量子力学笔记（五）：角动量

角动量

角动量与对称性

我们现在假设空间是 各向同性 的：所有的空间方向都是一样的，当整个系统绕任意轴转过任意角之后，该封闭系统的哈密顿量不会改变。在经典力学中，空间各向同性对应着角动量守恒。现在我们考虑对波函数的无限小操作所给出的结果：

这实际上体现了李群与李代数的关系。空间旋转群是一个李群，我们通过无穷小变换得到角动量的代数结构，反之角动量可以通过指数映射得到旋转群。在量子场论中，我们会进行更加细致的说明。

考虑一个无限小旋转操作 $\delta\bm{\varphi}$ ，其模为转角 $\delta \varphi$ ，方向为转轴方向。粒子的位矢在此旋转操作下的位移为：

$\delta \bm{r}_ {\alpha} = \delta \bm{\varphi} \times \bm{r}_{\alpha} \tag{1}$

任意波函数在经过无穷小旋转后变换得到下列函数：

$\begin{aligned} \psi(\bm{r}_1 + \delta \bm{r}_1,\bm{r}_2 + \delta \bm{r}_2,\cdots) &= \psi(\bm{r}_1,\bm{r}_2,\cdots) + \sum_{\alpha} \delta \bm{r}_{\alpha} \cdot \nabla_{\alpha} \psi\\ &= \psi(\bm{r}_1,\bm{r}_2,\cdots) + \sum_{\alpha} \delta \bm{\varphi} \times \bm{r}_{\alpha} \cdot \nabla_{\alpha} \psi\\ & = (1 + \delta \bm{\varphi} \cdot \sum_{\alpha}\bm{r}_{\alpha}\times \nabla_{\alpha})\psi(\bm{r}_1,\bm{r}_2,\cdots)\\ \end{aligned}\tag{2}$

其中：

$1 + \delta \bm{\varphi} \cdot \sum_{\alpha} \bm{r}_{\alpha}\times \nabla_{\alpha}$

可以看作无限小旋转算子。由无限小旋转算子不改变哈密顿量。由此：无限小旋转算子应当与哈密顿算子对易。考虑到 $\delta \varphi$ 选取的任意性，可以得到：

$[\sum_{\alpha} r_{\alpha}\times \nabla_{\alpha}, \hat{H}] = 0 \tag{3}$

这对应着某种守恒量。而空间的各向同性告诉我们，这个守恒量不是别的，正是角动量。因此 $\sum_{\alpha} r_{\alpha}\times \nabla_{\alpha}$ 应当与角动量算子至多相差一个系数。

考虑坐标表象下的一次量子化程式：

$\hat{\bm{p}} \rightarrow \frac{\hbar}{i}\nabla$

由此，容易类比得到 角动量算子 在坐标表象中的表达式：

$\begin{aligned} &\bm{L} = \bm{r}\times\bm{p}\\ \Rightarrow & \hat{\bm{L}} = \hat{\bm{r}} \times \hat{\bm{p}} = \frac{\hbar}{i} \bm{r} \times \nabla \\ \end{aligned} \tag{4}$

其分量式为：

$\begin{aligned} \hat{L}_x &= \frac{\hbar}{i}(y\hat{p}_z-z\hat{p}_y)\\ \hat{L}_y &= \frac{\hbar}{i}(z\hat{p}_x-x\hat{p}_z)\\ \hat{L}_z &= \frac{\hbar}{i}(x\hat{p}_y-y\hat{p}_x)\\ \end{aligned}\tag{5}$

这三个算子对应三个角动量分量，都是厄密算子。

在球坐标下，角动量算子可以表示为：

$\begin{aligned} \hat{\bm{L}} &= \frac{\hbar}{i} \hat{\bm{r}} \times \nabla \\ &= \frac{\hbar}{i} r\bm{e}_r \times (\bm{e}_r \frac{\partial}{\partial r} + \bm{e}_\theta \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} + \bm{e}_{\phi} \frac{1}{r \sin \theta}\frac{\partial}{\partial \phi} )\\ &= \frac{\hbar}{i}(-\bm{e}_{\theta} \frac{1}{ \sin \theta}\frac{\partial}{\partial \phi} + \bm{e}_\phi \frac{\partial}{\partial \theta})\\ \end{aligned}\tag{6}$

再回到直角坐标，得到三个分量算子可以使用角坐标表示为：

$\begin{aligned} \hat{L}_x =& \frac{\hbar}{i}(-\sin\phi \frac{\partial}{\partial \theta} - \cot \theta \cos \phi \frac{\partial}{\partial \phi})\\ \hat{L}_y =& \frac{\hbar}{i}(\cos\phi \frac{\partial}{\partial \theta} - \cot \theta \sin \phi \frac{\partial}{\partial \phi})\\ \hat{L}_z =& \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial \phi}\\ \end{aligned}\tag{7}$

角动量平方对应的算子 $\hat{L}^2$ 也经常用到，有：

$\begin{aligned} \hat{L}^2 &= \hat{L}^2_x + \hat{L}^2_y + \hat{L}^2_z\\ &= -\hbar^2(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}(\sin\theta \frac{\partial}{\partial\theta}) + \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}) \end{aligned}\tag{8}$

角动量算子的基本性质

在得到角动量算子的表达式后，我们可以讨论其的一些性质。

对易关系

角动量算子与坐标算子的对易关系：

$\begin{aligned} [\hat{L}_x,\hat{x}] &= [\hat{y}\hat{p}_z-\hat{z}\hat{p}_y,\hat{x}]\\ & = 0\\ [\hat{L}_x,\hat{y}] &= [\hat{y}\hat{p}_z-\hat{z}\hat{p}_y,\hat{y}]\\ & = -\hat{z}[\hat{p}_y,\hat{y}]\\ & = i\hbar \hat{z}\\ [\hat{L}_x,\hat{z}] &= [\hat{y}\hat{p}_z-\hat{z}\hat{p}_y,\hat{z}]\\ & = \hat{y}[\hat{p}_z,\hat{z}]\\ & = -i\hbar \hat{y}\\ \end{aligned}$

一般的情况下有：

$\begin{aligned} [\hat{L}_{\alpha},\hat{x}_{\beta}] &=[\varepsilon_{\alpha \mu \nu } \hat{x}_{\mu} \hat{p}_{\nu},\hat{x}_{\beta}]\\ & = \varepsilon_{\alpha \mu \nu }\hat{x}_{\mu}[\hat{p}_{\nu},\hat{x}_{\beta}]\\ & = -\varepsilon_{\alpha \mu \nu }\hat{x}_{\mu} i\hbar \delta_{\nu\beta}\\ & = -\varepsilon_{\alpha \mu \beta }\hat{x}_{\mu} i\hbar\\ & = \varepsilon_{\alpha\beta\gamma} \hat{x}_{\gamma} i\hbar\\ \end{aligned}$

上式中已经默认使用爱因斯坦求和法则。最后一步更换了哑标。下直接推导一般关系。

角动量算子与动量算子的对易关系：

$\begin{aligned} [\hat{L}_{\alpha},\hat{p}_{\beta}] &=[\varepsilon_{\alpha \mu \nu } \hat{x}_{\mu} \hat{p}_{\nu},\hat{p}_{\beta}]\\ & = \varepsilon_{\alpha \mu \nu }[\hat{x}_{\mu},\hat{p}_{\beta}]\hat{p}_{\nu}\\ & = \varepsilon_{\alpha \mu \nu }\hat{p}_{\nu} i\hbar \delta_{\mu\beta}\\ & = \varepsilon_{\alpha \beta \nu }\hat{p}_{\nu} i\hbar\\ & = \varepsilon_{\alpha\beta\gamma} \hat{p}_{\gamma} i\hbar\\ \end{aligned}$

角动量算子与角动量算子的对易关系：

$\begin{aligned} [\hat{L}_\alpha,\hat{L}_\beta] &= [\hat{L}_{\alpha},\varepsilon_{\beta \mu \nu } \hat{x}_{\mu} \hat{p}_{\nu}]\\ &= \varepsilon_{\beta \mu \nu }([\hat{L}_{\alpha}, \hat{x}_{\mu}] \hat{p}_{\nu} + \hat{x}_{\mu}[\hat{L}_{\alpha}, \hat{p}_{\nu}])\\ &= i\hbar \varepsilon_{\beta \mu \nu }(\varepsilon_{\alpha\mu\lambda} \hat{x}_{\lambda} \hat{p}_{\nu} + \varepsilon_{\alpha\nu\lambda} \hat{x}_{\mu} \hat{p}_{\lambda})\\ & = i\hbar (\varepsilon_{\beta \mu \nu }\varepsilon_{\alpha\mu\lambda} + \varepsilon_{\beta \lambda \mu }\varepsilon_{\alpha\mu\nu})\hat{x}_{\lambda} \hat{p}_{\nu}\\ & = i\hbar (\delta_{\alpha\beta}\delta_{\nu\lambda}-\delta_{\alpha\nu}\delta_{\beta\lambda} + \delta_{\alpha\lambda}\delta_{\beta\nu} - \delta_{\alpha\beta}\delta_{\nu\lambda})\hat{x}_{\lambda} \hat{p}_{\nu}\\ & = i\hbar (\delta_{\alpha\lambda}\delta_{\beta\nu}-\delta_{\alpha\nu}\delta_{\beta\lambda})\hat{x}_{\lambda} \hat{p}_{\nu}\\ & =i\hbar (\hat{x}_{\alpha} \hat{p}_{\beta} - \hat{x}_{\beta} \hat{p}_{\alpha}) \\ & = i\hbar \varepsilon_{\alpha\beta\gamma} \hat{L}_{\gamma} \end{aligned}$

这表明三个角动量分量是不能够同时确定的。

注意上式第三步对第二项更换哑标：

$\begin{aligned} &\mu\rightarrow \lambda\\ &\lambda\rightarrow \nu\\ &\nu\rightarrow \mu\\ \end{aligned}$

使得两项可以合并。

我们发现，上述三个对易关系的结果是类似的，即：

$\begin{aligned} & [\hat{L}_{\alpha},\hat{x}_{\beta}] = i\hbar \varepsilon_{\alpha\beta\gamma} \hat{x}_{\gamma}\\ & [\hat{L}_{\alpha},\hat{p}_{\beta}] = i\hbar \varepsilon_{\alpha\beta\gamma} \hat{p}_{\gamma}\\ & [\hat{L}_{\alpha},\hat{L}_{\beta}] = i\hbar \varepsilon_{\alpha\beta\gamma} \hat{L}_{\gamma}\\ \end{aligned}\tag{9}$

现在考虑角动量平方的算子 $\hat{L}^2$ 的对易关系。

角动量平方算子与角动量算子的对易关系：

$\begin{aligned} [\hat{L}^2,\hat{L}_{\beta}] &= [\hat{L}^2_{\alpha},\hat{L}_{\beta}]\\ &= \hat{L}_{\alpha}[\hat{L}_{\alpha},\hat{L}_{\beta}] + [\hat{L}_{\alpha},\hat{L}_{\beta}] \hat{L}_{\alpha}\\ & = i\hbar \varepsilon_{\alpha\beta\gamma}(\hat{L}_{\alpha}\hat{L}_{\gamma}+\hat{L}_{\gamma}\hat{L}_{\alpha})\\ & = i\hbar \varepsilon_{\alpha\beta\gamma}\{ \hat{L}_{\alpha},\hat{L}_{\gamma}\}\\ \end{aligned}$

上式中最后有一反对易式：

$\{\hat{A},\hat{B}\} = \hat{A}\hat{B} + \hat{B}\hat{A}$

于是反对易式 $\{ \hat{L}_{\alpha},\hat{L}_{\gamma}\}$ 关于指标 $\alpha,\gamma$ 是对称的。而 $\varepsilon_{\alpha\beta\gamma}$ 关于指标 $\alpha,\gamma$ 是反对称的。于是可得：

$[\hat{L}^2,\hat{L}_{\beta}] = 0 \tag{10}$

即角动量平方算子与三个角动量分量算子对易。于是角动量平方可以与其中一个分量同时确定。这点十分重要。

在球坐标中， $\hat{L}_z$ 的形式是简单的。而 $\hat{L}_x,\hat{L}_y$ 的形式较为复杂。一般情况下，我们常常使用以下组合的算子：

$\begin{aligned} & \hat{L}_{+} = \hat{L}_{x} + i\hat{L}_y\\ & \hat{L}_{-} = \hat{L}_{x} - i\hat{L}_y\\ \end{aligned}\tag{11}$

$\hat{L}_{\pm}$ 不是厄密算子，有：

$\hat{L}_{\pm}^\dagger = \hat{L}_{\mp}$

使用球坐标表出的形式为：

$\begin{aligned} & \hat{L}_{+} = \hbar e^{i\phi}(\frac{\partial}{\partial \theta} + i\cot\theta \frac{\partial}{\partial \theta})\\ & \hat{L}_{-} = \hbar e^{-i\phi}(-\frac{\partial}{\partial \theta} + i\cot\theta \frac{\partial}{\partial \theta})\\ \end{aligned}\tag{12}$

计算对易关系：

$\begin{aligned} [\hat{L}_{+},\hat{L}_{-}] &= [\hat{L}_{x} + i\hat{L}_y,\hat{L}_{x} - i\hat{L}_y]\\ &= i[\hat{L}_{y}, \hat{L}_x] - i[\hat{L}_{x}, \hat{L}_y]\\ &= -2i [\hat{L}_{x}, \hat{L}_y]\\ &= 2\hbar \hat{L}_z\\ \end{aligned} \tag{13}$

$\begin{aligned} [\hat{L}_{\pm},\hat{L}_z] &= [\hat{L}_{x} \pm i\hat{L}_y,\hat{L}_z]\\ &= i\hbar (-\hat{L}_y \pm i \hat{L}_x) \\ &= \mp \hbar\hat{L}_{\pm} \end{aligned} \tag{14}$

容易得到：

$[\hat{L}^2,\hat{L}_{\pm}] = 0 \tag{15}$

另外 $\hat{L}_{\pm}$ 与 $\hat{L}^2,\hat{L}_z$ 具有如下关系：

$\begin{aligned} \hat{L}_{+}\hat{L}_{-} &= (\hat{L}_{x} + i\hat{L}_y)(\hat{L}_{x} - i\hat{L}_y)\\ &= \hat{L}_x^2 + \hat{L}_y^2 - i [\hat{L}_x, \hat{L}_y]\\ &= \hat{L}^2 - \hat{L}_z^2 + \hbar \hat{L}_z \end{aligned} \tag{16}$

本征值与本征函数

为了求体系在某一方向的角动量，不妨选取该方向为极轴，在球坐标下求解以下本征值方程：

$\hat{L}_z \psi(r,\theta,\phi) = L_z \psi(r,\theta,\phi) \tag{17}$

其中 $\hat{L}_z = \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial \phi}$ 。方程 $(17)$ 的解为：

$\psi(r,\theta,\phi) = f(r,\theta) e^{im\phi} \tag{18}$

考虑到周期性边界条件：

$\psi(r,\theta,\phi) = \psi(r,\theta,\phi+2\pi) \Rightarrow e^{i2\pi m} = 1$

于是得到 $m\in\mathbb{Z}$ 。

于是 $\hat{L}_z$ 的本征值为：

$L_z = m\hbar,\quad m = 0,\pm 1,\pm 2,\cdots \tag{19}$

这个结论也适用于 $\hat{L}_x,\hat{L}_y$ 。任意方向上的角动量只能取整数值，这点看起来十分奇怪，但要注意，除了 $L_x = L_y = L_z = 0$ 的情况。这三个角动量算子并没有共同本征态，即三个角动量不能同时确定。一旦给定了一个分量的角动量，另外方向的角动量都是不确定的值 $^{[1]}$ 。

角动量平方算子与角动量算子是对易的，角动量的模方与其中一个角动量分量是可以同时确定的。我们来考虑角动量平方算子的本征值方程：

$\hat{L}^2 \psi(r,\theta,\varphi) = L^2 \psi(r,\theta,\varphi) \tag{20}$

在球坐标下写为：

$-\hbar^2(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}(\sin\theta \frac{\partial}{\partial\theta}) + \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2})\psi(r,\theta,\varphi) = L^2\psi(r,\theta,\varphi)$

即：

$\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}(\sin\theta \frac{\partial \psi}{\partial\theta}) + \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2 \psi}{\partial \varphi^2} + \frac{L^2}{\hbar^2}\psi = 0 \tag{21}$

这就是 球函数方程，在数学物理方法中我们已经得到此类方程的本征函数为 球谐函数 $Y_{lm}(\theta,\varphi)$ 。本征值为：

$L^2 = l(l+1)\hbar^2,\quad l=0,1,2,\cdots \tag{22}$

综合来说， $\{\hat{L}^2,\hat{L}_z\}$ 的共同本征态就是球谐函数 $Y_{lm},l = 0,1,2,\cdots,m = 0,\pm 1,\cdots,\pm l$ ，对应的本征值为：

$L^2 = l(l+1)\hbar^2,\quad L_z = m\hbar \tag{23}$

在本征态 $Y_{lm}$ 上，可以如下平均值：

$\begin{aligned} \overline{L_x} = \overline{L_y} &= 0\\ \overline{L_x^2} = \overline{L_y^2} &= \frac{1}{2}(L^2 - L_z^2)\\ &= \frac{1}{2}(l(l+1)-m^2)\hbar^2 \end{aligned}\tag{24}$

考虑对易关系 $(14)$ ，来看看 $\hat{L}_{\pm}$ 作用于 $Y_{lm}$ 上的结果：

$\begin{aligned} \hat{L}_z \hat{L}_{\pm} Y_{lm} &= ([\hat{L}_z, \hat{L}_{\pm}] + \hat{L}_{\pm}\hat{L}_z)Y_{lm}\\ &= (m\pm1)\hbar\hat{L}_{\pm} Y_{lm} \end{aligned}$

于是 $\hat{L}_{\pm}Y_{lm}$ 成为 $\hat{L}_z$ 本征值为 $(m\pm1)\hbar$ 的本征态，那么有：

$\hat{L}_{\pm}Y_{lm} = \lambda Y_{l,m\pm1}$

现在求归一化系数 $\lambda$ 。

$\begin{aligned} \langle \hat{L}_{\pm}Y_{lm}|\hat{L}_{\pm}Y_{lm}\rangle &= \langle Y_{lm} | \hat{L}^\dagger_{\pm}\hat{L}_{\pm} |Y_{lm}\rangle\\ &=\langle Y_{lm} | \hat{L}_{\mp}\hat{L}_{\pm} |Y_{lm}\rangle\\ & = \langle Y_{lm} |\hat{L}^2 - \hat{L}_z^2 \mp \hbar \hat{L}_z|Y_{lm}\rangle\\ &= (l(l+1)-m (m \pm 1))\hbar^2 = \lambda^2 \hbar^2 \end{aligned} \tag{25}$

可以得到：

$\begin{aligned} &\hat{L}_{+}Y_{lm} = \sqrt{l(l+1) - m(m+1)} \hbar Y_{l,m+1}\\ &\hat{L}_{-}Y_{lm} = \sqrt{l(l+1) - m(m-1)} \hbar Y_{l,m-1}\\ \end{aligned}\tag{26}$

对于 $m = \pm l$ 时，有：

$\begin{aligned} &\hat{L}_{+}Y_{l,l} = 0\\ &\hat{L}_{-}Y_{l,-l} = 0\\ \end{aligned}\tag{27}$

这点是容易理解的。借助 $\hat{L}_{+},\hat{L}_{-}$ ，我们联系起了相同角量子数、不同磁量子数的本征态。

角动量表象

$\{\hat{L}^2,\hat{L}_z\}$ 的本征函数为球谐函数 $Y_{lm}$ ，其本征态 $|lm\rangle$ 可以用角量子数 $l$ 与磁量子数 $m$ 标志。另外， $\{|lm\rangle\}$ 可以成为一组完备基底，用这组基底来表示算子、态矢就称为在 角动量表象 中的表示。

容易得到以下算子在角动量表象中的矩阵元：

$\begin{aligned} & \langle l'm'| \hat{L}^2 | lm \rangle = l(l+1)\hbar^2 \delta_{l'l}\delta_{m'm}\\ & \langle l'm'| \hat{L}_z | lm \rangle = m\hbar \delta_{l'l}\delta_{m'm}\\ & \langle l'm'| \hat{L}_+ | lm \rangle = \sqrt{l(l+1) - m(m+1)}\hbar \delta_{l'l}\delta_{m',m+1}\\ & \langle l'm'| \hat{L}_- | lm \rangle = \sqrt{l(l+1) - m(m-1)}\hbar \delta_{l'l}\delta_{m',m-1}\\ \end{aligned}\tag{28}$

结合 $(28)$ 后两式，得到：

$\begin{aligned} & \langle l'm'| \hat{L}_x | lm \rangle = \frac{\hbar}{2} \delta_{l'l} (\sqrt{l(l+1) - m(m+1)}\delta_{m',m+1} + \sqrt{l(l+1) - m(m-1)}\delta_{m',m-1})\\ & \langle l'm'| \hat{L}_y | lm \rangle = \frac{i \hbar}{2} \delta_{l'l} (\sqrt{l(l+1) - m(m+1)}\delta_{m',m+1} - \sqrt{l(l+1) - m(m-1)}\delta_{m',m-1})\\ \end{aligned}$