理论力学笔记（六）：碰撞与散射

粒子分裂

动量与能量守恒会给出力学过程的很多性质，而且这些性质不依赖与具体的相互作用细节。

我们先讨论一个粒子在无外力的作用下分裂成两个粒子的过程。在与分裂前粒子的静止参考系中观察是容易的。

$0 \rightarrow 1 + 2$

分裂前后动量守恒：

$0 = \bm{p}_1 + \bm{p}_2$

能量守恒：

$E_0 = E_1 + \frac{p_1^2}{2m_1} + E_2 + \frac{p_2^2}{2m_2}$

注意上式中 $E_i$ 表示的是粒子的“内能”，并不包括粒子运动的动能。由此在粒子分裂的过程中，初始粒子的内能转化为了分裂后粒子的动能，我们定义分裂能$^{[1]}$：

$\varepsilon = E_0 - E_1 - E_2 = \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2}$

我们之前谈到，对于两体问题，可以把动能分为相对动能与质心动能：

$E_k = \frac{1}{2}Mv_c^2 + \frac{1}{2}\mu u^2$

于是，在粒子分裂过程中，分裂能全部转化为相对动能。

下图展示的是 $m_1 = m_2$ 时的分裂情况，对于 $m_1 \neq m_2$ 的一般情况，也好想象。

一般的，我们令粒子1在质心系中的速度为 $\bm{v}_{c1}$，与 $\bm{V}$ 的夹角为 $\chi_1$:

若无特别说明，$\chi$ 均指在质心系中的散射角；$\theta$ 指在实验系中的散射角。

$\bm{v} _ 1 = \bm{V} + \bm{v} _ {c1}$

容易得到：

$\left\{ \begin{aligned} & v_1 \cos\theta_1 = V + v_{c1}\cos\chi_1\\ & v_1 \sin\theta_1 = v_{c1}\sin\chi_1 \end{aligned} \right.$

进而有：

$\left\{ \begin{aligned} & v_1^2 = V^2 + v_{c1}^2 + 2Vv_{c1}\cos\chi_1\\ &\tan\theta = \frac{v_{c1}}{V + v_{c1}\cos\chi_1} \end{aligned} \right.$

在物理学中经常遇到多个相同粒子分裂的情况，此时粒子分裂的出射角度是随机的。在质心系中观察粒子分裂得到的结果是很显然的：分裂的粒子将会以等同概率的向任意立体角出射。对于讨论实验系中的粒子分裂问题，此时母粒子以速度 $V$ 运动。尽管在质心系中粒子仍然对任何立体角以等同概率出射，但此时在实验系中所观察到的粒子的角分布会改变。

例如，以上在质心系中观察到的应当是均匀分布（以下省略下标1）：

$P(\chi) = \frac{d\Omega}{4\pi}=\frac{1}{2}\sin\chi d\chi$

对应到实验系中，利用上述方程组，可得：

$-2Vv_{c} \sin\chi d\chi = dv^2 = \frac{2}{m}dT$

改变 $dT$ 符号，使得 $dT > 0$，有：
可得：

$P(T) = \frac{dT}{2mv_cV}$

对应的物理含义为：在实验系中观察到的粒子对动能均匀分布。

角度分布也容易得到：

$\frac{d\theta}{\cos^2\theta}=\frac{v_{c}^2\sin\chi}{(V+v_c\cos\chi)^2}d\chi = \tan^2\theta \sin\chi d\chi$

即：$d\theta = \sin^2\theta\sin\chi d\chi$

由此：

$\begin{aligned} P(\theta) &= \frac{1}{2}\sin\theta d\theta\\ &= \frac{1}{2}\sin\chi d\chi \sin^3\theta\\ &= \frac{v_c^3}{v^3} P(\chi) \end{aligned}$

粒子碰撞

碰撞 是粒子在短时间内发生相互作用然后改变运动状态的过程。在碰撞的过程中，由于动量守恒，质心动能守恒，但是相对动能可能会损失，转化为其他形式的能量（注意，此处的损失是针对初态和末态而言的）。若相对动能损失了，则称为 非弹性碰撞；若相对动能完全损失，则称为 完全非弹性碰撞；若相对动能未损失，则称为 弹性碰撞。对于两体碰撞而言，可以用恢复系数 $e$ 来表征碰撞的弹性。

注意，我们一般只对于宏观物体，谈论弹性和非弹性。宏观物体发生碰撞，相对动能常常转化为内能耗散掉，恢复系数 $e$ 只与碰撞的材料有关。

恢复系数定义为碰前后两体的相对速度之比：

$e = \frac{u_\mathrm{f}}{u_{\mathrm{i}}}$

对于完全非弹性碰撞来说，如果从末态往初态看（从一个整体变成两个粒子），就是一个分裂过程。并且，完全非弹性碰撞由于知道末态只有整体运动，进行分析是很容易的。

启发式的，对于碰撞过程来说，我们可以假设存在一个中间态，此态中的相对动能为零（只有整体运动）。那么任何一个碰撞问题，都可以看作从中间态分别到初态、末态的分裂问题。

对于弹性碰撞的求解，使用恢复系数方程（碰撞前后相对速度不变）去代替能量守恒方程会简化问题的求解。

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更一般的，若考虑碰撞的物体的形状，恢复系数可定义为碰撞点在碰撞前后的相对速度的比值。此时的碰撞情况更为复杂，但利用动量守恒，角动量守恒，能量守恒（或恢复系数方程），是可以解决问题的。若知道碰撞面的性质，例如碰撞面是光滑的，此时可以得到碰撞的冲量必定沿法向，此时能够完全把末态确定下来。

粒子散射

在粒子碰撞中，我们只是通过一些守恒律对可能的末态进行了讨论。如果我们知道相互作用的细节（散射势），就能够确定散射角。

Fig: 粒子散射 $^{[1]}$

不失一般性的，我们考虑一个质量为 $m$ 的粒子在中心势 $U(r)$ 的散射情况。我们假设粒子从无穷远处入射，经过中心势散射后运动往无穷远处。假设粒子运动最近到 $A$ 点，此时到 $O$ 距离为 $r_{min}$，$r_{min}$。不难得到，粒子运动轨迹应当关于 $OA$ 是对称的。入射轨道的渐近线与散射势中心 $O$ 的距离为 瞄准距离，记作 $r_{\infty}$。粒子散射过程中转过的角度 $\chi$ 称为 散射角。

对于两体问题，可以将 $m$ 认为是约化质量，以下的讨论仍然适用。

若该势能具有性质：$\lim_{r\rightarrow\infty} = 0$，可以在无穷远处很方便的表示散射过程中的一些守恒量：

$E = \frac{1}{2}mv_{\infty}^2,\quad L = \frac{m}\rho v_{\infty}$

根据上一篇笔记对中心势的讨论，我们可以把散射角写为：

$\begin{aligned} \chi &= 2\int_{r_{min}}^{\infty} \frac{(L/r^2) dr}{\sqrt{2m(E-U(r))-L^2/r^2}} \\ & = 2\int_{r_{min}}^{\infty}\frac{(\rho/r^2)dr}{\sqrt{1-\rho^2/r^2-2U/mv^2_{\infty}}}\\ \end{aligned}$

由此只要给定 $\rho$，$v_{\infty}$，$U(r)$。我们可以根据守恒律得到 $r_{min}$。散射角也就可以通过上式确定。

在大多数时候，我们并不关心一组特定参数下的散射角，我们往往关心一簇入射粒子的散射角的分布情况。简单地，我们考虑在无穷远处，有一簇速度为 $v_{\infty}$ 的全同粒子束（我们假设这个粒子束在横截面上是均匀分布的）。

我们假定 $\chi$ 与 $\rho$ 是一一对应的，那么瞄准距离 $\rho$ 相同的粒子，散射角度也相同。

可以得到，散射角为 $\chi\sim\chi+d\chi$ 内的粒子数就等同于瞄准距离在 $\rho\sim \rho + d\rho$ 的粒子数，这将正比与面积 $d\sigma$。

$dn(\chi) = dn(\rho) \sim d\sigma = 2\pi \rho d\rho$

我们称 $d\sigma$ 为 有效截面：

$d\sigma = 2\pi \rho |\frac{d\rho(\chi)}{d\chi}| d\chi$

其除以散射的立体角 $d\Omega$，得到 微分散射截面：

$\frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{2\pi \rho |\frac{d\rho(\chi)}{d\chi}| d\chi}{2\pi \sin\chi d\chi} = \frac{\rho}{\sin\chi}|\frac{d\rho(\chi)}{d\chi}|$

对所有可能角度的散射进行积分，得到 总散射截面：

$\sigma_t = \int_{0}^{\pi} 2\pi \rho |\frac{d\rho(\chi)}{d\chi}| d\chi$

散射截面是一个很重要的物理量，特别是在粒子物理领域中。

卢瑟福散射

我们现在对卢瑟福散射应用得到的散射截面公式。卢瑟福散射是指带电粒子在库伦场中的散射。

设散射势为：

$U = \frac{a}{r}$

其中 $a>0$ 对应排斥势，$a<0$ 对应吸引势。
我们可以根据本节公式求出散射角。但其实这个问题在上篇的开普勒问题中已经进行了求解，我们不妨直接运用公式：

$\rho = \frac{p}{1 + e\cos\varphi},\quad e = \sqrt{1 + (\frac{m\rho v_{\infty}^2}{a})^2}$

令 $\rho = \pm \infty$，可得：

$\varphi_0 = \arccos \frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{m\rho v_{\infty}^2}{a})^2}},\quad \chi = \pi - 2\varphi_0$

如下图所示，分别给出粒子在排斥势与吸引势中的散射情况，无论哪种情况，以上推导都是适用的。

Fig：粒子在排斥势与吸引势中的散射

由此可得：

$(\frac{m v_{\infty}^2}{a})^2 \rho^2 = \tan^2(\varphi_0) = \cot^2(\frac{\chi}{2})$

可以计算有效截面：

$d\sigma = \pi(\frac{a}{m v_{\infty}^2})^2 \frac{\cos(\frac{\chi}{2})d\chi}{\sin^3(\frac{\chi}{2})} = (\frac{a}{2m v_{\infty}^2})^2 \frac{d\Omega}{\sin^4(\frac{\chi}{2})}$

这就是 卢瑟福公式。现在考虑换到实验系中去。我们令靶粒子是静止的。我们先考虑一下其中的几何关系。其中 $v$ 表示实验系中的速度，$u$ 表示质心系中的速度，脚标1,2表示粒子1,2，其中令粒子1为入射粒子，且 $m_1 < m_2$。脚标 $i,f$ 表示初态、末态。

可得

$\chi = \pi - 2\theta_2$

这种情况下（粒子2静止），粒子2的有效散射截面是容易给出的：

$d\sigma_2 = 2\pi (\frac{a}{2mv_{\infty}^2})^2 \frac{\sin\theta_2}{\cos^3\theta_2} d\theta_2 = (\frac{a}{mv_{\infty}^2})^2 \frac{d\Omega_2}{\cos^3\theta_2}$

但此时粒子 $1$ 的有效散射截面公式很复杂。我们仅考虑两种特殊情况。

1. $m_2 \gg m_1$,此时 $\theta_1 \approx \chi,m\approx m_1$，有：

$d\sigma_1 = (\frac{a}{4E_1})^2 \frac{d\Omega_1}{\sin^4(\frac{\theta_1}{2})}$

2. $m_1 = m_2$，此时 $\theta_1 = \frac{1}{2}\chi,m = \frac{1}{2}m_1$，可得：

$d\sigma_1 = (\frac{a}{E_1})^2 \frac{d\Omega_1}{\sin^4(\theta_1)}$

由于两个粒子质量相等，我们无法区分散射后的粒子那个之前是静止的、那个是运动的。因此，我们选择把两个粒子的有效散射截面相加，得到总有效散射截面为（使用统一的 $d\sigma,d\Omega,\theta$）：

$d\sigma = (\frac{a}{E_1})^2 (\frac{1}{\sin^4\theta}+\frac{1}{\cos^4\theta})\cos\theta d\Omega$

参考资料

1. Landau 力学