欧拉动力学方程

在本体坐标系中,刚体角动量随时间的变化可以写为两部分:

本体参考系可以理解为将参考系固定在刚体上。

dLdt=L˙+ω×L\frac{d\bm{L}}{dt} = \dot{\bm{L}} + \bm{\omega}\times\bm{L}

根据牛顿运动定律,有:

M=dLdt\bm{M} = \frac{d\bm{L}}{dt}

于是得到 欧拉动力学方程

M=L˙+ω×L(1)\bm{M} = \dot{\bm{L}} + \bm{\omega}\times\bm{L} \tag{1}

一般情况下:在本体坐标系中,转动惯量并不是一个随时间不变的物理量,这会导致方程 (1)(1) 很复杂。我们选取刚体的三个主轴方向为坐标轴,建立参考系,称为 主轴参考系。在主轴参考系中,转动惯量为常量,如此,容易写得欧拉动力学方程的分量形式:

M1=I1ω˙1ω2ω3(I2I3)M2=I2ω˙2ω3ω1(I3I1)M3=I3ω˙3ω1ω2(I1I2)(2)\begin{aligned} M_1 = I_1\dot{\omega}_1 - \omega_2\omega_3(I_2-I_3)\\ M_2 = I_2\dot{\omega}_2 - \omega_3\omega_1(I_3-I_1)\\ M_3 = I_3\dot{\omega}_3 - \omega_1\omega_2(I_1-I_2)\\ \end{aligned}\tag{2}

自由对称刚体

下面应用欧拉动力学方程研究自由对称刚体的运动。

对于自由对称刚体来说,有 M=0,I1=I2\bm{M}=0,I_1 = I_2。欧拉动力学方程分量形式为:

0=I1ω˙1ω2ω3(I1I3)0=I2ω˙2ω3ω1(I3I1)0=I3ω˙3(3)\begin{aligned} 0 = I_1\dot{\omega}_1 - \omega_2\omega_3(I_1-I_3)\\ 0 = I_2\dot{\omega}_2 - \omega_3\omega_1(I_3-I_1)\\ 0 = I_3\dot{\omega}_3\\ \end{aligned}\tag{3}

于是得到 ω3\omega_3 为守恒量。
z=ω1+iω2z = \omega_1 + i\omega_2,方程 (2)(2) 成为:

I1z˙+ω3(I1I3)iz=0I_1\dot{z} + \omega_3(I_1-I_3) iz = 0

解为:

z=AeiΩt,Ω=I3I1I1ω3z = A e^{i\Omega t},\quad \Omega=\frac{I_3-I_1}{I_1}\omega_3

即:

ω1=AcosΩtω2=AsinΩt\begin{aligned} \omega_1 = A\cos\Omega t\\ \omega_2 = A\sin\Omega t\\ \end{aligned}

在本体坐标系中,角速度 ω\bm{\omega} 绕着 e^3\hat{\bm{e}}_3 方向以角速度 Ω\Omega 画圆锥。对应的角动量 L\bm{L} 也在绕着 e^3\hat{\bm{e}}_3 方向以角速度 Ω\Omega 画圆锥。

在空间坐标系中,角动量 L\bm{L} 守恒。设角动量方向为 zz 轴,对应有 ω,e3\bm{\omega},\bm{e}_3 在绕着角动量 L\bm{L} 画圆锥(做 进动)。

可以得到:

L×e^3=iIiωie^i×e^3=I1iωie^i×e^3=I1ω×e^3=I1de^3dt\begin{aligned} \bm{L}\times\hat{\bm{e}}_3&=\sum_{i}I_i\omega_i\hat{\bm{e}}_i\times\hat{\bm{e}}_3\\ &=I_1\sum_{i}\omega_i\hat{\bm{e}}_i\times\hat{\bm{e}}_3\\ &=I_1\bm{\omega}\times\hat{\bm{e}}_3\\ &=I_1\frac{d\hat{\bm{e}}_3}{dt} \end{aligned}

这表明 e^3\hat{\bm{e}}_3L\bm{L} 作进动的角速度为:

ωp=LI1\bm{\omega}_p = \frac{\bm{L}}{I_1}

如此总角速度可以表示为:

ω=ω1e^1+ω2e^2+ω3e^3=ωp+(1I3I1)ω3e^3=ωpΩ(4)\begin{aligned} \bm{\omega} &= \omega_1\hat{\bm{e}}_1 + \omega_2\hat{\bm{e}}_2 + \omega_3\hat{\bm{e}}_3\\ &= \bm{\omega}_p + (1-\frac{I_3}{I_1})\omega_3\hat{\bm{e}}_3\\ &= \bm{\omega}_p - \bm{\Omega} \end{aligned}\tag{4}

Fig1:空间极锥与本体极锥,Ω>0\Omega>0

Fig2:空间极锥与本体极锥,Ω<0\Omega<0

欧拉角

对欧拉方程的求解可以直接得到本体坐标系下对刚体的描述,但对空间坐标系中的行为却描述地并不那么直接。欧拉用 欧拉角 来描述刚体在三维欧几里得空间的取向。对于任何参考系,一个刚体的取向,是依照顺序,从初始的参考系,做三个欧拉角的旋转而设定的。所以,刚体的取向可以用三个基本旋转矩阵来决定。换句话说,任何关于刚体旋转的旋转矩阵是由三个基本旋转矩阵复合而成的[2]^{[2]}

Fig3: 欧拉角[3]^{[3]}

欧拉角可以静态地这样定义(zxzzxz顺规):

  • 先绕 zz 轴逆时针旋转 α\alpha(进动角)

  • 再绕 xx 轴逆时针旋转 β\beta(章动角)

  • 最后绕 zz 轴逆时针旋转 γ\gamma(自转角)

利用矩阵给出欧拉角 (α,β,γ)(\alpha,\beta,\gamma) 给出的基矢为:

(e^1e^2e^3)=(cosγsinγ0sinγcosγ0001)(e^1e^2e^3)=(cosγsinγ0sinγcosγ0001)(1000cosβsinβ0sinβcosβ)(e^1e^2e^3)=(cosγsinγ0sinγcosγ0001)(1000cosβsinβ0sinβcosβ)(cosαsinα0sinαcosα0001)(ijk)\begin{aligned} \begin{pmatrix} \hat{\bm{e}}_1\\ \hat{\bm{e}}_2\\ \hat{\bm{e}}_3\\ \end{pmatrix}&= \begin{pmatrix} \cos\gamma & \sin\gamma & 0\\ -\sin\gamma & \cos\gamma & 0\\ 0 & 0& 1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \hat{\bm{e}}_1''\\ \hat{\bm{e}}_2''\\ \hat{\bm{e}}_3''\\ \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} \cos\gamma & \sin\gamma & 0\\ -\sin\gamma & \cos\gamma & 0\\ 0 & 0& 1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \cos\beta & \sin\beta\\ 0 & -\sin\beta & \cos\beta\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \hat{\bm{e}}_1'\\ \hat{\bm{e}}_2'\\ \hat{\bm{e}}_3'\\ \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} \cos\gamma & \sin\gamma & 0\\ -\sin\gamma & \cos\gamma & 0\\ 0 & 0& 1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \cos\beta & \sin\beta\\ 0 & -\sin\beta & \cos\beta\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha & 0\\ -\sin\alpha & \cos\alpha & 0\\ 0 & 0& 1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \bm{i}\\ \bm{j}\\ \bm{k}\\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}

(e^1,e^2,e^3)(\hat{\bm{e}}_1,\hat{\bm{e}}_2,\hat{\bm{e}}_3) 为本体坐标系基矢,(i,j,k)(\bm{i},\bm{j},\bm{k}) 为空间坐标系基矢。

在刚体动力学中,我们通常将三个欧拉角分别记为 φ,θ,ψ\varphi,\theta,\psi,以下均采用这种记法。

三次旋转的转轴分别为 k,e^1,e^3\bm{k},\hat{\bm{e}}_1'',\hat{\bm{e}}_3',分别记为:e^φ,e^θ,e^ψ\hat{\bm{e}}_{\varphi},\hat{\bm{e}}_{\theta},\hat{\bm{e}}_{\psi}

那么角速度可以表示为:

ω=ω1e^1+ω2e^2+ω3e^3=φ˙e^φ+θ˙e^θ+ψ˙e^ψ(5)\begin{aligned} \bm{\omega} &= \omega_1\hat{\bm{e}}_1 + \omega_2\hat{\bm{e}}_2 + \omega_3\hat{\bm{e}}_3\\ &= \dot{\varphi}\hat{\bm{e}}_{\varphi} + \dot{\theta}\hat{\bm{e}}_{\theta} + \dot{\psi}\hat{\bm{e}}_{\psi}\\ \end{aligned}\tag{5}

根据几何关系,e^φ,e^θ,e^ψ\hat{\bm{e}}_{\varphi},\hat{\bm{e}}_{\theta},\hat{\bm{e}}_{\psi} 可以用本体坐标系基矢表示为:

e^φ=sinθsinφe^1+sinθcosφe^2+cosθe^3e^θ=cosφe^1sinφe^2e^ψ=e^3(6)\begin{aligned} \hat{\bm{e}}_{\varphi} &= \sin\theta\sin\varphi\hat{\bm{e}}_1 + \sin\theta\cos\varphi\hat{\bm{e}}_2 + \cos\theta\hat{\bm{e}}_3\\ \hat{\bm{e}}_{\theta} &= \cos\varphi\hat{\bm{e}}_1-\sin\varphi\hat{\bm{e}}_2\\ \hat{\bm{e}}_{\psi} &= \hat{\bm{e}}_3\\ \end{aligned}\tag{6}

(6)(6) 代入 (5)(5) 得到:

ω1=φ˙sinθsinφ+θ˙cosφω2=φ˙sinθcosφθ˙sinφω3=φ˙cosθ+ψ˙(7)\begin{aligned} \omega_1 &= \dot{\varphi}\sin\theta\sin\varphi + \dot{\theta}\cos\varphi\\ \omega_2 &= \dot{\varphi}\sin\theta\cos\varphi - \dot{\theta}\sin\varphi\\ \omega_3 &= \dot{\varphi}\cos\theta + \dot{\psi} \end{aligned}\tag{7}

利用欧拉角得到定点转动的拉格朗日量为:

L=12I1(φ˙2sin2θ+θ˙2)+12(I2I1)(φ˙sinθcosφθ˙sinφ)2+12I3(φ˙cosθ+ψ˙)2V(φ,θ,ψ)(8)\begin{aligned} L = &\frac{1}{2}I_1(\dot{\varphi}^2\sin^2\theta + \dot{\theta}^2) + \frac{1}{2}(I_2-I_1)(\dot{\varphi}\sin\theta\cos\varphi - \dot{\theta}\sin\varphi)^2\\ &+ \frac{1}{2}I_3(\dot{\varphi}\cos\theta + \dot{\psi})^2 - V(\varphi,\theta,\psi)\\ \end{aligned} \tag{8}

欧拉角表述下的刚体动力学问题

自由对称刚体

此时 I1=I2,V(φ,θ,ψ)=0I_1 = I_2, V(\varphi,\theta,\psi)=0,根据式 (8)(8),自由对称刚体的拉格朗日量为:

L=12I1(φ˙2sin2θ+θ˙2)+12I3(φ˙cosθ+ψ˙)2L = \frac{1}{2}I_1(\dot{\varphi}^2\sin^2\theta + \dot{\theta}^2) +\frac{1}{2}I_3(\dot{\varphi}\cos\theta + \dot{\psi})^2

此时,φ,ψ\varphi,\psi 成为可遗坐标。那么对应的广义动量为守恒量:

pψ=Lψ˙=I3(φ˙cosθ+ψ˙)=L3pφ=Lφ˙=I1φ˙sin2θ+I3cosθ(φ˙cosθ+ψ˙)=I1φ˙sin2θ+L3cosθ=L\begin{aligned} p_{\psi} &= \frac{\partial L}{\partial \dot{\psi}} = I_3(\dot{\varphi}\cos\theta + \dot{\psi})\\ & = L_3\\ p_{\varphi} &= \frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}} = I_1\dot{\varphi}\sin^2\theta + I_3\cos\theta(\dot{\varphi}\cos\theta + \dot{\psi}) \\ &=I_1\dot{\varphi}\sin^2\theta + L_3\cos\theta = L\\ \end{aligned}

θ\theta 满足如下运动方程:

I1θ¨=I1φ˙2sinθcosθL3φ˙sinθ(9)\begin{aligned} I_1\ddot{\theta} = I_1\dot{\varphi}^2\sin\theta\cos\theta - L_3 \dot{\varphi}\sin\theta \end{aligned}\tag{9}

选取 L\bm{L} 沿着 k\bm{k} 方向,那么刚体无章动,θ˙=0\dot{\theta} = 0。根据 (9)(9),如此有:

φ˙=L3I1cosθ(10)\dot{\varphi} = \frac{L_3}{I_1\cos\theta} \tag{10}

进而得到进动角速度:

ψ˙=L3I3φ˙cosθ=1I31I1)L3=I1I3I1ω3\begin{aligned} \dot{\psi} &= \frac{L_3}{I_3} - \dot{\varphi}\cos\theta\\ &= (\frac{1}{I_3}-\frac{1}{I_1})L_3\\ &= \frac{I_1-I_3}{I_1}\omega_3\\ \end{aligned}

这与之前使用本体坐标系中的欧拉动力学方程得到的结果是一致的。

拉格朗日陀螺

拉格朗日陀螺即重力场中对称刚体。其有:I1=I2,V=mghcosθI_1=I_2,V = mgh\cos\theta

其拉格朗日量为:

L=12I1(φ˙2sin2θ+θ˙2)+12I3(φ˙cosθ+ψ˙)2mghcosθL = \frac{1}{2}I_1(\dot{\varphi}^2\sin^2\theta + \dot{\theta}^2) +\frac{1}{2}I_3(\dot{\varphi}\cos\theta + \dot{\psi})^2 - mgh\cos\theta

此时,φ,ψ\varphi,\psi 仍为可遗坐标。那么对应的广义动量为守恒量:

pψ=Lψ˙=I3(φ˙cosθ+ψ˙)=L3pφ=Lφ˙=I1φ˙sin2θ+I3cosθ(φ˙cosθ+ψ˙)=I1φ˙sin2θ+L3cosθ=L\begin{aligned} p_{\psi} &= \frac{\partial L}{\partial \dot{\psi}} = I_3(\dot{\varphi}\cos\theta + \dot{\psi})\\ & = L_3\\ p_{\varphi} &= \frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}} = I_1\dot{\varphi}\sin^2\theta + I_3\cos\theta(\dot{\varphi}\cos\theta + \dot{\psi}) \\ &=I_1\dot{\varphi}\sin^2\theta + L_3\cos\theta = L\\ \end{aligned}

θ\theta 满足如下运动方程:

I1θ¨=I1φ˙2sinθcosθL3φ˙sinθ+mghsinθ(11)\begin{aligned} I_1\ddot{\theta} = I_1\dot{\varphi}^2\sin\theta\cos\theta - L_3 \dot{\varphi}\sin\theta + mgh\sin\theta \tag{11} \end{aligned}

可以得到,将方程 (11)(11) 积分后实际等价于如下能量表达式(忽略 L322I3\frac{L_3^2}{2I_3} 常数项):

E=12I1θ˙2+(LL3cosθ)22I1sin2θ+mghcosθVeff(12)E = \frac{1}{2}I_1\dot{\theta}^2 + \underbrace{\frac{(L-L_3\cos\theta)^2}{2I_1\sin^2\theta} + mgh\cos\theta}_{V_{eff}} \tag{12}

这是一个一维运动方程,有效势的形式将决定 θ\theta 的运动。我们讨论几种特殊情况:

  • 均匀进动 θ˙=0\dot{\theta} = 0
    根据 (11)(11) 得到:

I1φ˙2cosθL3φ˙+mgh=0(13)I_1\dot{\varphi}^2\cos\theta - L_3 \dot{\varphi} + mgh = 0 \tag{13}

存在均匀进动的条件是:

L324mghI1cosθL_3^2 \geqslant 4mghI_1|\cos\theta|

  • 快速均匀进动 L324mghI1L_3^2\gg 4mghI_1
    方程 (13)(13) 的解可以写为

φ˙=L3±L324mghI1cosθ2I1cosθL32I1cosθ(1±(12mghI1cosθL32)){L3I1cosθmghL3\begin{aligned} \dot{\varphi} &= \frac{L_3 \pm \sqrt{L_3^2- 4mghI_1\cos\theta}}{2I_1\cos\theta}\\ &\approx \frac{L_3}{2I_1\cos\theta}(1\pm(1-\frac{2mghI_1\cos\theta}{L_3^2}))\\ &\approx \left\{\begin{aligned} & \frac{L_3}{I_1\cos\theta}\\ & \frac{mgh}{L_3}\\ \end{aligned} \right. \end{aligned}

第一个解对应自由进动,L\bm{L} 始终为 zz 方向:

{φ˙=L3I1cosθψ˙=(1I31I1)L3L=L3cosθ\left\{ \begin{aligned} \dot{\varphi} &= \frac{L_3}{I_1\cos\theta}\\ \dot{\psi} &= (\frac{1}{I_3}-\frac{1}{I_1})L_3\\ L &= \frac{L_3}{\cos\theta}\\ \end{aligned} \right.

第二个解对应重力引起的进动,L\bm{L} 始终为 e3\bm{e}_3 方向:

{φ˙=mghL3ψ˙=L3I3L=L3cosθ\left\{ \begin{aligned} \dot{\varphi} &= \frac{mgh}{L_3}\\ \dot{\psi} &= \frac{L_3}{I_3}\\ L &= L_3\cos\theta\\ \end{aligned} \right.

  • 睡眠陀螺 θ=0\theta=0,此时有 L3=LL_3 = L
    θ\theta 为小角度时的有效势为:

Veff=(LL3cosθ)22I1sin2θ+mghcosθ=L32I1(1cosθ)2sin2θ+mghcosθL32I114θ2+mgh(112θ2)=12(L34I1mgh)θ2+mgh\begin{aligned} V_{eff}&=\frac{(L-L_3\cos\theta)^2}{2I_1\sin^2\theta} + mgh\cos\theta\\ &= \frac{L_3}{2I_1}\frac{(1-\cos\theta)^2}{\sin^2\theta}+ mgh\cos\theta\\ &\approx \frac{L_3}{2I_1}\frac{1}{4}\theta^2+ mgh(1-\frac{1}{2}\theta^2)\\ &=\frac{1}{2}(\frac{L_3}{4I_1}-mgh)\theta^2 +mgh \end{aligned}

因此同样只有在:L3>4I1mghL_3>4I_1mgh 时才存在稳定解。

参考资料

  1. 王达,南京大学,理论力学讲义
  2. 欧拉角. (2021, May 7). Retrieved from 维基百科, 自由的百科全书: https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=欧拉角&oldid=65516193
  3. 由Lionel Brits - Hand drawn in Inkscape by me,CC BY 3.0,https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=3362239