cdot\bm{x}}\\ \end{aligned} \right.\tag{16}

此时，注意到 (14)(14) 式的形式，可以写为：

ϕ^(x,t)=∫d3p(2π)312Ep(a^pe−ip⋅x+a^p†eip⋅x)=ei(Ht−P^⋅x)ϕ^(0)e−i(Ht−P^⋅x)=eiP⋅xϕ^(0)e−iP⋅x(17)\begin{aligned} \hat{\phi}(\bm{x},t) &=\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2E_{\bm{p}}}}(\hat{a}_{\bm{p}}e^{-ip\cdot x}+\hat{a}_{\bm{p}}^\dagger e^{ip\cdot x})\\ &= e^{i(Ht-\hat{\bm{P}}\cdot \bm{x})}\hat{\phi}(0)e^{-i(Ht-\hat{\bm{P}}\cdot \bm{x})}\\ &= e^{iP\cdot x}\hat{\phi}(0)e^{-iP\cdot x}\\ \end{aligned}\tag{17}

传播子与因果性

在薛定谔绘景中，态矢 ∣y⟩|\bm{y}\rangle 在演化 tt 时间后与态矢 ∣x⟩|\bm{x}\rangle 的重叠程度为：

⟨x∣e−iHt∣y⟩\langle\bm{x}|e^{-iHt}|\bm{y}\rangle

这可以解释为一个粒子从 y\bm{y} 传播到 x\bm{x} 的概率幅，这总是一个非零值。在场论中，我们也可以构造一个类似的 传播子 propagator（假设 x0>y0x^0>y^0）：

⟨x∣e−iHt∣y⟩∼⟨0∣ϕ^(x)e−iHtϕ^(y)∣0⟩=⟨0∣eiHx0ϕ^(x)e−iHx0eiHy0ϕ^(y)e−iHy0∣0⟩=⟨0∣ϕ^(x)ϕ^(y)∣0⟩≡D(x−y)\begin{aligned} \langle\bm{x}|e^{-iHt}|\bm{y}\rangle &\sim \langle 0|\hat{\phi}(\bm{x})e^{-iHt}\hat{\phi}(\bm{y})|0\rangle\\ &= \langle 0|e^{iHx^0}\hat{\phi}(\bm{x})e^{-iHx^0}e^{iHy^0}\hat{\phi}(\bm{y})e^{-iHy^0}|0\rangle\\ &=\langle 0|\hat{\phi}(x)\hat{\phi}(y)|0\rangle \equiv D(x-y)\\ \end{aligned}

对于 Klein-Gordon 场的情形，有

D(x−y)=⟨0∣ϕ^(x)ϕ^(y)∣0⟩=∫d3pd3q(2π)614EpEqe−i(p⋅x−q⋅y)⟨0∣a^pa^q†∣0⟩=∫d3pd3q(2π)614EpEqe−i(p⋅x−q⋅y)⟨0∣[a^p,a^q†]∣0⟩=∫d3p(2π)312Epe−ip⋅(x−y)(18)\begin{aligned} D(x-y) &= \langle 0|\hat{\phi}(x)\hat{\phi}(y)|0\rangle\\ &= \int \frac{d^3pd^3q}{(2\pi)^6}\frac{1}{\sqrt{4E_{\bm{p}}E_{\bm{q}}}} e^{-i(p\cdot x-q\cdot y)}\langle 0| \hat{a}_{\bm{p}}\hat{a}^\dagger_{\bm{q}}|0\rangle\\ &= \int \frac{d^3pd^3q}{(2\pi)^6}\frac{1}{\sqrt{4E_{\bm{p}}E_{\bm{q}}}} e^{-i(p\cdot x-q\cdot y)}\langle 0| [\hat{a}_{\bm{p}},\hat{a}^\dagger_{\bm{q}}]|0\rangle\\ &= \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bm{p}}} e^{-ip\cdot (x-y)}\\ \end{aligned}\tag{18}

可以看出，D(x−y)D(x-y) 是一个洛伦兹不变的量。进一步的，我们想讨论如下物理量：

⟨0∣[ϕ^(x),ϕ^(y)]∣0⟩=∫d3p(2π)312Ep(e−ip⋅(x−y)−eip⋅(x−y))=D(x−y)−D(y−x)(19)\begin{aligned} \langle 0|[\hat{\phi}(x),\hat{\phi}(y)]|0\rangle &= \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bm{p}}} (e^{-ip\cdot (x-y)}-e^{ip\cdot (x-y)})\\ &= D(x-y)-D(y-x)\tag{19} \end{aligned}

我们对这个 (19)(19) 式的结果做一些分析。

  • 当间隔 x−yx-y 是 类空 space like（(x−y)2<0(x-y)^2<0）时，我们总可以找到如下连续的洛伦兹变换：

x−y→Λy−xx-y \overset{\Lambda}\rightarrow y-x

立刻得到：

D(x−y)=D(y−x)⇒⟨0∣[ϕ^(x),ϕ^(y)]∣0⟩=0,∀ (x−y)2<0(20)D(x-y) = D(y-x) \Rightarrow \langle 0|[\hat{\phi}(x),\hat{\phi}(y)]|0\rangle =0,\quad \forall\ (x-y)^2<0\tag{20}

  • 当间隔是 类时 time like（(x−y)2>0(x-y)^2>0）时，并不存在这样的一个连续洛伦兹变换。一般来说：

D(x−y)≠D(y−x)⇒⟨0∣[ϕ^(x),ϕ^(y)]∣0⟩≠0D(x-y)\neq D(y-x) \Rightarrow \langle 0|[\hat{\phi}(x),\hat{\phi}(y)]|0\rangle \neq 0

我们不妨停下来思考一下两个物理量对易意味着什么。在薛定谔绘景中，若两个物理量对易，那么它们是可以被同时测量的，彼此不可能相互影响。推广到海森堡绘景中，若两个物理量对易，那么我们断言：这两个物理量并不会存在因果关系。狭义相对论告诉我们，两个具有类时间隔的事件不可能有 因果关系 causality。

对于两个可观测量 H(x),H(x′)\mathcal H(x),\mathcal{H}(x')，因果性要求：

[H(x),H(x′)]=0,∀ (x−x′)2<0(21)[\mathcal{H}(x),\mathcal{H}(x')] = 0,\quad \forall\ (x-x')^2<0 \tag{21}

可观测量一般由偶数个场量构成，可以证明只要场量满足 (20)(20)，那么因果性，即 (21)(21) 将满足。下面举例说明：
对于 H(x)=12m2ϕ2(x)\mathcal{H}(x) = \frac{1}{2}m^2\phi^2(x)，有：

∀ (x−x′)2<0[H(x),H(x′)]=14m4[ϕ2(x),ϕ2(x′)]=14m4(ϕ(x)ϕ(x′)[ϕ(x),ϕ(x′)]+ϕ(x)[ϕ(x),ϕ(x′)]ϕ(x′)+ϕ(x′)[ϕ(x),ϕ(x′)]ϕ(x)+[ϕ(x),ϕ(x′)]ϕ(x)ϕ(x′))=0\begin{aligned} \forall\ (x-x')^2<0\\ \quad [\mathcal{H}(x),\mathcal{H}(x')] =& \frac{1}{4}m^4 [\phi^2(x),\phi^2(x')]\\ =&\frac{1}{4}m^4 (\phi(x)\phi(x') [\phi(x),\phi(x')]+\phi(x) [\phi(x),\phi(x')]\phi(x')\\ &+\phi(x') [\phi(x),\phi(x')]\phi(x) + [\phi(x),\phi(x')]\phi(x)\phi(x'))\\ =&0\\ \end{aligned}

在非相对论量子力学中，即使对于类空间隔，粒子传播的概率幅总是非零的。而以上我们对因果性的解释也反映了我们从 “场” 的观点出发的必要性。

我们再来看 ⟨0∣[ϕ^(x),ϕ^(y)]∣0⟩,x0>y0\langle 0|[\hat{\phi}(x),\hat{\phi}(y)]|0\rangle, x^0>y^0 的物理解释。其中 ⟨0∣ϕ^(x)ϕ^(y)∣0⟩\langle 0|\hat{\phi}(x)\hat{\phi}(y)|0\rangle 为粒子从 y\bm{y} 传播到 x\bm{x} 的概率幅。那么：

⟨0∣eiHy0ϕ^(y)e−iHy0eiHx0ϕ^(x)e−iHx0∣0⟩=⟨0∣ϕ(y)eiHtϕ(x)∣0⟩∼⟨y∣eiHt∣x⟩\begin{aligned} \langle 0|e^{iHy^0}\hat{\phi}(\bm{y})e^{-iHy^0}e^{iHx^0}\hat{\phi}(\bm{x})e^{-iHx^0}|0\rangle &= \langle 0|\phi(\bm{y})e^{iHt}\phi(\bm{x})|0\rangle\\ &\sim \langle \bm{y}|e^{iHt}|\bm{x}\rangle\\ \end{aligned}

注意到演化算子形式的差异：它是逆着时间方向进行演化的。我们解释为这是一个从 x\bm{x} 传播到 y\bm{y} 的 反粒子 的概率幅。为了保证因果性，我们必须引入反粒子，对于 Klein-Gordon 场，其反粒子就是本身。

有关反粒子、因果性，我们以后会专门讨论。

Klein-Gordon 传播子

利用 留数定理 可以将 (19)(19) 写为：

⟨0∣[ϕ^(x),ϕ^(y)]∣0⟩=∫d3p(2π)312Ep(e−ip⋅(x−y)−eip⋅(x−y))=∫d3p(2π)3(12Epe−ip⋅(x−y)∣p0=Ep−12Epe−ip⋅(x−y)∣p0=−Ep)=x0>y0∫d3p(2π)3∮dp02πi−1p2−m2e−ip⋅(x−y)=∫d4p(2π)4ip2−m2e−ip⋅(x−y)(22)\begin{aligned} \langle 0|[\hat{\phi}(x),\hat{\phi}(y)]|0\rangle &= \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bm{p}}} (e^{-ip\cdot (x-y)}-e^{ip\cdot (x-y)})\\ &= \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}(\frac{1}{2E_{\bm{p}}} e^{-ip\cdot (x-y)}|_{p^0=E_{\bm{p}}}-\frac{1}{2E_{\bm{p}}} e^{-ip\cdot (x-y)}|_{p^0=-E_{\bm{p}}})\\ &\underset{x^0>y^0}{=} \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3} \oint \frac{dp^0}{2\pi i}\frac{-1}{p^2-m^2}e^{-ip\cdot(x-y)}\\ &= \int\frac{d^4p}{(2\pi)^4} \frac{i}{p^2-m^2}e^{-ip\cdot(x-y)}\\ \end{aligned}\tag{22}

倒数第二行应用了留数定理，对应的极点为 p0=±Epp^0=\pm E_{\bm{p}}，选取的围线如下图所示。

对于该路径在 y0>x0y^0>x^0 的取值，我们可以选取围线向上闭合，此时围线中并不包含任何极点，容易得到：

∫d4p(2π)4ip2−m2e−ip⋅(x−y)=x0<y00\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4} \frac{i}{p^2-m^2}e^{-ip\cdot(x-y)} \underset{x^0<y^0}{=} 0

我们定义 Klein-Gordon 传播子 为：

DR≡θ(x0−y0)⟨0∣[ϕ^(x),ϕ^(y)]∣0⟩(23)D_R \equiv \theta(x^0-y^0) \langle 0|[\hat{\phi}(x),\hat{\phi}(y)]|0\rangle \tag{23}

其中

θ(x0−y0)={1x0>y00x0<y0\theta(x^0-y^0) =\left\{\begin{aligned} & 1 & x^0>y^0\\ & 0 & x^0<y^0\\ \end{aligned}\right.

为 Heviside 函数（单位阶跃函数）。

(23)(23) 式的定义就与选取特定路径后的 (22)(22) 式等价。

我们用 Klein-Gordon 算子作用于 Klein-Gordon 传播子：

(∂2+m2)DR(x−y)=(∂2+m2)(θ(x0−y0)⟨0∣[ϕ^(x),ϕ^(y)]∣0⟩)=(∂2θ(x0−y0))⟨0∣[ϕ^(x),ϕ^(y)]∣0⟩+2∂μθ(x0−y0)⟨0∣∂μ[ϕ^(x),ϕ^(y)]∣0⟩+(θ(x0−y0)(∂2+m2)⟨0∣[ϕ^(x),ϕ^(y)]∣0⟩)=−δ(x0−y0)⟨0∣[π^(x),ϕ^(x)]+2δ(x0−y0)⟨0∣[π^(x),ϕ^(x)]=−iδ(4)(x−y)\begin{aligned} &(\partial^2+m^2)D_R(x-y)\\ =& (\partial^2+m^2)(\theta(x^0-y^0) \langle 0|[\hat{\phi}(x),\hat{\phi}(y)]|0\rangle)\\ =& (\partial^2\theta(x^0-y^0)) \langle 0|[\hat{\phi}(x),\hat{\phi}(y)]|0\rangle + 2\partial_{\mu}\theta(x^0-y^0) \langle 0|\partial^{\mu}[\hat{\phi}(x),\hat{\phi}(y)]|0\rangle+(\theta(x^0-y^0)(\partial^2+m^2) \langle 0|[\hat{\phi}(x),\hat{\phi}(y)]|0\rangle)\\ =& -\delta(x^0-y^0)\langle 0|[\hat{\pi}(x),\hat{\phi}(x)]+2\delta(x^0-y^0)\langle 0|[\hat{\pi}(x),\hat{\phi}(x)]\\ =&-i\delta^{(4)}(x-y)\\ \end{aligned}

即：

(∂2+m2)DR(x−y)=−iδ(4)(x−y)(24)(\partial^2+m^2)D_R(x-y)=-i\delta^{(4)}(x-y) \tag{24}

考虑在 x0<y0x^0<y^0 时，Klein-Gordon 传播子为零。所以 Klein-Gordon 传播子其实就是 Klein-Gordon 场的 推迟格林函数 retarded Green’s function。

在动量空间中有：

DR(x−y)=∫d4p(2π)4e−ip⋅(x−y)D~R(p)(25)D_R(x-y) = \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}e^{-ip\cdot(x-y)}\tilde{D}_R(p) \tag{25}

将 (25)(25) 代入 (24)(24) 式中得到：

D~R(p)=ip2−m2(26)\tilde{D}_R(p) = \frac{i}{p^2-m^2} \tag{26}

代入 (27)(27) 得到：

DR(x−y)=∫d4p2πie−ip⋅(x−y)ip2−m2(27)D_R(x-y) = \int \frac{d^4p}{2\pi i} e^{-ip\cdot(x-y)}\frac{i}{p^2-m^2} \tag{27}

注意，通过以上的推导可知，这里的积分路径实际上有四种不同的选取方法。当我们考虑如下选取积分路径时：

我们可以在传播子的分母添加一很小的虚部，极点成为 p0=±(Ep−iϵ)p^0 = \pm(E_{\bm{p}}-i\epsilon)。那么上述积分可以等价于沿着实轴的积分：

DF(x−y)≡∫d4p(2π)4ip2−m2+iϵe−ip⋅(x−y)(28)D_F(x-y) \equiv \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\frac{i}{p^2-m^2+i\epsilon}e^{-ip\cdot(x-y)} \tag{28}

这称为 Klein-Gordon 粒子的 费曼传播子 Feynman propagator。在 x0>y0x^0>y^0 与 x0<y0x^0<y^0 的情况，可以选择不同的闭合围线进行计算：

DF(x−y)={D(x−y)x0>y0D(y−x)x0<y0=θ(x0−y0)⟨0∣ϕ(x)^ϕ(y)^∣0⟩+θ(y0−x0)⟨0∣ϕ(y)^ϕ(x)^∣0⟩≡⟨0∣Tϕ(x)ϕ(y)∣0⟩(29)\begin{aligned} D_F(x-y) &= \left\{\begin{aligned} D(x-y)\quad x^0>y^0\\ D(y-x)\quad x^0<y^0\\ \end{aligned}\right.\\ &= \theta(x^0-y^0)\langle 0|\hat{\phi(x)}\hat{\phi(y)}|0\rangle + \theta(y^0-x^0)\langle 0|\hat{\phi(y)}\hat{\phi(x)}|0\rangle\\ &\equiv \langle 0|T\phi(x)\phi(y)|0\rangle \end{aligned}\tag{29}

上述式子中引入了 时序符号 time-ordering symbol TT：表示将时序符号后面的式子按照时间从晚到早排列。容易得到费曼传播子就是 Klein-Gordon 场的 格林函数 Green’s function。在动量空间中的费曼传播子为：

D~F(p)=ip2−m2+iϵ(30)\tilde{D}_F(p) = \frac{i}{p^2-m^2+i\epsilon} \tag{30}

这件事情在后面介绍的费曼规则中很重要。

有源 Klein-Gordon 场

现在考虑一个具有经典源的 Klein-Gordon 场：

(∂2+m2)ϕ(x)=j(x)(31)(\partial^2+m^2)\phi(x) = j(x) \tag{31}

对应的拉氏量为：

L=12∂μϕ∂μϕ−12m2ϕ2+j(x)ϕ(x)(32)\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_{\mu}\phi\partial^{\mu}\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2 + j(x)\phi(x) \tag{32}

(31)(31) 式的解将有两项构成：

ϕ(x)=ϕ0(x)+i∫d4yDR(x−y)j(y)=ϕ0(x)+i∫d4y∫d3p(2π)312Epθ(x0−y0)(e−ip⋅(x−y)−eip⋅(x−y))j(y)\begin{aligned} \phi(x) &= \phi_0(x) + i\int d^4y D_R(x-y)j(y)\\ &= \phi_0(x) + i\int d^4y\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bm{p}}} \theta(x^0-y^0)(e^{-ip\cdot(x-y)}-e^{ip\cdot(x-y)}) j(y)\\ \end{aligned}

其中 ϕ0(x)\phi_0(x) 为自由 Klein-Gordon 场的解。我们现在考虑源仅在有限时间内开启。当源关闭后，总有 y0<x0y^0 < x^0。于是有：

ϕ(x)=ϕ0(x)+i∫d4y∫d3p(2π)312Ep(e−ip⋅(x−y)−eip⋅(x−y))j(y)=∫d3p(2π)312Ep(a^p+ij~(p)2Ep)e−ip⋅x+h.c(33)\begin{aligned} \phi(x) &= \phi_0(x) + i\int d^4y\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bm{p}}} (e^{-ip\cdot(x-y)}-e^{ip\cdot(x-y)}) j(y)\\ &= \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bm{p}}}}(\hat{a}_{\bm{p}}+ \frac{i\tilde{j}(p)}{\sqrt{2E_{\bm{p}}}})e^{-ip\cdot x} + h.c\\ \end{aligned}\tag{33}

其中

j~(p)=∫d4yeip⋅yj(y)(34)\tilde{j}(p) = \int d^4y e^{ip\cdot y}j(y) \tag{34}

我们注意到 (33)(33) 与 ϕ(x)\phi(x) 相比只是做了如下替换：

a^p→a^p+ij~(p)2Epa^p†→a^p†−ij~∗(p)2Ep(35)\hat{a}_{\bm{p}} \rightarrow \hat{a}_{\bm{p}}+ \frac{i\tilde{j}(p)}{\sqrt{2E_{\bm{p}}}}\quad \hat{a}^\dagger_{\bm{p}} \rightarrow \hat{a}^\dagger_{\bm{p}} - \frac{i\tilde{j}^*(p)}{\sqrt{2E_{\bm{p}}}}\tag{35}

那么可以得到哈密顿量的形式如下：

H=∫d3p(2π)3Ep(a^p†−ij~∗(p)2Ep)(a^p+ij~(p)2Ep)(36)H = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}E_{\bm{p}}(\hat{a}^\dagger_{\bm{p}} - \frac{i\tilde{j}^*(p)}{\sqrt{2E_{\bm{p}}}})(\hat{a}_{\bm{p}}+ \frac{i\tilde{j}(p)}{\sqrt{2E_{\bm{p}}}}) \tag{36}

由于源的影响，系统的基态能量发生变化：

⟨0∣H∣0⟩=∫d3p(2π)312∣j~(p)∣2(37)\langle 0|H|0\rangle = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2}|\tilde{j}(p)|^2 \tag{37}

源产生的粒子数目为：

N=∫d3p(2π)312Ep∣j~(p)∣2(38)N = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bm{p}}}|\tilde{j}(p)|^2 \tag{38}