理论力学笔记（八）：非线性振子、参变共振、快速振动场

非线性振子

此前讨论的整个微振动理论建立在系统的势能和动能分别用坐标和速度展开后仅仅保留到二阶项的基础上，这种情况下，运动方程是线性的。在这种近似条件下研究线性振动，尽管在振幅足够下的条件下这种近似是合理的，然而，考虑更高阶的近似会出现运动的某些非次要的，但定性来看完全不同的性质 $^{[1]}$ 。现在考虑对非线性振子的近似求解。

现在考虑将拉格朗日函数展开到三阶项：

$L = \frac{1}{2}\sum_{ik}(m_{ik}\dot{x}_i\dot{x}_k - k_{ik}x_ix_k) + \frac{1}{2}\sum_{ikl}n_{ikl}\dot{x}_i\dot{x}_kx_l - \frac{1}{3}\sum_{ikl}l_{ikl}x_ix_kx_l$

使用线性近似下的简正坐标代替：

$L = \frac{1}{2}(\dot{Q}_{\alpha}^2-\omega_a^2Q_a^2) + \frac{1}{2}\sum_{\alpha\beta\gamma}\lambda_{\alpha\beta\gamma}\dot{Q}_\alpha\dot{Q}_\beta Q_\gamma - \frac{1}{3}\sum_{\alpha\beta\gamma}\mu_{\alpha\beta\gamma}Q_\alpha Q_\beta Q_\gamma$

导出的运动方程具有形式：

$\ddot{Q}_\alpha + \omega_{\alpha}^2Q_{\alpha} = f_{\alpha}(Q,\dot{Q},\ddot{Q})\tag{1}$

其中 $f_{\alpha}$ 是坐标 $Q$ 及其对时间导数的二次齐次函数。
采用 逐次近似 的方法，可以求些方程的如下形似的解：

$Q_{\alpha} = Q_{\alpha}^{(1)} + Q_{\alpha}^{(2)}\tag{2}$

$Q$ 的上角标表示了其作为一个小量的阶数。

其中 $Q_{\alpha}^{(1)}\ll Q_{\alpha}^{(1)}$ ， $Q_{\alpha}^{(1)}$ 满足无高阶势能项时的“无扰动”运动方程：

$\ddot{Q}_{\alpha}^{(1)} + \omega_{\alpha}^2Q_{\alpha}^{(1)} = 0$

对应的解为：

$Q_{\alpha}^{(1)} = A \cos(\omega_{\alpha} t + \varphi_\alpha) \tag{3}$

结合 $(1),(2),(3)$ 可以得到 $Q_{\alpha}^{(2)}$ 对应的运动方程与解。

现在结合一个具体例子进行讨论：
考虑单自由度的非线性振子，其具有如下的拉格朗日量：

$L = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - \frac{1}{2}m\omega_0^2x-\frac{1}{3}max^3-\frac{1}{4}mb x^4 \tag{4}$

对应的运动方程为：

$\ddot{x} + \omega_0 x +a x^2 + b x^3 = 0 \tag{5}$

寻求如下形式的解：

$x = x_1 + x_2 + x_3 +\cdots$

代入 $(5)$ ，令不同阶的项左右两边分别相等，得到：

$\begin{aligned} & \ddot{x}_1 + \omega_0^2 x_1 = 0\\ & \ddot{x}_2 + \omega_0^2 x_2 + ax^2_1 = 0\\ & \ddot{x}_3 + \omega_0^2 x_3 + 2ax_1x_2 + bx_1^3= 0\\ \end{aligned}\tag{29}$

由一阶方程，得到：

$x_1 = A \cos(\omega_0 t)\tag{6}$

选取初始相位为 $0$

代入二阶方程得到：

$x_2 = -\frac{aA^2}{2\omega_0^2} + \frac{aA^2\cos(2\omega_0 t)}{6\omega_0^2} \tag{7}$

我们发现在二阶项中出现了二倍频。代入三阶方程，得到：

$\ddot{x}_3 + \omega_0^2 x_3 + A^3(-\frac{a^2\cos(\omega_0 t)}{\omega_0^2} + \frac{a^2 \cos(2\omega_0 t)\cos(\omega_0 t)}{3\omega_0^2} + b\cos^3(\omega_0t)) = 0$

上式中出现的频率有 $\omega_0,2\omega_0,3\omega_0$ 。其中 $\omega_0$ 项将导致系统的共振，使得振子的振动幅度越来越大。考虑到系统的能量不可能自发的变大，那么共振应当是不会出现的，我们使用以上方法导出的共振结果是非物理的。这时候，应当考虑基频的改变。

类似的，我们有 $\omega = \omega_0 + \omega_1 + \omega_2 + \cdots$ 。方程 $(5)$ 成为：

$\begin{aligned} & \ddot{x}_1 + \omega^2 x_1 = 0\\ & \ddot{x}_2 + \omega_0^2 x_2 +2\omega_0\omega_1x_1 + ax^2_1 = 0\\ & \ddot{x}_3 + \omega_0^2 x_3 + 2\omega_0\omega_1x_2 +(2\omega_0\omega_2 + \omega_1^2)x_1 + 2ax_1x_2 + bx_1^3= 0\\ \end{aligned}\tag{8}$

$(8.1)$ 给出：

$x_1 = A\cos\omega t\tag{9}$

即，一阶振幅以更改后的频率 $\omega$ 振动。代入 $(8.2)$ ，得到：

$\ddot{x}_2 + \omega_0^2 x_2 = -2\omega_0\omega_1 A \cos\omega t - aA^2\cos^2\omega t$

考虑到上式右端不能出现频率为 $\omega$ 的共振项，由此 $\omega_1 = 0$ ，对应有：

$x_2 = -\frac{a A^2}{2\omega_0^2} + \frac{a A^2}{6\omega_0^2}\cos(2\omega t) \tag{10}$

代入 $(8.3)$ 后得到：

$\begin{aligned} \ddot{x}_3 + \omega_0^2 x_3 = &-2\omega_0\omega_2 A \cos\omega t - 2a A \cos\omega t(-\frac{a A^2}{2\omega_0^2} + \frac{a A^2}{6\omega_0^2}\cos(2\omega t))\\ & \quad - bA^3\cos^3 \omega t\\ &=A(-2\omega_0\omega_2 + \frac{5}{6}\frac{a^2A^2}{\omega_0^2}-\frac{3}{4}bA^2)\cos\omega t -A^3(\frac{1}{4}b+\frac{a^2}{6\omega_0^2}) \cos 3\omega t\\ \end{aligned}$

令其中的共振项为零，得到：

$\omega_2 = (\frac{5a^2}{12\omega_0^3}-\frac{b}{8\omega_0})A^2\tag{11}$

对应的有：

$x_3 = \frac{A^3}{16\omega_0^2}(\frac{a^2}{3\omega_0^2}+\frac{b}{2})\cos3\omega t \tag{12}$

参变共振

下面讨论一种特殊的封闭系统，其外力的影响可以归结为系统参数的变化 $^{[1]}$ ，以一维振子为例，其运动方程为：

$\frac{d}{dt}(m\dot{x}) + kx = 0\tag{13}$

其中 $m,k$ 是依赖于时间的参数。考虑作代换 $d\tau = dt/m$ ，那么 $(13)$ 可写为：

$\frac{d^2x}{d\tau^2} + mkx = 0 \tag{14}$

对于 $m,k$ 参数依赖时间的系统，不失一般性的，我们只需要考虑以下方程即可：

$\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2(t) x =0 \tag{15}$

现在我们特别考虑 $\omega(t)$ 是周期函数的情况，例如：

$\omega(t) = \omega(t+T) \tag{16}$

考虑方程 $(15)$ 在变换 $t\rightarrow t+T$ 下保持不变，若设 $x(t)$ 为方程的解，那么 $x(t+T)$ 也为该方程的解，且这两个解至多相差一个倍数。对于两个线性独立的解 $x_1(t),x_2(t)$ 来说，有：

$\begin{aligned} &x_1(t+T) =\mu_1 x_1(t)\\ &x_2(t+T) =\mu_2 x_2(t)\\ \end{aligned}\tag{17}$

现在考虑 $\mu_1,\mu_2$ 应当满足的关系。 $x_1,x_2$ 都满足方程 $(15)$ ，可以得到：

$x_1\ddot{x_2}-x_2\ddot{x_1} = 0\rightarrow x_1\dot{x_2}-x_2\dot{x_1} = \mathrm{const} \tag{18}$

将时间 $t\rightarrow t+T$ ，该常数不应该变化。对应得到：

$\mu_1\mu_2 = 1 \tag{19}$

考虑 $x_1,x_2$ 的共轭解 $x_1^*,x_2^*$ ，对应的 $\mu_1^*,\mu_2^*$ 也应当有 $\mu_1^* \mu_2^* =1$ 。考虑到最后只有解的实部对应真实运动，于是 $x_1,x_2,x_1^*,x_2^*$ 只有两个独立的解；对应的， $\mu_1,\mu_2,\mu_1^*,\mu_2^*$ 也只有两个不同的值。存在以下情况：

$\mu_1 = \mu_2^*,\mu_2 = \mu_1^*\Longrightarrow | \mu_1|=|\mu_2|=1$
$\mu_1 = \mu_1^*,\mu_1 = \mu_1^*\Longrightarrow \mu_1,\mu_2\in\mathbb{R}$

在第二种情况下， $(17)$ 式给出的解的一般形式为：

$x = \mu_1^{t/T} \Pi_1(t) + \mu_2^{t/T} \Pi_2(t) \tag{20}$

其中 $\Pi_1(t),\Pi_2(t)$ 均为周期为 $T$ 的周期函数。 $|\mu|>1$ 或 $|\mu|<1$ （否则为第一种情况）。此时 $(20)$ 式指出对平衡位置的一点微小偏移将会使得 $x$ 随时间快速增长。这种现象为 参变共振。

现在对一个具体例子进行讨论，在荡秋千时，我们施加一个周期性的推力，经验告诉我们，以某些频率推秋千时，秋千的振幅会越来越大。对应的运动方程可以写为以下形式：

$m\ddot{x} + \omega_0^2(1+h\cos\gamma t) x= 0 \tag{21}$

其中 $h\ll 1$ ，这是一种简单但重要的情形。当 $\gamma = 2\omega_0$ 时，得到共振解。

我们可以采用如下形式的试探解：

$x(t) = a(t)\cos\omega_0 t + b(t)\sin\omega_0 t \tag{22}$

代入 $(21)$ ，并且略去 $\ddot{a},\ddot{b}$ 以及三倍频项，得到：

$\begin{aligned} &4\dot{a}+q\omega_0 b = 0\\ &4\dot{b}+q\omega_0 a = 0\\ \end{aligned}\tag{23}$

设 $a = a_0 e^{lambda t},b=b_0 e^{lambda t}$ ，若方程 $(22)$ 有解，应当有：

$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 4\lambda & q\omega_0\\ q\omega_0 & 4\lambda\\ \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow \lambda=\pm \frac{1}{4}q\omega_0 \end{aligned}\tag{24}$

其中正号对应共振解。

快速振动场

我们考虑一个高频力 $F(x,t) = F_0(x)e^{i\Omega t},\Omega\gg \omega_0$ 对质点简谐振动的影响，我们可以将 $x(t)$ 分为快场分量 $\xi(t)$ 与缓变分量 $X(t)$ ：

$x(t) = X(t)+\xi(t)\tag{25}$

因此得到的质点运动方程为（由于 $\Omega\gg \omega_0$ ，下式左边只保留 $\xi$ 的二阶导数项）：

$m\ddot{X} + m\ddot{\xi} + \gamma \dot{X} + kX = F_0(X)e^{i\Omega t} + \frac{d F_0}{dx} e^{i\Omega t}\tag{26} \xi$

令快场分量和缓变分量分别相等，其中快场分量满足：

$m\ddot{\xi} = F_0(X) e^{i\Omega t}$

得到：

$\xi = -\frac{F_0(X)}{m\Omega^2}e^{i\Omega t} \tag{27}$

对于缓变分量来说， $X$ 来不及相应 $\xi$ 的变化，高频力的作用表现出一个平均的效果作用于缓变分量：

$\begin{aligned} m\ddot{X} + \gamma \dot{X} + kX &=\langle \frac{d F_0}{dx} \mathrm{Re}(e^{i\Omega t}) \mathrm{Re}(\xi) \rangle\\ &=-\langle \frac{\cos^2\Omega t}{m\Omega^2}\frac{d F_0}{dx}F_0 \rangle \\ & = -\frac{1}{4m\Omega^2}\frac{d F_0^2}{dx} \end{aligned}\tag{28}$